Yerel ve Mutlak Ekstremum

Yerel ekstremumlar kritik noktalarda aranır ve türevin işaret değiştirmesiyle belirlenir. Kapalı aralıkta mutlak ekstremum için uç noktalar da hesaba katılır.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını tanımlayabilir
Kritik noktaları belirleyip birinci türev testini uygulayabilir
Bir kritik noktanın ekstremum olmayabileceğini örnekle açıklayabilir
Kapalı bir aralıkta mutlak maksimum ve minimum değerlerini bulabilir
Türev grafiği verilen bir fonksiyonun ekstremum noktalarını belirleyebilir

Önce şunları çalış

Yerel ekstremum ne demek

Bir fonksiyonun $x = a$ noktasında yerel maksimumu vardır demek, $a$ nın yeterince küçük bir komşuluğundaki her $x$ için

f(x) \le f(a)

olması demektir. Yerel minimumda eşitsizlik ters yöne döner.

"Yerel" sözcüğü belirleyicidir: karşılaştırma yalnızca yakın çevreyle yapılır. Bir tepe noktası, grafiğin başka bir yerindeki çok daha yüksek bir noktadan alçak olabilir; bu, onun yerel maksimum olmasını engellemez.

Kritik noktalar

Bir iç noktada yerel ekstremum varsa, o noktada teğet ya yataydır ya da çizilemez. Buradan kritik nokta tanımı çıkar:

f'(a) = 0 \qquad \text{ya da} \qquad f'(a) \text{ tanımsız}

Bu koşulu sağlayan noktalara kritik nokta denir. Ekstremumlar yalnızca kritik noktalarda aranır — başka hiçbir yerde olamazlar.

Ama tersi doğru değildir: her kritik nokta ekstremum değildir.

Birinci türev testi

Belirleyici olan, türevin kritik noktada işaret değiştirmesidir.

$f'$ nün işaret değişimi	$x = a$ da
$+ \ \to \ -$	yerel maksimum
$- \ \to \ +$	yerel minimum
$+ \ \to \ +$ ya da $- \ \to \ -$	ekstremum yok

Üçüncü satır atlanmamalı. $f(x) = x^3$ için $f'(x) = 3x^2$ tir; $x = 0$ bir kritik noktadır ama türev iki tarafta da pozitiftir. Fonksiyon orada yalnızca duraklar, yön değiştirmez — ekstremum yoktur.

Mutlak ekstremum ve kapalı aralık

Mutlak maksimum, fonksiyonun incelenen kümedeki en büyük değeridir; karşılaştırma yerel değil, her yerle yapılır.

Kapalı bir $[a,\,b]$ aralığında sürekli bir fonksiyon mutlak maksimum ve minimum değerlerine mutlaka ulaşır. Bu değerler yalnızca iki yerde olabilir:

aralığın içindeki kritik noktalarda,
aralığın uç noktalarında.

Yöntem bu yüzden çok kısadır: kritik noktalar bulunur, bu noktaların ve uç noktaların fonksiyon değerleri hesaplanır, en büyük ve en küçük olan seçilir. İşaret tablosu kurmaya bile gerek yoktur.

Uç noktaları listeye almamak, bu konudaki en yaygın hatadır. Mutlak maksimum çoğu zaman bir tepe noktasında değil, aralığın ucundadır.

Şekilde mutlak maksimum, içerideki tepe noktasında değil, sağ uç noktadadır. Yerel minimum ise aynı zamanda mutlak minimumdur.

Türevin tanımsız olduğu noktalarda ekstremum

Kritik nokta tanımı $f'$ nün tanımsız olduğu noktaları da kapsar. Bu noktalar atlanırsa gerçek ekstremumlar kaçırılır.

$f(x) = \lvert x - 1 \rvert$ fonksiyonunun türevi $x = 1$ de yoktur, ama fonksiyon orada en küçük değerini alır: solda $f' = -1$ , sağda $f' = +1$ dir. İşaret $-$ den $+$ ya döndüğü için burası bir yerel minimumdur.

Birinci türev testi bu durumda da aynen çalışır; test türevin değerine değil, işaret değişimine bakar.

Türev grafiğinden ekstremum okuma

$f'$ nün grafiği verildiğinde ekstremumlar hesapsız bulunur. Bakılacak tek şey, eğrinin $x$ eksenini nasıl geçtiğidir.

$f'$ grafiği $x$ eksenini	$f$ için
yukarıdan aşağıya kesiyor	yerel maksimum
aşağıdan yukarıya kesiyor	yerel minimum
değip geri dönüyor	ekstremum yok

Grafiğin tepe ya da çukur yapması ekstremum işareti değildir; $f'$ nün kendi tepe noktası, $f$ nin en hızlı arttığı yeri gösterir.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 3/5
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulun.
1. Kritik noktalar.
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3)$ $x = -1 \quad \text{veya} \quad x = 3$
Türev her yerde tanımlı olduğundan başka kritik nokta yoktur.

2. İşaret tablosu.

$x$ $-\infty$ $-1$ $3$ $+\infty$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ artan azalan artan

3. Birinci türev testi.

$x = -1$ de işaret $+$ dan $-$ ye döndü → yerel maksimum.

$x = 3$ te işaret $-$ den $+$ ya döndü → yerel minimum.

4. Değerler.
$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$
Sonuç. Yerel maksimum noktası $(-1,\,10)$ , yerel minimum noktası $(3,\,-22)$ dir.

Not. Bu ekstremumlar mutlak değildir: üçüncü dereceden bir polinom $x \to +\infty$ için sınırsız büyür, $x \to -\infty$ için sınırsız küçülür. $\mathbb{R}$ üzerinde mutlak ekstremum yoktur.
2Zorluk 3/5
$f(x) = x^3$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktası var mıdır? İnceleyin.
1. Kritik nokta.
$f'(x) = 3x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0$
Tek kritik nokta $x = 0$ dır.

2. İşaret incelemesi. $3x^2$ ifadesi bir karedir; $x \neq 0$ için daima pozitiftir:

$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$
$f'(x)$ $+$ $0$ $+$
$f(x)$ artan artan

3. Test. İşaret $+$ dan yine $+$ ya geçmektedir — değişmiyor. Dolayısıyla $x=0$ da ekstremum yoktur.

Geometrik yorum. $x=0$ da teğet yataydır, yani eğri bir an için düzleşir; ama hemen ardından yükselmeye devam eder. Fonksiyon $\mathbb{R}$ nin tamamında artandır.

Çıkarılacak kural. Kritik nokta olmak, ekstremum olmak için gerekli ama yeterli değildir. $f'(a)=0$ görüldüğünde iş bitmez; işaret değişimi kontrol edilmelidir.

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		artan		azalan		artan

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$+$
$f(x)$		artan		artan

3Zorluk 4/5

Şekilde bir $f$ fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. Eğri $x$ eksenini $-2$ , $1$ ve $3$ noktalarında kesmektedir.

Buna göre $f$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerini ve türlerini belirleyin.

Ekstremumlar, $f'$ grafiğinin $x$ eksenini kestiği noktalarda aranır. Belirleyici olan, kesişin hangi yönde olduğudur.

Grafikten okunan işaretler.

Aralık	$f'$ nün konumu	İşaret
$(-\infty,\,-2)$	eksenin altında	$-$
$(-2,\,1)$	eksenin üstünde	$+$
$(1,\,3)$	eksenin altında	$-$
$(3,\,+\infty)$	eksenin üstünde	$+$

Birinci türev testi.

$x = -2$ : işaret $-$ den $+$ ya döndü → yerel minimum

$x = 1$ : işaret $+$ dan $-$ ye döndü → yerel maksimum

$x = 3$ : işaret $-$ den $+$ ya döndü → yerel minimum

Sonuç. Fonksiyonun üç yerel ekstremumu vardır: $x=-2$ ve $x=3$ te yerel minimum, $x=1$ de yerel maksimum.

Dikkat. $f'$ grafiğinin kendi tepe noktası $x \approx -0{,}8$ civarındadır. Bu, $f$ nin orada bir ekstremumu olduğu anlamına gelmez; orası $f$ nin en hızlı arttığı yerdir. Ekstremum için grafiğin ekseni kesmesi gerekir, tepe yapması değil.

4Zorluk 4/5
$f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunun $[-2,\,3]$ kapalı aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulun.
Kapalı aralıkta işaret tablosu kurmaya gerek yoktur; aday değerler hesaplanıp karşılaştırılır.

1. Kritik noktalar.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1 \ \text{ veya } \ x = 1$
İkisi de $[-2,3]$ aralığının içindedir, listeye girerler.

2. Aday listesi. Kritik noktalar ve uç noktalar:
$x = -2, \quad x = -1, \quad x = 1, \quad x = 3$
3. Değerler.
$f(-2) = -8 + 6 = -2$ $f(-1) = -1 + 3 = 2$ $f(1) = 1 - 3 = -2$ $f(3) = 27 - 9 = 18$
4. Karşılaştırma.

$x$ $-2$ $-1$ $1$ $3$
$f(x)$ $-2$ $2$ $-2$ $\mathbf{18}$

Sonuç.
$\text{Mutlak maksimum} = 18 \quad (x=3 \text{ te, uç noktada})$ $\text{Mutlak minimum} = -2 \quad (x=-2 \text{ ve } x=1 \text{ de})$
İki gözlem. Birincisi, mutlak maksimum içerideki yerel maksimumda ( $f(-1)=2$ ) değil, uç noktadadır. Uç noktalar listeye alınmasaydı cevap yanlış çıkardı.

İkincisi, mutlak minimum iki farklı noktada alınmaktadır. Mutlak ekstremum bir değerdir; o değere birden fazla noktada ulaşılması mümkündür.

$x$	$-2$	$-1$	$1$	$3$
$f(x)$	$-2$	$2$	$-2$	$\mathbf{18}$

5Zorluk 4/5

$f(x) = \lvert x^2 - 1 \rvert$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulun.

1. Parçalı biçim. Mutlak değer, içerinin işaretine göre açılır. $x^2 - 1 \ge 0$ koşulu $x \le -1$ ya da $x \ge 1$ için sağlanır:

f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & , \; x \le -1 \ \text{ veya } \ x \ge 1 \\ 1 - x^2 & , \; -1 < x < 1 \end{cases}

2. Kritik noktalar. İki türü de aranır.

Türevin sıfır olduğu nokta: orta parçada $f'(x) = -2x = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Türevin tanımsız olduğu noktalar: $x = -1$ ve $x = 1$ . Bu noktalarda mutlak değer köşe yapar — içerinin türevi $2x$ orada sıfırdan farklı olduğu için kırılma oluşur.

3. İşaret tablosu. Her aralıkta türev yazılır:

$x$		$-1$		$0$		$1$
$f'(x)$	$2x < 0$	tanımsız	$-2x > 0$	$0$	$-2x < 0$	tanımsız	$2x > 0$
	$-$		$+$		$-$		$+$
$f(x)$	azalan		artan		azalan		artan

4. Birinci türev testi.

$x = -1$ : $-$ den $+$ ya → yerel minimum, $f(-1) = 0$

$x = 0$ : $+$ dan $-$ ye → yerel maksimum, $f(0) = 1$

$x = 1$ : $-$ den $+$ ya → yerel minimum, $f(1) = 0$

Sonuç. Yerel maksimum $(0,\,1)$ ; yerel minimumlar $(-1,\,0)$ ve $(1,\,0)$ dır.

Kritik nokta. $x = \pm 1$ noktalarında türev yoktur, ama ekstremum vardır. Yalnızca $f'(x)=0$ denklemi çözülseydi bu iki minimum tamamen kaçırılırdı.

Sık yapılan hatalar

Her kritik noktayı ekstremum saymak

Hata: $f'(a) = 0$ bulunur bulunmaz $x=a$ da tepe ya da çukur olduğu kabul edilir.

Neden yanlış: Ekstremum için türevin işaret değiştirmesi gerekir. $f(x) = x^3$ için $f'(0) = 0$ dır ama türev iki tarafta da pozitiftir; ekstremum yoktur.

Doğrusu: Her kritik noktanın iki yanındaki işaretler karşılaştırılır. İşaret aynıysa o nokta ekstremum değildir.

Kapalı aralıkta uç noktaları hesaba katmamak

Hata: Yalnızca kritik noktaların değerleri karşılaştırılır, $f(a)$ ve $f(b)$ hesaplanmaz.

Neden yanlış: Mutlak ekstremum uç noktalarda da oluşabilir ve çoğu zaman orada oluşur. Uç noktalar atlanırsa yanlış bir maksimum bulunur.

Doğrusu: Karşılaştırma listesine kritik noktaların yanı sıra $f(a)$ ve $f(b)$ de eklenir.

Türevin tanımsız olduğu noktaları aramamak

Hata: Yalnızca $f'(x) = 0$ denklemi çözülür.

Neden yanlış: $f(x) = \lvert x-1 \rvert$ fonksiyonunun türevi hiçbir yerde sıfır olmaz; $f'(x)=0$ denklemi kök vermez. Buna rağmen fonksiyonun $x=1$ de yerel minimumu vardır.

Doğrusu: Kritik noktalar kümesi hem $f'$ nün köklerini hem de tanımsız olduğu noktaları içerir.

Yerel maksimumun her zaman yerel minimumdan büyük olduğunu sanmak

Hata: Bulunan yerel maksimum değeri, yerel minimum değerinden büyük varsayılır.

Neden yanlış: İkisi farklı bölgelerde ölçülür; aralarında büyüklük ilişkisi olmak zorunda değildir. $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ fonksiyonunun $x=-1$ de yerel maksimumu $-2$ , $x=1$ de yerel minimumu $2$ dir. Yerel maksimum, yerel minimumdan küçüktür.

Doğrusu: "Yerel" sıfatı karşılaştırmayı yalnızca yakın çevreyle sınırlar; uzaktaki değerler hakkında hiçbir şey söylemez.

Ekstremum noktası ile ekstremum değerini karıştırmak

Hata: "Yerel maksimum değeri kaçtır" sorusuna apsis, "hangi noktada" sorusuna ordinat yazılır.

Neden yanlış: Nokta apsis–ordinat çiftidir; değer ise fonksiyonun aldığı sayıdır, yani ordinattır.

Doğrusu: Soru "değer" diyorsa $f(a)$ , "nokta" ya da "apsis" diyorsa $a$ verilir.

Formül kartı

\boxed{\;\text{Kritik nokta: } f'(a) = 0 \ \text{ ya da } \ f'(a) \text{ tanımsız}\;}

Birinci türev testi

$f'$	Sonuç
$+ \to -$	yerel maksimum
$- \to +$	yerel minimum
işaret değişmiyor	ekstremum yok

Kapalı $[a,b]$ aralığında mutlak ekstremum

$f'(x)=0$ ve $f'$ tanımsız olan noktalar bulunur (yalnızca $(a,b)$ içindekiler)
Bu noktaların $f$ değerleri hesaplanır
$f(a)$ ve $f(b)$ de listeye eklenir
En büyük değer mutlak maksimum, en küçük değer mutlak minimumdur

$f'$ grafiği ekseni	$f$ için
yukarıdan aşağıya kesiyor	yerel maksimum
aşağıdan yukarıya kesiyor	yerel minimum
değip dönüyor	ekstremum yok

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →