← Türev konuları

Türev Alma Kuralları

Türev alma kuralları, her seferinde limit tanımına dönmeden türev hesaplamayı sağlar. Kuvvet, çarpım ve bölüm kurallarının hepsi tanımdan ispatlanır.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

  • Sabit, kuvvet, sabitle çarpım, toplam ve fark kurallarını kullanarak türev alabilir
  • Çarpım ve bölüm kurallarını uygulayarak türev hesaplayabilir
  • Türev alma kurallarını limit tanımından yararlanarak ispatlayabilir
  • Negatif ve rasyonel üslü ifadelerin türevini kuvvet kuralıyla bulabilir
  • Verilen bir ifadede hangi kuralın kullanılacağına karar verebilir

Önce şunları çalış

Neden kurallara ihtiyaç var

Tanımdan türev almak her fonksiyon için işler, ama pratik değildir. f(x)=2x−1x2+3f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+3} gibi bir ifadenin türevini limit tanımıyla hesaplamak sayfalarca işlem demektir.

Aşağıdaki kuralların her biri tanımdan bir kez ispatlanır; sonrasında doğrudan kullanılır. Kuralların hepsi türevin bir limit olmasından ve limitin toplam, çarpım, bölüm özelliklerinden çıkar.

Bu bölümde uu ve vv, türevlenebilir fonksiyonları; cc bir sabiti gösterir.

Sabit fonksiyonun türevi

f(x)=c  ⟹  f′(x)=0f(x) = c \;\Longrightarrow\; f'(x) = 0

İspat. Sabit fonksiyonun her girdideki değeri aynıdır:

f′(x)=lim⁡h→0c−ch=lim⁡h→00h=lim⁡h→00=0f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0

h≠0h \neq 0 olduğu için 0h\frac{0}{h} ifadesi tanımlıdır ve sıfıra eşittir. ■\blacksquare

Geometrik olarak y=cy = c yatay bir doğrudur; eğimi her yerde sıfırdır.

Kuvvet kuralı

f(x)=xn  ⟹  f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n \;\Longrightarrow\; f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Bu kural yalnızca pozitif tam sayılar için değil, negatif ve rasyonel üsler için de geçerlidir.

nn pozitif tam sayı olduğunda ispat binom açılımıyla yapılır ve Türevin Tanımı konusunda verilmiştir. Diğer iki durum aşağıda ele alınıyor.

Negatif üs

nn pozitif tam sayı olmak üzere f(x)=x−n=1xnf(x) = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n} alınsın. Aşağıda ispatlanacak bölüm kuralı uygulanır:

f′(x)=0⋅xn−1⋅nxn−1(xn)2=−nxn−1x2n=−n⋅xn−1−2n=−n⋅x−n−1f'(x) = \frac{0 \cdot x^n - 1 \cdot n x^{n-1}}{\big(x^n\big)^2} = \frac{-n x^{n-1}}{x^{2n}} = -n \cdot x^{n-1-2n} = -n \cdot x^{-n-1}

Sonuç n⋅xn−1n \cdot x^{n-1} formülünün −n-n için yazılmış hâlidir. Kural bozulmaz. ■\blacksquare

Pratikte en çok karşılaşılan iki durum:

(1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = \big(x^{-1}\big)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} (1xn)′=(x−n)′=−nx−n−1=−nxn+1\left(\frac{1}{x^n}\right)' = \big(x^{-n}\big)' = -n x^{-n-1} = -\frac{n}{x^{n+1}}

Rasyonel üs

f(x)=x3=x1/3f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} için türev tanımdan hesaplanabilir. a=x+h3a = \sqrt[3]{x+h} ve b=x3b = \sqrt[3]{x} denirse a3−b3=ha^3 - b^3 = h olur. Küp farkı çarpanlarına ayrılır:

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)  ⟹  a−b=ha2+ab+b2a^3 - b^3 = (a - b)\big(a^2 + ab + b^2\big) \;\Longrightarrow\; a - b = \frac{h}{a^2 + ab + b^2}

Bu ifade tanımda yerine konur:

f′(x)=lim⁡h→0a−bh=lim⁡h→01a2+ab+b2f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{a^2 + ab + b^2}

h→0h \to 0 için a→b=x3a \to b = \sqrt[3]{x} olur; payda üç eşit terime dönüşür:

f′(x)=13b2=13x2/3=13x−2/3f'(x) = \frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3 x^{2/3}} = \frac{1}{3} x^{-2/3}

Bu da n=13n = \frac{1}{3} için nxn−1n x^{n-1} formülünün kendisidir. ■\blacksquare

Aynı yaklaşım x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2} için eşlenikle yapılır ve Türevin Tanımı konusunda verilmiştir. Kuralın her rasyonel üs için geçerli olduğunun genel ispatı kapalı türevi gerektirir ve ileri bir konudur; bu aşamada kural bu genellikte kullanılabilir.

Kök içeren ifadelerde izlenecek yol her zaman aynıdır: önce üslü biçime çevir, sonra kuralı uygula.

x=x1/2x23=x2/31x=x−1/2xx=x3/2\sqrt{x} = x^{1/2} \qquad \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} \qquad \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \qquad x\sqrt{x} = x^{3/2}

Sabitle çarpım kuralı

(c⋅u)′=c⋅u′\big(c \cdot u\big)' = c \cdot u'

İspat. Tanım yazılır ve sabit çarpan limitin dışına alınır:

lim⁡h→0c u(x+h)−c u(x)h=lim⁡h→0c⋅u(x+h)−u(x)h=c⋅u′(x)■\lim_{h \to 0} \frac{c \, u(x+h) - c \, u(x)}{h} = \lim_{h \to 0} c \cdot \frac{u(x+h) - u(x)}{h} = c \cdot u'(x) \qquad \blacksquare

Toplam ve fark kuralı

(u±v)′=u′±v′\big(u \pm v\big)' = u' \pm v'

İspat. Pay yeniden gruplanır:

lim⁡h→0[u(x+h)+v(x+h)]−[u(x)+v(x)]h\lim_{h \to 0} \frac{\big[u(x+h) + v(x+h)\big] - \big[u(x) + v(x)\big]}{h} =lim⁡h→0[u(x+h)−u(x)h+v(x+h)−v(x)h]= \lim_{h \to 0} \left[ \frac{u(x+h) - u(x)}{h} + \frac{v(x+h) - v(x)}{h} \right]

Her iki limit de var olduğundan toplamın limiti limitlerin toplamına eşittir:

=u′(x)+v′(x)■= u'(x) + v'(x) \qquad \blacksquare

Bu üç kural birlikte, her polinomun türevini terim terim almayı mümkün kılar:

(4x5−3x2+7x−9)′=20x4−6x+7\big(4x^5 - 3x^2 + 7x - 9\big)' = 20x^4 - 6x + 7

Çarpım kuralı

(u⋅v)′=u′v+uv′\big(u \cdot v\big)' = u' v + u v'

Bu kural sezgiye aykırıdır: çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildir.

İspat. Tanım yazılır:

(uv)′(x)=lim⁡h→0u(x+h) v(x+h)−u(x) v(x)h(uv)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)\,v(x+h) - u(x)\,v(x)}{h}

Payda doğrudan bir sadeleşme yoktur. Bu yüzden paya, birbirini götüren bir çift terim eklenip çıkarılır:

u(x+h)v(x+h)  −  u(x+h)v(x)  +  u(x+h)v(x)  −  u(x)v(x)u(x+h)v(x+h) \;-\; u(x+h)v(x) \;+\; u(x+h)v(x) \;-\; u(x)v(x)

İlk iki terimde u(x+h)u(x+h), son iki terimde v(x)v(x) ortak çarpandır:

=u(x+h)[v(x+h)−v(x)]+v(x)[u(x+h)−u(x)]= u(x+h)\big[v(x+h) - v(x)\big] + v(x)\big[u(x+h) - u(x)\big]

hh ye bölünür:

(uv)(x+h)−(uv)(x)h=u(x+h)⋅v(x+h)−v(x)h+v(x)⋅u(x+h)−u(x)h\frac{(uv)(x+h) - (uv)(x)}{h} = u(x+h) \cdot \frac{v(x+h) - v(x)}{h} + v(x) \cdot \frac{u(x+h) - u(x)}{h}

h→0h \to 0 için limit alınır. İkinci ve dördüncü çarpanlar tanım gereği v′(x)v'(x) ve u′(x)u'(x) tir. Birinci çarpan için uu nun türevlenebilir olduğu, dolayısıyla sürekli olduğu kullanılır — bu, önceki konuda ispatlanmıştı:

lim⁡h→0u(x+h)=u(x)\lim_{h \to 0} u(x+h) = u(x)

Sonuç:

(uv)′=u(x)v′(x)+v(x)u′(x)■(uv)' = u(x) v'(x) + v(x) u'(x) \qquad \blacksquare

İspatın tek numarası, paya −u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x+h)v(x) + u(x+h)v(x) eklemektir. Toplamı sıfır olduğu için eşitlik bozulmaz, ama ifade iki tanınabilir fark bölümüne ayrılır.

Bölüm kuralı

(uv)′=u′v−uv′v2,v(x)≠0\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}, \qquad v(x) \neq 0

İspat. Tanım yazılır ve paydaki iki kesir birleştirilir:

lim⁡h→01h[u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)]=lim⁡h→0u(x+h)v(x)−u(x)v(x+h)h v(x+h)v(x)\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x+h)}{h \, v(x+h) v(x)}

Paya, çarpım kuralındaki gibi bir çift terim eklenip çıkarılır:

u(x+h)v(x)  −  u(x)v(x)  +  u(x)v(x)  −  u(x)v(x+h)u(x+h)v(x) \;-\; u(x)v(x) \;+\; u(x)v(x) \;-\; u(x)v(x+h) =v(x)[u(x+h)−u(x)]−u(x)[v(x+h)−v(x)]= v(x)\big[u(x+h) - u(x)\big] - u(x)\big[v(x+h) - v(x)\big]

İfade hh ye bölünür:

v(x)⋅u(x+h)−u(x)h−u(x)⋅v(x+h)−v(x)hv(x+h) v(x)\frac{v(x) \cdot \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - u(x) \cdot \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h}}{v(x+h)\,v(x)}

h→0h \to 0 için v(x+h)→v(x)v(x+h) \to v(x) olur (süreklilik) ve fark bölümleri türevlere gider:

(uv)′=v(x)u′(x)−u(x)v′(x)[v(x)]2■\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{v(x) u'(x) - u(x) v'(x)}{\big[v(x)\big]^2} \qquad \blacksquare

Sıraya dikkat. Paydaki iki terim arasında çıkarma vardır; yer değiştirirlerse sonucun işareti ters döner. Hatırlamanın bir yolu şudur: türev önce paya gelir.

(uv)′=u′v⏞tu¨rev payda−uv′⏞tu¨rev paydadav2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{\overbrace{u'v}^{\text{türev payda}} - \overbrace{uv'}^{\text{türev paydada}}}{v^2}

Hangi kural ne zaman

Bir ifadeye bakarken sorulacak ilk soru, "hangi kural" değil, "bu ifade sadeleşiyor mu" olmalıdır.

f(x)=x3−4xxf(x) = \frac{x^3 - 4x}{x}

Bu ifadeye bölüm kuralı uygulanabilir ve doğru sonuç çıkar. Ama önce sadeleştirilirse iş çok kısalır:

f(x)=x2−4  ⟹  f′(x)=2xf(x) = x^2 - 4 \;\Longrightarrow\; f'(x) = 2x

Aynı mantık çarpım için de geçerlidir. (2x+1)(3x−2)(2x+1)(3x-2) ifadesinde çarpım kuralı da işler, açıp toplam kuralı kullanmak da. İkincisi genelde daha az hata verir.

Kural seçimi için pratik sıra:

  1. İfade sadeleşiyor mu? Sadeleştir.
  2. Terimlerin toplamı mı? Terim terim türev al.
  3. Kısa bir çarpım mı? Açmak kolaysa aç, değilse çarpım kuralı.
  4. Sadeleşmeyen bir bölüm mü? Bölüm kuralı.

Çözümlü örnekler

  • 1Zorluk 2/5

    f(x)=4x5−3x2+7x−9f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 9 fonksiyonunun türevini bulun.

    İfade terimlerin toplamı biçimindedir; toplam ve fark kuralı gereği terim terim türev alınır.

    Birinci terim. Sabitle çarpım ve kuvvet kuralı birlikte kullanılır:

    (4x5)′=4⋅5x4=20x4\big(4x^5\big)' = 4 \cdot 5x^4 = 20x^4

    İkinci terim. İşaret korunur:

    (−3x2)′=−3⋅2x=−6x\big(-3x^2\big)' = -3 \cdot 2x = -6x

    Üçüncü terim. xx in türevi 11 dir:

    (7x)′=7⋅1=7(7x)' = 7 \cdot 1 = 7

    Dördüncü terim. Sabitin türevi sıfırdır:

    (−9)′=0(-9)' = 0

    Terimler toplanır:

    f′(x)=20x4−6x+7f'(x) = 20x^4 - 6x + 7
  • 2Zorluk 3/5

    f(x)=3x2+5xf(x) = \dfrac{3}{x^2} + 5\sqrt{x} fonksiyonunun türevini bulun. (x>0)(x > 0)

    Kuvvet kuralını uygulayabilmek için her iki terim önce üslü biçime çevrilir:

    f(x)=3x−2+5x1/2f(x) = 3x^{-2} + 5x^{1/2}

    Birinci terim. Üs bir azaltılır: −2−1=−3-2 - 1 = -3 olur.

    (3x−2)′=3⋅(−2)x−3=−6x−3\big(3x^{-2}\big)' = 3 \cdot (-2) x^{-3} = -6x^{-3}

    İkinci terim. Üs bir azaltılır: 12−1=−12\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} olur.

    (5x1/2)′=5⋅12x−1/2=52x−1/2\big(5x^{1/2}\big)' = 5 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{5}{2} x^{-1/2}

    Toplanır:

    f′(x)=−6x−3+52x−1/2f'(x) = -6x^{-3} + \frac{5}{2}x^{-1/2}

    Sonuç kök ve kesir biçiminde yazılır:

    f′(x)=−6x3+52xf'(x) = -\frac{6}{x^3} + \frac{5}{2\sqrt{x}}

    Kontrol. x=1x = 1 için f′(1)=−6+52=−72f'(1) = -6 + \frac{5}{2} = -\frac{7}{2} bulunur.

  • 3Zorluk 3/5

    f(x)=(x2+1)(x3−2x)f(x) = \big(x^2 + 1\big)\big(x^3 - 2x\big) fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulun ve sonucu ifadeyi açarak doğrulayın.

    Çarpım kuralı ile. Çarpanlar ayrılır:

    u=x2+1  ⇒  u′=2xu = x^2 + 1 \;\Rightarrow\; u' = 2x v=x3−2x  ⇒  v′=3x2−2v = x^3 - 2x \;\Rightarrow\; v' = 3x^2 - 2

    Kural uygulanır:

    f′=u′v+uv′=2x(x3−2x)+(x2+1)(3x2−2)f' = u'v + uv' = 2x\big(x^3 - 2x\big) + \big(x^2+1\big)\big(3x^2 - 2\big)

    Birinci terim açılır:

    2x(x3−2x)=2x4−4x22x\big(x^3 - 2x\big) = 2x^4 - 4x^2

    İkinci terim açılır:

    (x2+1)(3x2−2)=3x4−2x2+3x2−2=3x4+x2−2\big(x^2+1\big)\big(3x^2-2\big) = 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2 = 3x^4 + x^2 - 2

    Toplanır:

    f′(x)=(2x4−4x2)+(3x4+x2−2)=5x4−3x2−2f'(x) = \big(2x^4 - 4x^2\big) + \big(3x^4 + x^2 - 2\big) = 5x^4 - 3x^2 - 2

    Doğrulama — açarak. Önce çarpım açılır:

    f(x)=(x2+1)(x3−2x)=x5−2x3+x3−2x=x5−x3−2xf(x) = \big(x^2+1\big)\big(x^3-2x\big) = x^5 - 2x^3 + x^3 - 2x = x^5 - x^3 - 2x

    Terim terim türev alınır:

    f′(x)=5x4−3x2−2f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2

    İki yol aynı sonucu verdi.

  • 4Zorluk 3/5

    f(x)=2x−1x2+3f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3} fonksiyonunun türevini bulun.

    Pay ve payda ayrı ayrı adlandırılır:

    u=2x−1  ⇒  u′=2u = 2x - 1 \;\Rightarrow\; u' = 2 v=x2+3  ⇒  v′=2xv = x^2 + 3 \;\Rightarrow\; v' = 2x

    Bölüm kuralı yazılır. Türev önce paya gelir:

    f′=u′v−uv′v2=2(x2+3)−(2x−1)(2x)(x2+3)2f' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2\big(x^2+3\big) - (2x-1)(2x)}{\big(x^2+3\big)^2}

    Pay açılır. Birinci terim:

    2(x2+3)=2x2+62\big(x^2+3\big) = 2x^2 + 6

    İkinci terim — çıkarma olduğu için işaretlere dikkat edilir:

    (2x−1)(2x)=4x2−2x(2x-1)(2x) = 4x^2 - 2x 2x2+6−(4x2−2x)=2x2+6−4x2+2x=−2x2+2x+62x^2 + 6 - \big(4x^2 - 2x\big) = 2x^2 + 6 - 4x^2 + 2x = -2x^2 + 2x + 6

    Sonuç:

    f′(x)=−2x2+2x+6(x2+3)2f'(x) = \frac{-2x^2 + 2x + 6}{\big(x^2+3\big)^2}

    Payda hiçbir zaman açılmaz; kare biçiminde bırakılır.

    Kontrol. x=0x = 0 için f′(0)=69=23f'(0) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} bulunur.

  • 5Zorluk 4/5

    f(x)=x3−4xxf(x) = \dfrac{x^3 - 4x}{x} fonksiyonunun türevini iki farklı yolla bulun. (x≠0)(x \neq 0)

    Yol 1 — Önce sadeleştirerek. Payın her terimi xx e bölünür:

    f(x)=x3x−4xx=x2−4f(x) = \frac{x^3}{x} - \frac{4x}{x} = x^2 - 4

    Terim terim türev alınır:

    f′(x)=2xf'(x) = 2x

    Yol 2 — Bölüm kuralıyla. Sadeleştirme yapılmadan devam edilirse:

    u=x3−4x  ⇒  u′=3x2−4u = x^3 - 4x \;\Rightarrow\; u' = 3x^2 - 4 v=x  ⇒  v′=1v = x \;\Rightarrow\; v' = 1 f′=(3x2−4)⋅x−(x3−4x)⋅1x2f' = \frac{\big(3x^2-4\big) \cdot x - \big(x^3 - 4x\big) \cdot 1}{x^2}

    Pay açılır:

    3x3−4x−x3+4x=2x33x^3 - 4x - x^3 + 4x = 2x^3

    Sadeleştirilir:

    f′(x)=2x3x2=2xf'(x) = \frac{2x^3}{x^2} = 2x

    Karşılaştırma. İki yol da 2x2x verir. Birinci yol üç satır, ikincisi sekiz satır sürdü. Bir ifadeye bakarken önce sadeleşip sadeleşmediğine bakmak, kural seçmekten daha önemlidir.

Sık yapılan hatalar

Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak

Hata: (u⋅v)′=u′⋅v′\big(u \cdot v\big)' = u' \cdot v' yazılır.

Neden yanlış: Basit bir sayısal kontrol bunu çürütür. u=xu = x, v=xv = x alınsın. Sol taraf (x2)′=2x\big(x^2\big)' = 2x tir, sağ taraf ise 1⋅1=11 \cdot 1 = 1 dir. 2x≠12x \neq 1.

Doğrusu: (u⋅v)′=u′v+uv′\big(u \cdot v\big)' = u'v + uv'. İki terimlidir ve her terimde bir fonksiyon türevsiz kalır.

Bölüm kuralında payın sırasını ters yazmak

Hata: (uv)′=uv′−u′vv2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u v' - u' v}{v^2} yazılır.

Neden yanlış: Payda çıkarma vardır; terimlerin yeri değişince sonuç −1-1 ile çarpılmış olur. Cevap her adımda doğru işlenmiş olsa bile ters işaretli çıkar.

Doğrusu: Türev önce paya gelir: u′v−uv′v2\dfrac{u'v - uv'}{v^2}.

Negatif üste kuvvet kuralını yanlış uygulamak

Hata: (1x3)′=13x2\left(\dfrac{1}{x^3}\right)' = \dfrac{1}{3x^2} yazılır — üs sanki paydada kalıyormuş gibi işlem yapılır.

Neden yanlış: Kuvvet kuralı üssü bir azaltır, üsse bölmez. Negatif üste −3-3 ün bir azalması −4-4 tür, −2-2 değil.

Doğrusu: Önce üslü biçime çevrilir: 1x3=x−3\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}. Sonra kural uygulanır: −3x−4=−3x4-3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}.

Kökü üslü biçime çevirmeden türev almaya çalışmak

Hata: x\sqrt{x} ya da xxx\sqrt{x} gibi ifadelerde kuvvet kuralı doğrudan uygulanmaya çalışılır.

Neden yanlış: Kuvvet kuralı xnx^n biçimindeki bir ifade için yazılmıştır. Kök işareti duruyorken nn nin ne olduğu görünmez.

Doğrusu: Önce çevrilir: x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}, xx=x3/2x\sqrt{x} = x^{3/2}, 1x=x−1/2\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}. Sonra kural uygulanır.

Sadeleşen ifadede doğrudan bölüm kuralına gitmek

Hata: x3+2x2x2\dfrac{x^3 + 2x^2}{x^2} ifadesinde hemen bölüm kuralı kurulur.

Neden yanlış: Yanlış değildir, ama gereksiz uzundur; dördüncü dereceden bir payda ile uğraşmak hata olasılığını artırır.

Doğrusu: Önce sadeleştirilir: x3+2x2x2=x+2\dfrac{x^3 + 2x^2}{x^2} = x + 2. Türev doğrudan 11 dir.

Formül kartı

  (xn)′=n⋅xn−1(n∈Q)(c)′=0  \boxed{\;\big(x^n\big)' = n \cdot x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{Q}) \qquad\qquad (c)' = 0\;} (c⋅u)′=c⋅u′(u±v)′=u′±v′\big(c \cdot u\big)' = c \cdot u' \qquad \big(u \pm v\big)' = u' \pm v' (u⋅v)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2\big(u \cdot v\big)' = u'v + uv' \qquad\qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
f(x)f(x)f′(x)f'(x)
cc00
xx11
xnx^nnxn−1n x^{n-1}
1xn=x−n\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}−nxn+1-\dfrac{n}{x^{n+1}}
x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
x3=x1/3\sqrt[3]{x} = x^{1/3}13x23\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Kök–üs çevrimleri: x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}, x23=x2/3\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}, 1x=x−1/2\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}, xx=x3/2x\sqrt{x} = x^{3/2}

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →

Siteyi çalıştırmak için gerekli çerezleri kullanıyoruz. Detaylar için: Çerez Politikası