Fonksiyon Grafiğinin Çizimi

Grafik çizimi sabit bir sıra izler: tanım kümesi, kesim noktaları, simetri, asimptotlar, $f'$ ile artanlık, $f''$ ile içbükeylik, sonra tablo ve çizim.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Maarif Modeli grafik çizimini en fazla dördüncü dereceden polinom fonksiyonlarla sınırlar ve asimptotları türev temasının değil, limit temasının konusu sayar. Bu sayfa rasyonel fonksiyonları ve asimptotları da kapsar; asimptot tanımı için sonsuzda-limit-ve-asimptotlar konusuna bakılabilir. Eğik asimptot Maarif metninde geçmez.

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir fonksiyonun düşey, yatay ve eğik asimptotlarını belirleyebilir
Sadeleşen çarpandan doğan delik ile düşey asimptotu ayırt edebilir
Birinci ve ikinci türev bilgilerini tek bir değişim tablosunda birleştirebilir
Tanım kümesi, kesim noktaları, simetri ve asimptot bilgilerini kullanarak grafiği çizebilir
Verilen bir grafikten fonksiyonun özelliklerini geri okuyabilir

Önce şunları çalış

Çizim sırası

Grafik çizimi bir sezgi işi değil, bir kontrol listesidir. Aşağıdaki sıra izlendiğinde grafik kendiliğinden ortaya çıkar:

Tanım kümesi — paydayı sıfır yapan, karekök içini negatif yapan değerler dışlanır.
Kesim noktaları — $x=0$ için $f(0)$ ; $f(x)=0$ denkleminin kökleri.
Simetri — $f(-x)=f(x)$ ise çift (y eksenine göre), $f(-x)=-f(x)$ ise tek (orijine göre).
Asimptotlar — düşey, yatay ya da eğik.
$f'$ — artan/azalan aralıklar, yerel ekstremumlar.
$f''$ — içbükeylik, dönüm noktaları.
Değişim tablosu ve çizim — bulunan her nokta yerine konur, aradaki parçalar tabloya göre bağlanır.

Adımların sırası önemlidir: asimptotlar bilinmeden çizimin uçları nereye gideceği belli olmaz, ekstremumların ordinatları hesaplanmadan da nokta yerleştirilemez.

Düşey asimptot

$x = a$ doğrusunun düşey asimptot olması demek, $x$ değeri $a$ ya yaklaşırken fonksiyon değerinin sonsuza gitmesi demektir:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \qquad \text{ya da} \qquad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty

Rasyonel bir fonksiyonda aday noktalar paydayı sıfır yapan değerlerdir. Ama aday olmak yetmez: o noktada payın sıfırdan farklı olması gerekir.

Şekildeki $f(x) = \dfrac{1}{x-2} + 1$ fonksiyonunda $x=2$ düşey, $y=1$ yatay asimptottur. İki kol da asimptotlara sonsuza kadar yaklaşır ama hiçbir zaman değmez.

Grafik düşey asimptotunu kesemez. Çünkü asimptotun apsisi tanım kümesinde değildir; orada fonksiyonun değeri yoktur.

Delik mu, asimptot mu

Payda sıfır oluyor diye hemen asimptot yazılmaz. Pay ve payda ortak bir çarpan taşıyorsa, sadeleşmeden sonra o noktada sonsuza gidiş kalmaz; grafikte yalnızca tek bir nokta eksik olur. Buna delik denir.

f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \qquad (x \neq 2)

Fonksiyonun grafiği $y = x+2$ doğrusudur, ama $x=2$ noktası çıkarılmıştır. Orada düşey asimptot yoktur; sadece tek bir nokta eksiktir. İçi boş daire bunu gösterir.

Ayrım şu soruyla yapılır: sadeleştirmeden sonra payda hâlâ o noktada sıfır mı?

Durum	Sonuç
Payda sıfır, pay sıfırdan farklı	düşey asimptot
Pay ve payda birlikte sıfır, çarpan sadeleşiyor	delik

Yatay asimptot

$y = b$ doğrusunun yatay asimptot olması demek, $x$ sonsuza giderken fonksiyon değerinin $b$ ye yaklaşması demektir:

\lim_{x \to +\infty} f(x) = b \qquad \text{ya da} \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b

Rasyonel bir fonksiyonda sonuç, pay ve paydanın derecelerinin karşılaştırılmasıyla çıkar:

Dereceler	Yatay asimptot
$\deg(\text{pay}) < \deg(\text{payda})$	$y = 0$
$\deg(\text{pay}) = \deg(\text{payda})$	$y = \dfrac{\text{payın baş katsayısı}}{\text{paydanın baş katsayısı}}$
$\deg(\text{pay}) > \deg(\text{payda})$	yoktur

Grafik yatay asimptotunu kesebilir. Düşey asimptottan farkı budur. Örneğin $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ fonksiyonunun yatay asimptotu $y=0$ dır, ama $f(0) = 0$ olduğundan grafik asimptotu orijinde keser. Asimptot, sonsuzdaki davranışı anlatır; sonlu bir noktada ne olduğunu söylemez.

Eğik asimptot

Payın derecesi paydanınkinden tam bir fazlaysa yatay asimptot yoktur, onun yerine eğik bir asimptot vardır. Bulunması için bölme yapılır: bölüm eğik asimptotun denklemidir.

f(x) = \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}

Kalan terim $\dfrac{1}{x-1}$ , $x$ büyüdükçe sıfıra gider. Geriye $y = x+1$ kalır.

Şekilde sol kol $x=1$ e soldan yaklaşırken $-\infty$ a, sağ kol sağdan yaklaşırken $+\infty$ a gider. Uzakta ise her iki kol da $y=x+1$ doğrusuna yanaşır. $(0,0)$ yerel maksimum, $(2,4)$ yerel minimum noktasıdır — dikkat çekici biçimde yerel maksimum değeri, yerel minimum değerinden küçüktür.

Yatay ve eğik asimptot birlikte bulunmaz. İkisi de $x \to \pm\infty$ davranışını anlatır; bir fonksiyonun sonsuzdaki gidişi tek türlüdür.

İspat: eğik asimptot neden bölmeyle bulunur

$y = mx+n$ doğrusunun eğik asimptot olmasının tanımı şudur:

\lim_{x \to \pm\infty} \bigl[\,f(x) - (mx+n)\,\bigr] = 0

Yani fonksiyon ile doğru arasındaki dikey fark sıfıra gitmelidir.

Rasyonel bir $f$ için pay paydaya bölünürse

f(x) = \underbrace{(mx+n)}_{\text{bölüm}} + \frac{K(x)}{P(x)}

yazılır; burada $K$ kalan, $P$ paydadır ve bölmenin doğası gereği $\deg(K) < \deg(P)$ dir. Derecesi küçük olan pay, derecesi büyük olan paydaya bölündüğünde sonuç sonsuzda sıfıra gider:

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{K(x)}{P(x)} = 0

Buradan

\lim_{x \to \pm\infty} \bigl[\,f(x) - (mx+n)\,\bigr] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{K(x)}{P(x)} = 0

elde edilir. Demek ki bölüm, tam olarak eğik asimptotun denklemidir.

Bölme yapılamayan durumlarda aynı sonuç iki limitle de bulunur:

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl[\,f(x) - mx\,\bigr]

$f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ için bu iki limit sırasıyla $m=1$ ve $n=1$ verir; bölmeyle bulunan $y=x+1$ ile aynıdır.

Simetri

Simetri bulunursa iş yarıya iner: grafiğin bir yarısı çizilip diğeri yansıtılır.

Koşul	Simetri
$f(-x) = f(x)$	çift fonksiyon — $y$ eksenine göre
$f(-x) = -f(x)$	tek fonksiyon — orijine göre

Yalnızca çift kuvvetler içeren polinomlar çifttir ( $x^4 - 2x^2$ gibi); yalnızca tek kuvvetler içerenler tektir ( $x^3 - 3x$ gibi). Sabit terim varsa tek fonksiyon olma bozulur.

Değişim tablosu

Son adım, $f'$ ve $f''$ bilgilerini tek bir tabloda birleştirmektir. Tablo, grafiğin her aralıktaki dört olası biçiminden hangisini alacağını doğrudan söyler:

$f'$	$f''$	Grafik parçası
$+$	$+$	artan, konveks $\cup$
$+$	$-$	artan, konkav $\cap$
$-$	$+$	azalan, konveks $\cup$
$-$	$-$	azalan, konkav $\cap$

Tablonun satırları sırasıyla $x$ , $f'(x)$ , $f''(x)$ ve $f(x)$ tir. Son satıra yalnızca ok değil, hesaplanmış ordinatlar yazılır; yoksa çizim sırasında noktalar yerleştirilemez.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 3/5

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ fonksiyonunu inceleyip grafiğini çizin.

1. Tanım kümesi. Polinom olduğu için $\mathbb{R}$ .

2. Kesim noktaları.

f(x) = x(x^2-6x+9) = x(x-3)^2

f(x) = 0 \ \Rightarrow \ x = 0 \ \text{ ya da } \ x = 3

$x=3$ çift katlı köktür; grafik orada eksene değip geri döner. $f(0)=0$ olduğundan grafik orijinden geçer.

3. Simetri. $f(-x) = -x^3 - 6x^2 - 9x$ ifadesi ne $f(x)$ e ne $-f(x)$ e eşittir; simetri yoktur.

4. Asimptotlar. Polinom fonksiyonların asimptotu yoktur.

5. Birinci türev.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)

Kritik noktalar $x=1$ ve $x=3$ tür.

f(1) = 1 - 6 + 9 = 4, \qquad f(3) = 27 - 54 + 27 = 0

6. İkinci türev.

f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)

$x=2$ de işaret değişir; $f(2) = 8 - 24 + 18 = 2$ olduğundan dönüm noktası $(2,\,2)$ dir.

7. Değişim tablosu.

$x$		$1$		$2$		$3$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	artan $\cap$	$4$	azalan $\cap$	$2$	azalan $\cup$	$0$	artan $\cup$

Cevap: Yerel maksimum $(1,\,4)$ , yerel minimum $(3,\,0)$ , dönüm noktası $(2,\,2)$ .

Kontrol. Yerel minimum aynı zamanda çift katlı kök olan $x=3$ te; grafiğin orada eksene değip dönmesi bekleniyordu ve tablo bunu doğruluyor.

2Zorluk 3/5
$f(x) = \dfrac{2x+3}{x-1}$ fonksiyonunun tanım kümesini, kesim noktalarını, asimptotlarını ve artanlık durumunu belirleyin.
1. Tanım kümesi. Payda sıfır olamaz:
$x - 1 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 1 \ \Rightarrow \ \mathrm{T} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
2. Kesim noktaları.
$f(0) = \frac{3}{-1} = -3 \ \Rightarrow \ (0,\,-3)$ $f(x) = 0 \ \Rightarrow \ 2x+3 = 0 \ \Rightarrow \ x = -\frac{3}{2} \ \Rightarrow \ \left(-\frac{3}{2},\,0\right)$
3. Düşey asimptot. Payda $x=1$ de sıfırdır. Pay aynı noktada $2 \cdot 1 + 3 = 5 \neq 0$ olduğundan sadeleşme yoktur:
$x = 1 \ \text{düşey asimptottur.}$
4. Yatay asimptot. Pay ve paydanın dereceleri eşittir $(1 = 1)$ ; baş katsayıların oranı alınır:
$y = \frac{2}{1} = 2$
5. Birinci türev. Bölüm kuralı uygulanır:
$f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+3) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$
Payda daima pozitiftir, pay ise sabit ve negatiftir:
$f'(x) < 0 \quad \text{(her } x \neq 1 \text{ için)}$
Fonksiyon $(-\infty,\,1)$ ve $(1,\,+\infty)$ aralıklarının her birinde azalandır. $f'$ hiç sıfır olmadığı için ekstremum yoktur.

Cevap: Tanım kümesi $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; kesim noktaları $\left(-\frac{3}{2},0\right)$ ve $(0,-3)$ ; düşey asimptot $x=1$ , yatay asimptot $y=2$ ; her iki aralıkta azalan, ekstremum yok.

Uyarı. "Her iki aralıkta azalan" ile "tanım kümesinde azalan" aynı şey değildir. $f(0) = -3$ ve $f(2) = 7$ dir; $0 < 2$ olmasına rağmen $f(0) < f(2)$ dir. Asimptotun iki yanı ayrı ayrı incelenir.
3Zorluk 4/5
$f(x) = \dfrac{x^2+3}{x}$ fonksiyonunun simetrisini, asimptotlarını ve yerel ekstremum noktalarını bulun.
1. Tanım kümesi. $x \neq 0$ , yani $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

2. Ayrıştırma. İfade terim terim bölünür; bu hem türevi hem asimptotu kolaylaştırır:
$f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{3}{x} = x + \frac{3}{x}$
3. Simetri.
$f(-x) = -x + \frac{3}{-x} = -\left(x + \frac{3}{x}\right) = -f(x)$
Fonksiyon tektir; grafiği orijine göre simetriktir. Bir kolu çizmek yeterlidir, diğeri yansımayla elde edilir.

4. Düşey asimptot. $x \to 0^+$ iken $\dfrac{3}{x} \to +\infty$ , $x \to 0^-$ iken $-\infty$ dur:
$x = 0 \ \text{düşey asimptottur.}$
5. Eğik asimptot. Payın derecesi $2$ , paydanınki $1$ dir; fark tam bir olduğundan eğik asimptot vardır. Ayrıştırılmış biçim zaten bölmenin sonucudur:
$f(x) - x = \frac{3}{x} \ \xrightarrow[\ x \to \pm\infty\ ]{} \ 0$ $y = x \ \text{eğik asimptottur.}$
6. Birinci türev.
$f'(x) = 1 - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2-3}{x^2}$
Payda daima pozitiftir; işareti $x^2 - 3$ belirler.
$f'(x) = 0 \ \Rightarrow \ x = \pm\sqrt{3}$
$x$ $-\infty$ $-\sqrt{3}$ $0$ $\sqrt{3}$ $+\infty$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ tanımsız $-$ $0$ $+$

7. Ekstremum değerleri.
$f(\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ $f(-\sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \quad \text{(tek fonksiyon olduğu için)}$
$x=-\sqrt{3}$ te işaret $+$ dan $-$ ye döner: yerel maksimum. $x=\sqrt{3}$ te $-$ den $+$ ya döner: yerel minimum.

Cevap: Tek fonksiyon; $x=0$ düşey, $y=x$ eğik asimptot; yerel maksimum $(-\sqrt{3},\,-2\sqrt{3})$ , yerel minimum $(\sqrt{3},\,2\sqrt{3})$ .

Gözlem. Yerel maksimum değeri $-2\sqrt{3} \approx -3{,}46$ , yerel minimum değeri $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ tır. Maksimum yine minimumdan küçüktür; iki kol $x=0$ da koptuğu için aralarında karşılaştırma gerektiren bir bağ yoktur.
4Zorluk 4/5
$f(x) = x^4 - 2x^2$ fonksiyonunu inceleyin: simetri, kesim noktaları, ekstremumlar ve dönüm noktaları.
1. Simetri. Yalnızca çift kuvvetler vardır:
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$
Fonksiyon çifttir; grafik $y$ eksenine göre simetriktir.

2. Kesim noktaları.
$f(x) = x^2(x^2-2) = 0 \ \Rightarrow \ x = 0 \ \text{ ya da } \ x = \pm\sqrt{2}$
$f(0)=0$ olduğundan grafik orijinden geçer; $x=0$ çift katlı köktür.

3. Birinci türev.
$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x-1)(x+1)$
Kritik noktalar $x = -1,\ 0,\ 1$ dir.

$x$ $-\infty$ $-1$ $0$ $1$ $+\infty$
$f'(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(-1) = 1 - 2 = -1, \qquad f(0) = 0, \qquad f(1) = -1$
$x=\pm1$ de yerel minimum $(-1)$ , $x=0$ da yerel maksimum $(0)$ vardır.

4. İkinci türev.
$f''(x) = 12x^2 - 4$ $12x^2 - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x^2 = \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$
Bu kökler basittir, işaret her ikisinde de değişir. Ordinat:
$f\!\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{9} - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} = -\frac{5}{9}$
Cevap: Çift fonksiyon; kökler $0$ ve $\pm\sqrt{2}$ ; yerel minimumlar $(\pm 1,\,-1)$ , yerel maksimum $(0,\,0)$ ; dönüm noktaları $\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{5}{9}\right)$ .

Simetrinin işe yarayışı. Çift fonksiyon olduğu bilindiğinde $x \ge 0$ için bulunan her nokta, aynı ordinatla $x \le 0$ tarafına yansıtılır. Yukarıdaki hesapların yarısı böylece atlanabilirdi.
5Zorluk 4/5
Şekilde bir $f$ fonksiyonunun grafiği, asimptotları kesikli çizgilerle birlikte verilmiştir.

Grafiğe göre fonksiyonun asimptotlarını yazın ve $f'(x) > 0$ ile $f''(x) < 0$ koşullarının birlikte sağlandığı aralığı belirleyin.
1. Asimptotlar. Kesikli düşey doğru $x=-1$ dedir ve iki kol da ona yaklaşırken sonsuza gitmektedir:
$x = -1 \ \text{düşey asimptot}$
Kesikli yatay doğru $y=1$ dedir; uzakta her iki kol da bu doğruya yanaşır:
$y = 1 \ \text{yatay asimptot}$
2. Koşulların okunması. $f'(x)>0$ grafiğin yükseldiği, $f''(x)<0$ ise $\cap$ biçiminde büküldüğü yerdir.

Sol kol $(x < -1)$ : soldan sağa yükseliyor, yani $f' > 0$ . Bükülüşü $\cup$ biçimindedir — önce yatık, sonra dikleşerek yukarı fırlıyor. Burada $f'' > 0$ dır.

Sağ kol $(x > -1)$ : bu kol da yükseliyor, $f' > 0$ . Ama bükülüşü ters: önce dik çıkıyor, sonra yatıklaşarak $y=1$ e yanaşıyor. Bu $\cap$ biçimidir, yani $f'' < 0$ .

3. Sonuç. İki koşul yalnızca sağ kolda birlikte sağlanır:
$(-1,\,+\infty)$
Cevap: Düşey asimptot $x=-1$ , yatay asimptot $y=1$ ; aranan aralık $(-1,\,+\infty)$ .

Not. Şekildeki fonksiyon $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ tir. Gerçekten de $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$ ve $f''(x) = \dfrac{-2}{(x+1)^3}$ tür; $x > -1$ için $(x+1)^3 > 0$ olduğundan $f'' < 0$ çıkar.

$x$	$-\infty$		$-\sqrt{3}$		$0$		$\sqrt{3}$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	tanımsız	$-$	$0$	$+$

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Sık yapılan hatalar

Paydayı sıfır yapan her noktaya düşey asimptot yazmak

Hata: Payda çarpanlarına ayrılır, kökleri doğrudan düşey asimptot olarak listelenir.

Neden yanlış: Pay ile payda ortak çarpan taşıyorsa o kök sadeleşir ve sonsuza gidiş kalmaz. $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ fonksiyonunda payda $x=2$ de sıfırdır, ama fonksiyon $x+2$ ye sadeleşir; $x=2$ de asimptot değil delik vardır.

Doğrusu: Önce sadeleştirilir. Sadeleştirmeden sonra paydayı hâlâ sıfır yapan kökler düşey asimptot verir; sadeleşen kökler delik verir.

Yatay asimptotun kesilemeyeceğini sanmak

Hata: "Asimptot kesilmez" kuralı yatay asimptota da uygulanır.

Neden yanlış: Kesilemeyen yalnızca düşey asimptottur, çünkü orada fonksiyon tanımlı değildir. Yatay asimptot sonsuzdaki davranışı anlatır; sonlu bir noktada grafik onu rahatlıkla kesebilir. $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ fonksiyonunun yatay asimptotu $y=0$ dır ve grafik orijinde bu doğruyu keser.

Doğrusu: Düşey asimptot kesilmez, yatay ve eğik asimptot kesilebilir.

Yatay ve eğik asimptotu birlikte aramak

Hata: Bir rasyonel fonksiyon için hem yatay hem eğik asimptot yazılır.

Neden yanlış: İkisi de $x \to \pm\infty$ davranışını tanımlar. Pay ile paydanın dereceleri arasındaki ilişki tektir: eşitse yatay, bir fazlaysa eğik, küçükse $y=0$ . Üç durum aynı anda gerçekleşemez.

Doğrusu: Önce dereceler karşılaştırılır, hangi türün geçerli olduğu belirlenir, yalnızca o hesaplanır.

Eğik asimptotu bölme yapmadan bulmaya çalışmak

Hata: Baş katsayıların oranı alınıp eğim olarak yazılır.

Neden yanlış: Baş katsayı oranı yalnızca dereceler eşitken anlamlıdır ve o zaman yatay asimptot verir. Eğik asimptotta sabit terim de gereklidir ve o yalnızca bölmeden çıkar. $\dfrac{x^2}{x-1}$ için baş katsayı oranı $1$ dir, ama asimptot $y=x$ değil $y=x+1$ dir.

Doğrusu: Pay paydaya bölünür; bölümün tamamı (eğim ve sabit terim) alınır.

Ekstremum ve dönüm noktalarının ordinatlarını hesaplamamak

Hata: Tabloya yalnızca apsisler ve oklar yazılır, grafik göz kararı çizilir.

Neden yanlış: Çizimde nokta yerleştirmek için ordinat gerekir. Ordinatsız bir tabloda yerel maksimumun yerel minimumdan yukarıda mı aşağıda mı olduğu bile bilinemez — $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ örneğinde yerel maksimum $0$ , yerel minimum $4$ tür ve maksimum aşağıda kalır.

Doğrusu: Tablonun son satırına her kritik ve dönüm noktası için hesaplanmış $f$ değeri yazılır.

Formül kartı

\boxed{\;\text{Düşey: } \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \qquad \text{Yatay: } \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b \qquad \text{Eğik: } \lim_{x \to \pm\infty}\bigl[f(x)-(mx+n)\bigr] = 0\;}

Rasyonel fonksiyonda derece karşılaştırması

$\deg(\text{pay})$ ile $\deg(\text{payda})$	Sonuç
küçük	yatay asimptot $y=0$
eşit	yatay asimptot $y = \dfrac{a_{\text{pay}}}{a_{\text{payda}}}$
bir fazla	eğik asimptot — bölme yapılır
ikiden fazla	yatay da eğik de yoktur

Düşey asimptot mu delik mi

Sadeleştirmeden sonra	Sonuç
payda hâlâ sıfır	düşey asimptot
çarpan sadeleşti	delik (içi boş daire)

Çizim sırası

Tanım kümesi → 2. Kesim noktaları → 3. Simetri → 4. Asimptotlar → 5. $f'$ → 6. $f''$ → 7. Tablo ve çizim

Değişim tablosunun okunuşu

$f'$	$f''$	Parça
$+$	$+$	artan $\cup$
$+$	$-$	artan $\cap$
$-$	$+$	azalan $\cup$
$-$	$-$	azalan $\cap$

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →