Bileşke Fonksiyonun Türevi (Zincir Kuralı)

Bileşke bir fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır. İç türevi unutmak bu konudaki en yaygın hatadır.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir fonksiyonu dış ve iç fonksiyon olarak ayırabilir
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralıyla hesaplayabilir
Zincir kuralını Leibniz gösterimiyle ifade edebilir
Genelleştirilmiş kuvvet kuralını köklü ve rasyonel ifadelere uygulayabilir
Zincir kuralını çarpım ve bölüm kurallarıyla birlikte kullanabilir

Önce şunları çalış

Neden yeni bir kurala ihtiyaç var

$f(x) = (3x+1)^4$ fonksiyonunun türevi kuvvet kuralıyla $4(3x+1)^3$ müdür?

Kontrol edilebilir. $f(x) = (3x+1)^2$ gibi daha küçük bir örnek açılırsa:

f(x) = 9x^2 + 6x + 1 \;\Longrightarrow\; f'(x) = 18x + 6 = 6(3x+1)

Oysa kuvvet kuralı doğrudan uygulansaydı $2(3x+1)$ çıkardı. Aradaki fark tam olarak $3$ tür — yani içerideki $3x+1$ ifadesinin türevi.

Kuvvet kuralı yalnızca taban $x$ iken geçerlidir. Taban başka bir fonksiyon olduğunda araya bir çarpan girer.

Bileşke fonksiyon

$f(x) = (3x+1)^4$ ifadesi tek bir işlem değil, üst üste binmiş iki işlemdir:

Önce $x$ alınır, $3x+1$ hesaplanır. Bu iç fonksiyondur: $g(x) = 3x+1$
Sonra çıkan sayının dördüncü kuvveti alınır. Bu dış fonksiyondur: $f(u) = u^4$

Birleşimi $f\big(g(x)\big)$ ya da $(f \circ g)(x)$ biçiminde yazılır.

Dış–iç ayrımını bulmanın pratik yolu şudur: "Bu ifadeyi bir sayı için hesaplasaydım en son hangi işlemi yapardım?" En son yapılan işlem dış fonksiyondur.

$\sqrt{x^2+5}$ ifadesinde en son kök alınır → dış fonksiyon karekök, iç fonksiyon $x^2+5$ .

Zincir kuralı

\big(f \circ g\big)'(x) = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)

Sözle: dış fonksiyonun türevi — içi aynen kalarak — çarpı iç fonksiyonun türevi.

"İçi aynen kalarak" kısmı kritiktir. $f'\big(g(x)\big)$ ifadesinde dış fonksiyonun türevi alınır, ama içine yine $g(x)$ yazılır, $x$ değil.

Leibniz gösteriminde kural çok daha akılda kalıcıdır. $y = f(u)$ ve $u = g(x)$ olmak üzere:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Bu yazımda $du$ ler sadeleşiyormuş gibi görünür. Bu bir ispat değildir — $\frac{dy}{du}$ gerçek bir kesir değildir — ama kuralı hatırlatan iyi bir işarettir. Leibniz gösteriminin zincir kuralında tercih edilmesinin sebebi budur.

Neden çarpım

Kuralın çarpım olması bir tesadüf değil, değişim hızlarının doğal davranışıdır.

$u$ , $x$ e göre $3$ kat hızlı değişiyorsa ve $y$ de $u$ ya göre $2$ kat hızlı değişiyorsa, $y$ nin $x$ e göre değişim hızı $2 \cdot 3 = 6$ kattır. Hızlar zincir boyunca çarpılarak birikir.

İspat

$g$ fonksiyonu $x$ te, $f$ fonksiyonu $g(x)$ te türevlenebilir olsun.

Tanım yazılır:

\big(f \circ g\big)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f\big(g(x+h)\big) - f\big(g(x)\big)}{h}

$x$ in yeterince küçük bir komşuluğunda $g(x+h) \neq g(x)$ olduğu varsayılsın. O zaman ifade $g(x+h) - g(x)$ ile hem çarpılıp hem bölünebilir:

= \lim_{h \to 0} \left[ \frac{f\big(g(x+h)\big) - f\big(g(x)\big)}{g(x+h) - g(x)} \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right]

İkinci çarpan doğrudan tanınır; $g$ nin türevinin tanımıdır:

\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)

Birinci çarpan için $k = g(x+h) - g(x)$ değişken değişimi yapılır. $g$ türevlenebilir olduğundan süreklidir, dolayısıyla $h \to 0$ iken $k \to 0$ olur:

\lim_{h \to 0} \frac{f\big(g(x) + k\big) - f\big(g(x)\big)}{k} = f'\big(g(x)\big)

İki limit de var olduğundan çarpımın limiti limitlerin çarpımına eşittir:

\big(f \circ g\big)'(x) = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x) \qquad \blacksquare

İspatın açığı. Yukarıda $g(x+h) \neq g(x)$ olduğu varsayıldı; aksi hâlde paydaya sıfır gelirdi. Bu varsayımın sağlanmadığı fonksiyonlar vardır ve kural o durumlarda da geçerlidir, ama ispatı daha dikkatli bir argüman gerektirir. Lise düzeyinde bu ayrıntıya girilmez; kuralın kendisi her iki durumda da doğrudur.

Genelleştirilmiş kuvvet kuralı

Zincir kuralının en sık kullanılan hâli, dış fonksiyonun kuvvet olduğu durumdur:

\Big(\big[u(x)\big]^n\Big)' = n \cdot \big[u(x)\big]^{n-1} \cdot u'(x)

Kuvvet kuralının yanına eklenen tek şey $u'(x)$ çarpanıdır. $u(x) = x$ alınırsa $u'(x) = 1$ olur ve bilinen kuvvet kuralı geri gelir.

Uygulama adımları:

İç fonksiyon $u$ belirlenir.
Dış fonksiyonun türevi, içi bozulmadan yazılır.
$u'$ ile çarpılır.
Sadeleştirilir.

\big((3x+1)^4\big)' = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3

Köklü ve rasyonel ifadeler

Kök ve kesirler önce üslü biçime çevrilir, sonra genelleştirilmiş kuvvet kuralı uygulanır.

\sqrt{u} = u^{1/2} \;\Longrightarrow\; \big(\sqrt{u}\big)' = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

\frac{1}{u} = u^{-1} \;\Longrightarrow\; \left(\frac{1}{u}\right)' = -u^{-2} \cdot u' = -\frac{u'}{u^2}

Örnek:

\Big(\sqrt{x^2+5}\Big)' = \frac{(x^2+5)'}{2\sqrt{x^2+5}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}

Çok katmanlı bileşke

Bileşke ikiden fazla katman içerebilir. Kural her katmanda tekrar uygulanır; türevler zincir boyunca çarpılır:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}

En dıştan başlanır ve her adımda bir katman soyulur. $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$ ifadesinde katmanlar dıştan içe şöyledir: karekök → $1 + \sqrt{x}$ → $\sqrt{x}$ .

Diğer kurallarla birlikte

Zincir kuralı, çarpım ve bölüm kurallarının yerini almaz; onlarla birlikte çalışır.

$f(x) = x^2 (x^3+1)^4$ ifadesi bir çarpımdır; çarpım kuralı uygulanır. Ama ikinci çarpanın türevi alınırken zincir kuralına ihtiyaç duyulur:

f' = \underbrace{2x}_{u'} \cdot (x^3+1)^4 + x^2 \cdot \underbrace{4(x^3+1)^3 \cdot 3x^2}_{\text{zincir}}

Karıştırılmaması gereken ayrım şudur: $x^2(x+1)$ bir çarpımdır, bileşke değildir — burada zincir kuralının işi yoktur.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$f(x) = (3x+1)^4$ fonksiyonunun türevini bulun.
Katmanlar ayrılır. Bir sayı için hesaplansaydı en son dördüncü kuvvet alınırdı; dolayısıyla dış fonksiyon kuvvet, iç fonksiyon parantezin içidir:
$u = 3x + 1 \;\Longrightarrow\; u' = 3$
Dış fonksiyonun türevi. İçi bozulmadan yazılır:
$4(3x+1)^3$
İç türevle çarpılır.
$f'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$
Kontrol. $x = 0$ için $f'(0) = 12 \cdot 1 = 12$ bulunur. Aynı değeri açılımdan da elde etmek mümkündür: $f(x) = (3x+1)^4$ ifadesinin sabit ve birinci dereceden terimleri $1 + 12x$ tir, dolayısıyla $x = 0$ daki eğim $12$ dir.
2Zorluk 3/5
$f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ fonksiyonunun türevini bulun.
Üslü biçime çevrilir. Kök işareti dururken kuvvet kuralı uygulanamaz:
$f(x) = \big(x^2 + 5\big)^{1/2}$
Katmanlar. İç fonksiyon ve türevi:
$u = x^2 + 5 \;\Longrightarrow\; u' = 2x$
Dış fonksiyonun türevi. Üs bir azalır: $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}\big(x^2+5\big)^{-1/2}$
İç türevle çarpılır.
$f'(x) = \frac{1}{2}\big(x^2+5\big)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}$
Sadeleştirilir.
$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}$
Kontrol. $x = 2$ için $f'(2) = \dfrac{2}{\sqrt{9}} = \dfrac{2}{3}$ bulunur.
3Zorluk 3/5
$f(x) = \dfrac{1}{(2x-3)^5}$ fonksiyonunun türevini bulun.
Üslü biçime çevrilir. Payda negatif üsle yukarı taşınır:
$f(x) = (2x-3)^{-5}$
Katmanlar.
$u = 2x - 3 \;\Longrightarrow\; u' = 2$
Dış fonksiyonun türevi. Üs bir azalır: $-5 - 1 = -6$
$-5(2x-3)^{-6}$
İç türevle çarpılır.
$f'(x) = -5(2x-3)^{-6} \cdot 2 = -10(2x-3)^{-6}$
Kesir biçiminde yazılır.
$f'(x) = -\frac{10}{(2x-3)^6}$
Kontrol. $x = 2$ için $2x - 3 = 1$ olur ve $f'(2) = -10$ bulunur. Fonksiyon $x = 2$ civarında azalmaktadır; türevin negatif çıkması bununla tutarlıdır.
4Zorluk 4/5
$f(x) = x^2 \big(x^3 + 1\big)^4$ fonksiyonunun türevini bulun ve ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
İfade bir çarpımdır, dolayısıyla önce çarpım kuralı kurulur. İkinci çarpanın türevi alınırken zincir kuralı devreye girer.

Çarpanlar.
$u = x^2 \;\Longrightarrow\; u' = 2x$ $v = \big(x^3+1\big)^4 \;\Longrightarrow\; v' = 4\big(x^3+1\big)^3 \cdot 3x^2 = 12x^2\big(x^3+1\big)^3$
İkinci türevde $3x^2$ çarpanının nereden geldiğine dikkat: iç fonksiyon $x^3+1$ in türevidir.

Çarpım kuralı.
$f' = u'v + uv' = 2x\big(x^3+1\big)^4 + x^2 \cdot 12x^2\big(x^3+1\big)^3$ $= 2x\big(x^3+1\big)^4 + 12x^4\big(x^3+1\big)^3$
Ortak çarpan parantezine alınır. İki terimde de en az $2x$ ve $\big(x^3+1\big)^3$ vardır:
$= 2x\big(x^3+1\big)^3 \Big[ \big(x^3+1\big) + 6x^3 \Big]$
Köşeli parantez sadeleştirilir:
$\big(x^3+1\big) + 6x^3 = 7x^3 + 1$
Sonuç.
$f'(x) = 2x\big(x^3+1\big)^3\big(7x^3+1\big)$
Kontrol. $x = 1$ için sadeleşmemiş hâl $2 \cdot 16 + 12 \cdot 8 = 32 + 96 = 128$ verir. Sadeleşmiş hâl ise $2 \cdot 8 \cdot 8 = 128$ verir. İki ifade uyuşuyor.
5Zorluk 4/5
$f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$ fonksiyonunun türevini bulun. $(x > 0)$
Üç katmanlı bir bileşkedir. Dıştan içe: karekök → $1 + \sqrt{x}$ → $\sqrt{x}$ .

En dış katman. Dış fonksiyon karekök, içi $1 + \sqrt{x}$ tir:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt{x}}} \cdot \big(1 + \sqrt{x}\big)'$
İkinci katman. Parantezin türevi alınır. Sabit terimin türevi sıfırdır:
$\big(1 + \sqrt{x}\big)' = 0 + \big(\sqrt{x}\big)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Birleştirilir.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}$
Kontrol. $x = 4$ için $\sqrt{x} = 2$ ve $1 + \sqrt{x} = 3$ olur:
$f'(4) = \frac{1}{4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{8\sqrt{3}} \approx 0{,}072$
Türev pozitiftir; fonksiyon artandır. İç içe iki artan fonksiyonun bileşkesi olduğu için bu beklenen sonuçtur.

Sık yapılan hatalar

İç fonksiyonun türevini unutmak

Hata: $\big((5x+2)^3\big)' = 3(5x+2)^2$ yazılır.

Neden yanlış: Kuvvet kuralı yalnızca taban $x$ iken bu biçimde çalışır. Taban $5x+2$ olduğunda $u' = 5$ çarpanı eklenmelidir. Bu, konudaki en yaygın hatadır.

Doğrusu: $3(5x+2)^2 \cdot 5 = 15(5x+2)^2$ .

Dış fonksiyonun türevine $x$ yazmak

Hata: $\big(f(g(x))\big)' = f'(x) \cdot g'(x)$ yazılır.

Neden yanlış: Dış fonksiyonun türevi alınırken içerideki ifade değişmez; $f'$ nün argümanı yine $g(x)$ tir. $x$ yazılırsa tamamen farklı bir fonksiyon elde edilir.

Doğrusu: $f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)$ . Türev alınır, iç aynen kalır, sonra iç türevle çarpılır.

Köklü ifadeyi üslü biçime çevirmeden zincir kurmak

Hata: $\sqrt{x^2+5}$ ifadesinde kök işareti dururken doğrudan bir kural aranır.

Neden yanlış: Genelleştirilmiş kuvvet kuralı $\big[u\big]^n$ biçimi için yazılmıştır; kök işareti duruyorken $n$ nin ne olduğu görünmez.

Doğrusu: Önce $\big(x^2+5\big)^{1/2}$ yazılır, sonra kural uygulanır: $\frac{1}{2}\big(x^2+5\big)^{-1/2} \cdot 2x$ .

Bileşke olmayan bir ifadeyi bileşke sanmak

Hata: $x^2(x+1)$ ifadesine zincir kuralı uygulanmaya çalışılır.

Neden yanlış: Bu bir bileşke değil, bir çarpımdır. Bileşkede bir fonksiyonun çıktısı diğerinin girdisi olur; burada iki ifade yan yana çarpılmaktadır.

Doğrusu: Çarpım kuralı uygulanır: $2x(x+1) + x^2 \cdot 1$ .

Çarpım ve zincirin birlikte gerektiği yerde birini atlamak

Hata: $x^2(x^3+1)^4$ ifadesinde yalnızca çarpım kuralı kurulur, ikinci çarpanın türevi $4(x^3+1)^3$ olarak yazılır.

Neden yanlış: İkinci çarpanın kendisi bir bileşkedir; türevi alınırken $3x^2$ iç türevi de gelmelidir.

Doğrusu: $2x(x^3+1)^4 + x^2 \cdot 4(x^3+1)^3 \cdot 3x^2$ . Dıştaki kural çarpım, içteki kural zincirdir; ikisi birlikte kullanılır.

Formül kartı

\boxed{\;\big(f \circ g\big)'(x) = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x) \qquad\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\;}

\Big(\big[u(x)\big]^n\Big)' = n \big[u(x)\big]^{n-1} \cdot u'(x)

$f(x)$	$f'(x)$
$\big[u\big]^n$	$n \big[u\big]^{n-1} \cdot u'$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\sqrt[3]{u}$	$\dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$
$\dfrac{1}{u^n}$	$-\dfrac{n \, u'}{u^{n+1}}$

Üç katmanlı bileşke: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →