Yüksek Mertebeden Türev, İçbükeylik ve Dönüm Noktası

İkinci türev grafiğin bükülme yönünü verir: $f''>0$ iken eğri konveks, $f''<0$ iken konkavdır. Bu yönün değiştiği noktalar dönüm noktalarıdır.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konunun üç parçası farklı statüdedir. İkinci türev Maarif Modeli'nde zorunludur. Yüksek (n.) mertebeden türev ile dönüm noktası ve içbükeylik ise Maarif'te zenginleştirme kapsamındadır; 2018 programında ise kazanım metinlerinin hiçbirinde adı geçmez.

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir fonksiyonun ikinci ve daha yüksek mertebeden türevlerini hesaplayabilir
İkinci türevin işaretiyle grafiğin içbükeylik yönü arasındaki ilişkiyi açıklayabilir
Dönüm noktalarını belirleyebilir ve ikinci türevin sıfır olmasının yeterli olmadığını örnekle gösterebilir
İkinci türev testiyle yerel ekstremumları sınıflandırabilir
$f$ , $f'$ ve $f''$ grafiklerini birbiriyle ilişkilendirerek yorumlayabilir

Önce şunları çalış

Yüksek mertebeden türev

Bir fonksiyonun türevi yine bir fonksiyondur; onun da türevi alınabilir. Bu işlem tekrarlandıkça yüksek mertebeden türevler elde edilir:

f''(x) = \bigl(f'(x)\bigr)', \qquad f'''(x) = \bigl(f''(x)\bigr)', \qquad f^{(4)}(x) = \bigl(f'''(x)\bigr)'

Üssü geçtikten sonra üs işareti yerine parantezli sayı kullanılır: dördüncü mertebeden türev $f''''$ değil $f^{(4)}$ yazılır. Parantez zorunludur; $f^4$ gösterimi $\bigl(f(x)\bigr)^4$ anlamına gelir ve bambaşka bir şeydir.

Leibniz gösteriminde mertebe üstte belirtilir:

f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2}, \qquad f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n}

Örnek. $f(x) = x^5 - 2x^3 + 7x$ için türevler sırayla alınır:

f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 7

f''(x) = 20x^3 - 12x

f'''(x) = 60x^2 - 12

f^{(4)}(x) = 120x, \qquad f^{(5)}(x) = 120, \qquad f^{(6)}(x) = 0

Buradan genel bir gözlem çıkar: derecesi $n$ olan bir polinomun $(n+1)$ . mertebeden türevi sıfırdır. Her türev alışta derece bir azalır; $n$ adım sonra sabit, $n+1$ adım sonra sıfır kalır. Özel olarak

\bigl(x^n\bigr)^{(n)} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n!

Bazı fonksiyonlarda ise tablo hiç tükenmez. $f(x) = e^x$ için her mertebede $f^{(n)}(x) = e^x$ tir. $f(x) = \sin x$ için türevler dört adımda başa döner:

\sin x \ \to \ \cos x \ \to \ -\sin x \ \to \ -\cos x \ \to \ \sin x

Fizikteki karşılığı. Bir cismin konumu $s(t)$ ise, birinci türev hızı, ikinci türev ivmeyi verir:

v(t) = s'(t), \qquad a(t) = v'(t) = s''(t)

Hız konumun ne kadar hızlı değiştiğini, ivme ise hızın ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. İkinci türevin genel anlamı da tam olarak budur: değişimin kendisinin nasıl değiştiği.

İkinci türev ne söyler: içbükeylik

$f''$ , $f'$ nün türevidir. O hâlde 8. konudaki artanlık ölçütü doğrudan $f'$ ye uygulanabilir:

f''(x) > 0 \ \Longrightarrow \ f' \text{ artan} \qquad\qquad f''(x) < 0 \ \Longrightarrow \ f' \text{ azalan}

$f'$ teğetin eğimidir. Eğim büyüyorsa eğri sola–yukarı doğru kıvrılır ve $\cup$ biçimini alır; eğim küçülüyorsa $\cap$ biçimini alır.

Mavi parçalar teğetlerdir. Solda eğimler sırayla $-2$ , $0$ , $2$ olarak artar; sağda $2$ , $0$ , $-2$ olarak azalır.

Bir başka okuma da şudur: konveks bir yayda teğetler eğrinin altında, konkav bir yayda üstünde kalır.

Terim uyarısı. Türkçe kaynaklarda $f''>0$ durumu kimi yerde "konveks", kimi yerde "dışbükey", kimi yerde "yukarı doğru içbükey" diye adlandırılır; $f''<0$ için de "konkav", "içbükey" ya da "aşağı doğru içbükey" karşılıkları dolaşır. Adlandırma kaynaktan kaynağa değişse de ölçüt değişmez: belirleyici olan $f''$ nün işaretidir, biçim $\cup$ ise $f''>0$ , $\cap$ ise $f''<0$ tur. Bu dosyada $f''>0$ için konveks $(\cup)$ , $f''<0$ için konkav $(\cap)$ kullanılmaktadır.

İçbükeylik artanlık değildir

En sık karışan iki kavram bunlardır. $f'$ nün işareti fonksiyonun yönünü, $f''$ nün işareti bükülüşünü belirler; ikisi birbirinden bağımsızdır ve dört kombinasyonun dördü de mümkündür.

Dönüm noktası

Bir eğrinin içbükeylik yönünün değiştiği noktaya dönüm noktası denir. $\cup$ dan $\cap$ ya ya da $\cap$ dan $\cup$ ya geçilen yerdir.

Yön değişimi $f''$ nün işaret değişimi demek olduğuna göre, aranacak noktalar bellidir:

f''(a) = 0 \qquad \text{ya da} \qquad f''(a) \text{ tanımsız}

Bu gerek koşuldur; ama yeter koşul değildir. Tıpkı bir önceki konuda $f'(a)=0$ olmasının ekstremum garantisi vermemesi gibi, burada da $f''(a)=0$ olması dönüm noktası garantisi vermez. Belirleyici olan, $f''$ nün o noktada işaret değiştirmesidir.

Karşı örnek. $f(x) = x^4$ alınsın. $f''(x) = 12x^2$ olduğundan $f''(0) = 0$ dır. Ama $12x^2$ ifadesi $x=0$ dışında her yerde pozitiftir; işaret değişmez. Eğri $x=0$ ın iki yanında da konvekstir, yani orada bükülme yönü değişmez. $(0,\,0)$ bir dönüm noktası değildir.

Dönüm noktası bir noktadır: yalnız apsis yeterli olmaz, ordinat da hesaplanır.

Şekilde eğri, $x=1$ in solunda $\cap$ , sağında $\cup$ biçimindedir. Mavi doğru dönüm noktasındaki teğettir; dikkat çeken şey, teğetin eğriyi kesmesidir. Dönüm noktası, teğetin eğrinin bir yanından öbür yanına geçtiği tek nokta türüdür.

Yöntem. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ için:

f'(x) = 3x^2 - 6x, \qquad f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$ nin biçimi		konkav $\cap$	dönüm	konveks $\cup$

$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$ olduğundan dönüm noktası $(1,\,2)$ dir.

İkinci türev testi

Bir kritik noktada işaret tablosu kurmadan da karar verilebilir. $f'(a) = 0$ ise:

	$x=a$ da
$f''(a) < 0$	yerel maksimum
$f''(a) > 0$	yerel minimum
$f''(a) = 0$	test sonuçsuz

Sezgisi kısadır: $f''(a) > 0$ ise eğri o civarda konvekstir, yani $\cup$ biçimindedir; yatay teğetli bir $\cup$ nun dibi çukurdur. $f''(a) < 0$ ise $\cap$ biçimidir ve tepe noktasıdır.

Örnek. $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ için $f'(x) = 3(x+1)(x-3)$ , kritik noktalar $x=-1$ ve $x=3$ tür. $f''(x) = 6x - 6$ olduğundan

f''(-1) = -12 < 0 \ \Rightarrow \ x=-1 \text{ de yerel maksimum}

f''(3) = 12 > 0 \ \Rightarrow \ x=3 \text{ te yerel minimum}

Aynı sonuç bir önceki konuda işaret tablosuyla bulunmuştu; ikinci türev testi bunu tek satırda verir.

Üçüncü satır önemlidir. $f''(a) = 0$ çıktığında test hiçbir şey söylemez — ne "ekstremum var" ne de "ekstremum yok". Üç fonksiyon bunu birlikte gösterir; üçünde de $f'(0) = f''(0) = 0$ dır:

Fonksiyon	$x=0$ da
$f(x) = x^4$	yerel minimum
$f(x) = -x^4$	yerel maksimum
$f(x) = x^3$	ekstremum yok

Test sonuçsuz kaldığında birinci türev testine, yani $f'$ nün işaret değişimine dönülür. Birinci türev testi her durumda çalışır; ikinci türev testi yalnızca daha kısadır.

İspat: ikinci türev testi

$f'(a) = 0$ ve $f''(a) > 0$ olsun. $x=a$ da yerel minimum bulunduğu gösterilecek.

$f''(a)$ , tanımı gereği $f'$ nün $a$ daki türevidir:

f''(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h)}{h}

Son eşitlikte $f'(a) = 0$ kullanıldı. Bu limitin değeri pozitif olduğuna göre, yeterince küçük her $h \neq 0$ için oranın kendisi de pozitiftir:

\frac{f'(a+h)}{h} > 0

Bir bölümün pozitif olması, pay ile paydanın aynı işaretli olması demektir. Buradan iki sonuç çıkar:

$h < 0$ iken $f'(a+h) < 0$ — yani $a$ nın hemen solunda $f' < 0$ ,
$h > 0$ iken $f'(a+h) > 0$ — yani $a$ nın hemen sağında $f' > 0$ .

$f'$ nün işareti $a$ da $-$ den $+$ ya dönmektedir. Birinci türev testine göre bu bir yerel minimumdur.

$f''(a) < 0$ durumu, aynı akıl yürütmenin eşitsizlikleri ters çevrilerek tekrarlanmasıyla elde edilir ve yerel maksimum verir.

$f''(a) = 0$ olduğunda ise limit hakkında hiçbir bilgi kalmaz: oran hem pozitif hem negatif işaretler alabilir. Testin sonuçsuz kalmasının nedeni budur.

$f$ , $f'$ ve $f''$ grafiklerini birlikte okuma

Üç grafik arasında geçiş yaparken şu karşılıklar kullanılır:

$f'$ grafiğinde	$f$ hakkında
ekseninin üstünde $(f'>0)$	artan
ekseninin altında $(f'<0)$	azalan
ekseni kesiyor	yerel ekstremum
artan	konveks $(\cup)$
azalan	konkav $(\cap)$
kendi tepe ya da çukur noktası	dönüm noktası

$f''$ grafiğinde	$f$ hakkında
ekseninin üstünde $(f''>0)$	konveks $(\cup)$
ekseninin altında $(f''<0)$	konkav $(\cap)$
ekseni keserek geçiyor	dönüm noktası
ekseni değip dönüyor	dönüm noktası yok

Son satır atlanmamalı: $f''$ grafiğinin ekseni sıfırlaması yetmez, ekseni geçmesi gerekir.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$f(x) = x^5 - 2x^3 + 7x$ fonksiyonu için $f''(x)$ ve $f^{(5)}(x)$ ifadelerini bulun.
Türevler sırayla, her seferinde bir öncekinin türevi alınarak hesaplanır.

Birinci türev.
$f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 7$
İkinci türev.
$f''(x) = 20x^3 - 12x$
Soru burada bir cevap veriyor. $f^{(5)}$ için devam edilir.

Üçüncü, dördüncü, beşinci türev.
$f'''(x) = 60x^2 - 12$ $f^{(4)}(x) = 120x$ $f^{(5)}(x) = 120$
Cevap: $f''(x) = 20x^3 - 12x$ , $f^{(5)}(x) = 120$ .

Kontrol. Fonksiyon $5$ . dereceden bir polinomdur; beşinci türevin sabit, altıncı türevin sıfır çıkması beklenir. Nitekim $f^{(6)}(x) = 0$ dır. Ayrıca baştaki $x^5$ teriminin beşinci türevi $5! = 120$ dir ve bulunan sabit tam olarak budur.
2Zorluk 3/5
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ fonksiyonunun içbükeylik aralıklarını ve dönüm noktasını bulun.
1. İkinci türev.
$f'(x) = 3x^2 - 6x, \qquad f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
2. İşaret incelemesi. $f''(x) = 0$ denkleminin tek kökü $x = 1$ dir. $6(x-1)$ birinci dereceden bir ifadedir; kökünün solunda negatif, sağında pozitiftir.

$x$ $-\infty$ $1$ $+\infty$
$f''(x)$ $-$ $0$ $+$
$f$ nin biçimi konkav $\cap$ dönüm konveks $\cup$

3. Ordinat. İşaret değiştiği için $x=1$ bir dönüm noktası verir. Nokta olarak yazmak için ordinat hesaplanır:
$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
Cevap: $f$ fonksiyonu $(-\infty,\,1)$ aralığında konkav, $(1,\,+\infty)$ aralığında konvekstir; dönüm noktası $(1,\,0)$ dır.

Not. $f'(1) = 3 - 6 = -3 \neq 0$ dır. Dönüm noktasında teğetin yatay olması gerekmez.
3Zorluk 3/5
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ikinci türev testiyle belirleyin ve dönüm noktasını bulun.
1. Kritik noktalar.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$ $f'(x) = 0 \ \Rightarrow \ x = 1 \ \text{ ya da } \ x = 3$
2. İkinci türev testi.
$f''(x) = 6x - 12$ $f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0 \ \Rightarrow \ x=1 \text{ de yerel maksimum}$ $f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0 \ \Rightarrow \ x=3 \text{ te yerel minimum}$
3. Ekstremum değerleri.
$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5, \qquad f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$
4. Dönüm noktası. $f''(x) = 0$ denkleminden $x = 2$ bulunur. $6x-12$ ifadesi bu kökte işaret değiştirdiği için nokta gerçekten dönüm noktasıdır.
$f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$
Cevap: Yerel maksimum $(1,\,5)$ , yerel minimum $(3,\,1)$ , dönüm noktası $(2,\,3)$ .

Gözlem. Dönüm noktasının apsisi $2$ , iki kritik noktanın tam ortasındadır. Üçüncü dereceden bir polinomda bu her zaman böyledir: $f''$ birinci derecedendir ve kökü, $f'$ parabolünün tepe noktasının apsisine eşittir.
4Zorluk 4/5
$f(x) = x^4 - 4x^3$ fonksiyonunun içbükeylik aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.
1. İkinci türev.
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2, \qquad f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$
2. İşaret tablosu. $f''(x) = 0$ denkleminin kökleri $x=0$ ve $x=2$ dir. $12x(x-2)$ kolları yukarı açılan bir paraboldür; kökler arasında negatif, dışında pozitiftir.

$x$ $-\infty$ $0$ $2$ $+\infty$
$f''(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f$ nin biçimi $\cup$ dönüm $\cap$ dönüm $\cup$

Her iki kökte de işaret değişiyor; ikisi de dönüm noktası verir.

3. Ordinatlar.
$f(0) = 0$ $f(2) = 16 - 32 = -16$
Cevap: $f$ fonksiyonu $(-\infty,\,0)$ ve $(2,\,+\infty)$ aralıklarında konveks, $(0,\,2)$ aralığında konkavdır. Dönüm noktaları $(0,\,0)$ ve $(2,\,-16)$ dır.

Dikkat çeken nokta. $f'(x) = 4x^2(x-3)$ olduğundan $x=0$ aynı zamanda bir kritik noktadır; ama $x^2$ çarpanı işaret değiştirmediği için orada ekstremum yoktur. Aynı nokta $f''$ için işaret değiştirir ve dönüm noktasıdır. Bir nokta hem kritik nokta hem dönüm noktası olabilir; ikisi farklı türevlerin işaretine bakar.
5Zorluk 4/5
Şekilde bir $f$ fonksiyonunun ikinci türevinin grafiği verilmiştir.

Buna göre $f$ fonksiyonunun içbükeylik aralıklarını ve dönüm noktalarının apsislerini belirleyin.
Grafikte okunacak tek şey $f''$ nün işaretidir; eğrinin kendi tepe ya da çukur yapması burada bilgi taşımaz.

1. İşaretler.

$x < -1$ için eğri eksenin altındadır: $f'' < 0$ .

$-1 < x < 2$ için eğri eksenin üstündedir: $f'' > 0$ .

$x = 2$ de eğri eksene değip geri dönmektedir: $f''(2) = 0$ , ama sağında ve solunda $f'' > 0$ dır.

$x > 2$ için eğri yine eksenin üstündedir: $f'' > 0$ .

2. İçbükeylik.
$f'' < 0 \ \Rightarrow \ \text{konkav} \ (\cap), \qquad f'' > 0 \ \Rightarrow \ \text{konveks} \ (\cup)$
$f$ fonksiyonu $(-\infty,\,-1)$ aralığında konkav, $(-1,\,+\infty)$ aralığında konvekstir. $x=2$ de biçim değişmediği için konvekslik aralığı bölünmez.

3. Dönüm noktaları. Dönüm noktası için $f''$ nün işaret değiştirmesi gerekir.

$x = -1$ : eğri ekseni keserek geçiyor, işaret $-$ den $+$ ya dönüyor → dönüm noktası.

$x = 2$ : eğri eksene değip dönüyor, işaret değişmiyor → dönüm noktası değil.

Cevap: Tek dönüm noktası vardır, apsisi $-1$ dir.

Uyarı. $f''(2) = 0$ olması $x=2$ yi bir aday yapar, ama aday olmakla dönüm noktası olmak aynı şey değildir. Bu, $f(x) = x^4$ karşı örneğinin grafik hâlidir.

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$f''(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$ nin biçimi		$\cup$	dönüm	$\cap$	dönüm	$\cup$

Sık yapılan hatalar

$f''(a)=0$ olan her noktayı dönüm noktası saymak

Hata: $f''(x) = 0$ denklemi çözülür, kökler doğrudan dönüm noktalarının apsisi olarak yazılır.

Neden yanlış: $f''(a)=0$ gerek koşuldur, yeter koşul değildir. $f(x)=x^4$ için $f''(x)=12x^2$ ve $f''(0)=0$ dır, ama $12x^2$ hiçbir yerde işaret değiştirmez; eğri $x=0$ ın iki yanında da konvekstir.

Doğrusu: Her kök için $f''$ nün iki yanındaki işaretler karşılaştırılır. İşaret değişmiyorsa o kök dönüm noktası vermez.

İçbükeylik ile artanlığı karıştırmak

Hata: " $f'' > 0$ ise fonksiyon artandır" denir.

Neden yanlış: $f''$ nün işareti fonksiyonun yönünü değil, bükülüşünü belirler. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ fonksiyonu $x>0$ için $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ ile azalandır, ama $f''(x) = \dfrac{2}{x^3} > 0$ ile aynı anda konvekstir.

Doğrusu: Yön $f'$ den, bükülüş $f''$ den okunur. Dört kombinasyonun dördü de mümkündür.

Dönüm noktasında türevin sıfır olması gerektiğini sanmak

Hata: Dönüm noktası aranırken $f'(x)=0$ denklemi çözülür.

Neden yanlış: Dönüm noktasında teğet yatay olmak zorunda değildir; genellikle değildir de. $f(x)=x^3-3x^2+4$ için dönüm noktası $x=1$ dedir ve orada $f'(1) = 3-6 = -3 \neq 0$ dır.

Doğrusu: Ekstremum için $f'$ , dönüm noktası için $f''$ incelenir. İki arayış birbirinden bağımsızdır.

İkinci türev testi sonuçsuz kalınca "ekstremum yok" demek

Hata: $f''(a)=0$ bulunduğunda $x=a$ da ekstremum olmadığı sonucuna varılır.

Neden yanlış: Test sonuçsuz kaldığında hiçbir bilgi vermez. $f(x)=x^4$ için $f''(0)=0$ dır ve $x=0$ da yerel minimum vardır; $f(x)=x^3$ için de $f''(0)=0$ dır ama ekstremum yoktur. İki durum da aynı işareti verir.

Doğrusu: $f''(a)=0$ çıktığında birinci türev testine dönülür ve $f'$ nün işaret değişimine bakılır.

Dönüm noktasının yalnız apsisini vermek

Hata: $f''(x)=0$ çözülür, bulunan $x=a$ değeri "dönüm noktası" diye yazılır.

Neden yanlış: Dönüm noktası düzlemde bir noktadır; $(a,\,f(a))$ biçiminde yazılır. $f(a)$ hesaplanmazsa cevap yarım kalır.

Doğrusu: Bulunan apsis fonksiyonda yerine konur ve nokta $(a,\,f(a))$ olarak verilir. Soru yalnızca "apsis" istiyorsa o zaman $a$ yeterlidir.

Formül kartı

\boxed{\;f''(x) = \bigl(f'(x)\bigr)' \qquad f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n} \qquad \bigl(x^n\bigr)^{(n)} = n!\;}

İçbükeylik

$f''$	Grafik
$f'' > 0$	konveks $\cup$ — teğetler eğrinin altında
$f'' < 0$	konkav $\cap$ — teğetler eğrinin üstünde

Dönüm noktası

$f''(x)=0$ ya da $f''$ tanımsız olan noktalar bulunur
Her aday için $f''$ nün işaret değiştirdiği doğrulanır
Değişiyorsa nokta $(a,\,f(a))$ olarak yazılır

İkinci türev testi — $f'(a)=0$ olmak koşuluyla


$f''(a) < 0$	yerel maksimum
$f''(a) > 0$	yerel minimum
$f''(a) = 0$	sonuçsuz — birinci türev testine dönülür

Fizik

s(t) \ \xrightarrow{\ '\ } \ v(t) = s'(t) \ \xrightarrow{\ '\ } \ a(t) = s''(t)

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →