Rolle ve Ortalama Değer Teoremleri

Grafikten keşif: uçları birleştiren doğru

Bir $f$ fonksiyonunun grafiği üzerinde iki nokta işaretlensin:

$$A\big(a,\, f(a)\big) \qquad\qquad B\big(b,\, f(b)\big)$$

Bu iki noktadan geçen doğru çizilir. Bu doğruya eğrinin kirişi denir ve eğimi iki nokta arasındaki ortalama değişimi verir:

$$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Şimdi eğri boyunca bir teğet doğrusu düşünülsün ve bu teğet, $A$'dan $B$'ye doğru kaydırılsın. Teğetin eğimi $x$ değiştikçe değişir. Sorulacak soru şudur: bu kayma sırasında teğetin eğimi $m$ değerine eşit olduğu bir an var mıdır?

Önce en basit hâl incelenir: $f(a) = f(b)$ olsun. Bu durumda kiriş yataydır ve $m = 0$'dır. Eğri $A$'dan çıkıp $B$'ye dönmek zorunda olduğuna göre, bir yere kadar yükselip sonra alçalır (ya da tersi). Yükselmenin bittiği, alçalmanın başladığı noktada teğet yataydır:

Şekildeki eğri $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ fonksiyonuna aittir. Uç noktalarda $f(1) = 2$ ve $f(3) = 2$'dir, yani kiriş yataydır. Tepe noktası $x = 2$ apsisindedir ve orada $f(2) = 3$'tür. Türev alınıp sınanırsa:

$$f'(x) = -2x + 4 \quad\Longrightarrow\quad f'(2) = -4 + 4 = 0$$

Teğetin gerçekten yatay olduğu bu hesapla doğrulanmış olur. Bu gözlem bir teorem olarak yazılır.

Rolle teoremi

$f$ fonksiyonu için

1. $[a, b]$ kapalı aralığında sürekli,
2. $(a, b)$ açık aralığında türevlenebilir,
3. $f(a) = f(b)$

koşulları sağlanıyorsa, $(a, b)$ aralığında

$$f'(c) = 0$$

olacak biçimde en az bir $c$ sayısı vardır.

Üç koşul da aynı derecede gereklidir; hiçbiri süs değildir. Bir sonraki bölümlerde her biri tek tek düşürülüp sonucun nasıl çöktüğü gösterilecektir.

Sonuçtaki $c$'nin açık aralıkta arandığına dikkat edilmelidir. $c = a$ ya da $c = b$ olamaz; teorem, uçlarda değil, uçların arasında bir nokta vaat eder.

Neden böyle

Yukarıdaki keşif bir gerekçedir; ispat değildir. Gerekçe şöyle okunur.

$f$, $[a, b]$ üzerinde sürekli olduğundan grafiği kopmaz — kalem kâğıttan kalkmadan çizilir. $f(a) = f(b)$ olduğundan eğri, çıktığı yükseklikte biter. İki durumdan biri geçerlidir:

Birinci durum: eğri hiç ayrılmaz. $f$ aralık boyunca sabittir. O zaman her noktada $f'(x) = 0$'dır ve $c$ olarak aralığın herhangi bir iç noktası alınır.

İkinci durum: eğri kirişten ayrılır. Eğri bir yerde kirişin üstüne çıkarsa, uçlara dönebilmek için sonradan alçalmak zorundadır. Yükselmenin bittiği, alçalmanın başladığı en yüksek noktada eğri bir tepe yapar. Bu tepe aralığın içindedir, çünkü uçlardaki yükseklik daha düşüktür. Aralığın içindeki bir tepe noktasında türev sıfırdır — bu, yerel-ve-mutlak-ekstremum konusunda kurulmuş olan bilgidir. Eğri kirişin altına inerse aynı akıl yürütme dip noktası için tekrarlanır.

Her iki durumda da $f'(c) = 0$ olan bir $c$ bulunur.

Bu gerekçe, "sürekli bir eğrinin kapalı aralıkta en yüksek ve en alçak noktalarının bulunduğu" bilgisine yaslanır. O bilginin kendisi bu programın kapsamı dışındadır; burada grafik üzerinden kabul edilmektedir.

Ortalama değer teoremi

Kiriş yatay değilse ne olur? Şekil eğik kirişle yeniden çizilir:

Şekildeki eğri $f(x) = x^2$ fonksiyonuna aittir ve aralık $[1, 3]$'tür. Kirişin eğimi hesaplanır:

$$m = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Eğrinin bu eğimde teğete sahip olduğu nokta aranır:

$$f'(x) = 2x, \qquad 2c = 4 \quad\Longrightarrow\quad c = 2$$

$c = 2$ değeri $(1, 3)$ aralığındadır ve $f(2) = 4$'tür. Şekildeki $C$ noktası budur; oradaki teğet kirişe paraleldir.

Genel ifade şudur. $f$ fonksiyonu

1. $[a, b]$ kapalı aralığında sürekli,
2. $(a, b)$ açık aralığında türevlenebilir

ise, $(a, b)$ aralığında

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

olacak biçimde en az bir $c$ sayısı vardır.

Sol taraf bir noktadaki anlık değişimi, sağ taraf aralık boyunca gerçekleşen ortalama değişimi verir. Teoremin söylediği şudur: ortalama değişim, aralığın içinde bir yerde anlık olarak da gerçekleşir.

İkisi arasındaki ilişki

Ortalama değer teoreminde $f(a) = f(b)$ alınırsa sağ tarafın payı sıfır olur:

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{0}{b - a} = 0$$

Bu tam olarak Rolle teoreminin sonucudur. Yani Rolle, ortalama değer teoreminin özel hâlidir: kiriş yatay olduğunda eğimi sıfırdır, dolayısıyla kirişe paralel teğet de yatay olur.

	Kiriş	Aranan teğet
Rolle	yatay ($m = 0$)	yatay
Ortalama değer	eğik ($m \neq 0$)	kirişe paralel

İki teorem ayrı ayrı ezberlenmez; biri diğerinin özel durumudur.

Koşullar neden gerekli

Her koşul tek tek düşürülür ve sonucun çöktüğü birer karşı örnekle gösterilir. Aşağıdaki üç örnekte de kalan koşullar sağlanmaktadır; yalnızca adı geçen koşul bozulmuştur.

Süreklilik olmazsa. $[0, 1]$ aralığında

$$f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\[2pt] 0, & x = 1 \end{cases}$$

fonksiyonu ele alınsın. Uç değerler eşittir: $f(0) = 0$ ve $f(1) = 0$. Fonksiyon $(0, 1)$ aralığında türevlenebilirdir ve orada $f'(x) = 1$'dir. Ancak $x \to 1^-$ iken $f(x) \to 1$ olduğu hâlde $f(1) = 0$'dır; fonksiyon $x = 1$ noktasında sürekli değildir. Türev $(0, 1)$ boyunca sabit $1$ olduğundan hiçbir noktada sıfırlanmaz. Rolle'ün sonucu geçerli değildir.

Türevlenebilirlik olmazsa. $[1, 3]$ aralığında $f(x) = |x - 2|$ alınsın:

Uç değerler eşittir: $f(1) = |1 - 2| = 1$ ve $f(3) = |3 - 2| = 1$. Fonksiyon $[1, 3]$ üzerinde süreklidir. Ancak $x = 2$ noktasında köşe vardır ve orada türev tanımlı değildir. Diğer noktalarda türev

$$f'(x) = \begin{cases} -1, & 1 < x < 2 \\[2pt] +1, & 2 < x < 3 \end{cases}$$

biçimindedir; hiçbir noktada sıfır olmaz. Yatay teğet yoktur.

$f(a) = f(b)$ olmazsa. $[0, 1]$ aralığında $f(x) = x$ alınsın. Fonksiyon süreklidir, türevlenebilirdir; ancak $f(0) = 0$ ve $f(1) = 1$ olduğundan uç değerler eşit değildir. Türev her yerde $f'(x) = 1$ olduğundan sıfırlanmaz.

Not: bu üçüncü örnekte ortalama değer teoremi hâlâ geçerlidir. Kirişin eğimi $\dfrac{1 - 0}{1 - 0} = 1$'dir ve gerçekten $f'(x) = 1$'dir; aralığın her noktası $c$ olarak alınabilir. Çöken şey Rolle'ün sonucudur, ortalama değer teoreminin sonucu değil.

"En az bir" ne demek

Teoremlerin ifadesinde "en az bir $c$ vardır" yazar. Bu, $c$'nin tek olduğunu söylemez. Birden çok $c$ bulunabilir.

$f(x) = x^3 - x$ fonksiyonu $[-1, 1]$ aralığında incelensin. Uç değerler:

$$f(-1) = -1 + 1 = 0, \qquad f(1) = 1 - 1 = 0$$

Polinom olduğu için süreklilik ve türevlenebilirlik sağlanır; Rolle uygulanabilir. Türev sıfırlanır:

$$f'(x) = 3x^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Her ikisi de $(-1, 1)$ aralığındadır, çünkü $\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$ ve $0{,}577 < 1$'dir. Yani iki ayrı $c$ değeri vardır.

Teorem varlık bildirir, sayı bildirmez. "$c$ kaçtır" sorusunun yanıtı teoremden değil, $f'(x) = 0$ denklemi çözülerek bulunur ve birden çok kök çıkabilir.

$c$'yi cebirsel bulma

Her iki teoremde de izlenen sıra aynıdır:

1. Koşullar kontrol edilir. Fonksiyon $[a, b]$'de sürekli mi, $(a, b)$'de türevlenebilir mi? Rolle için ayrıca $f(a) = f(b)$ mi?
2. Sağ taraf hesaplanır. Rolle'de $0$, ortalama değerde $m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
3. Denklem kurulur. $f'(x) = m$ yazılır ve çözülür.
4. Kökler elenir. Yalnızca $(a, b)$ aralığındaki kökler alınır; aralık dışındakiler ve uç noktalar atılır.

Dördüncü adım sık atlanır. $f'(x) = m$ denkleminin her kökü geçerli bir $c$ değil; yalnızca açık aralıktakiler geçerlidir.

Ortalama hız yorumu

Bir aracın konumu $s(t)$ ile gösterilsin. $[t_1, t_2]$ zaman aralığında ortalama hız

$$V_{\text{ort}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$$

ve herhangi bir andaki anlık hız $s'(t)$'dir. Ortalama değer teoremi bu iki büyüklüğü birbirine bağlar: konum fonksiyonu sürekli ve türevlenebilir olduğu sürece, aralığın içinde

$$s'(c) = V_{\text{ort}}$$

olan bir $c$ anı vardır.

Somut okunuşu şudur: bir yolculukta ortalama hız $80$ km/sa ise, yol boyunca hız göstergesinin tam olarak $80$'i gösterdiği bir an mutlaka yaşanmıştır. Hız bazen $60$, bazen $100$ olabilir; ama $60$'tan $100$'e geçerken $80$'den geçilmek zorundadır.

Bu yorum, teoremin neden "ortalama değer" adını taşıdığını da açıklar: aralığın ortalaması, aralığın içinde bir noktada anlık olarak gerçekleşir.