Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyon, türevinin pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır. Bu aralıklar türevin işaret tablosuyla bulunur.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları türevin işaretinden belirleyebilir
Türevin işaret tablosunu kurarak monotonluk aralıklarını yazabilir
Kritik noktaları ve türevin tanımsız olduğu noktaları bulabilir
Türev grafiği verilen bir fonksiyonun artanlık davranışını yorumlayabilir
Bir fonksiyonun her reel sayıda artan olması için gereken koşulu belirleyebilir

Önce şunları çalış

Artan ve azalan ne demek

Tanım türevden bağımsızdır. Bir $f$ fonksiyonu, bir $I$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için

f(x_1) < f(x_2) \;\Longrightarrow\; f \text{ bu aralıkta artandır}

f(x_1) > f(x_2) \;\Longrightarrow\; f \text{ bu aralıkta azalandır}

Bu tanımla çalışmak zordur: her nokta çiftini karşılaştırmak gerekir. Türev, bu işi tek bir işaret incelemesine indirger.

Türevin işareti neyi söyler

$f'(a)$ , eğriye $x = a$ noktasında çizilen teğetin eğimidir. Teğetin eğimi pozitifse eğri o noktada yükseliyor, negatifse alçalıyor demektir.

f'(x) > 0 \ \text{ ise } f \text{ artandır} \qquad\qquad f'(x) < 0 \ \text{ ise } f \text{ azalandır}

Kritik uyarı: Bu ifade bir aralık için kurulur, tek bir nokta için değil. " $f'(3) > 0$ olduğu için $f$ , $x=3$ te artandır" cümlesi tek başına anlamlı değildir; artanlık bir aralık üzerinde tanımlıdır.

Eğri, türevin işaret değiştirdiği noktalarda yön değiştirir. Bu noktalarda teğet yataydır.

İşaret tablosu — yöntem

Her artanlık–azalanlık sorusu aynı dört adımla çözülür.

Türevi al. $f'(x)$ bulunur.
Kritik noktaları bul. $f'(x) = 0$ denkleminin kökleri ve $f'$ nün tanımsız olduğu noktalar işaretlenir.
Sayı doğrusunu böl. Bu noktalar sayı doğrusunu aralıklara ayırır; her aralıkta $f'$ nün işareti belirlenir.
Tabloyu oku. $f'>0$ olan aralıklarda $f$ artan, $f'<0$ olan aralıklarda azalandır.

Örnek olarak $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ alınsın.

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3\big(x^2 - 2x - 3\big) = 3(x+1)(x-3)

Kökler $x = -1$ ve $x = 3$ tür. Baş katsayı pozitif olduğundan parabol köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir:

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		artan		azalan		artan

Sonuç: $f$ fonksiyonu $(-\infty,\,-1]$ ve $[3,\,+\infty)$ aralıklarında artan, $[-1,\,3]$ aralığında azalandır.

Uç noktaların kapalı yazılması adettir; $f'$ o noktada sıfır olsa bile fonksiyon orada artmaya (ya da azalmaya) devam eder, çünkü tek bir noktada duraklamak monotonluğu bozmaz.

Türevin tanımsız olduğu noktalar

İkinci adımda yalnızca $f'(x)=0$ köklerine bakmak yetmez. $f'$ nün tanımsız olduğu noktalar da sayı doğrusunu böler.

f(x) = \frac{x}{x-2} \;\Longrightarrow\; f'(x) = \frac{-2}{(x-2)^2}

Bu türev hiçbir yerde sıfır olmaz, ama $x = 2$ de tanımsızdır. Payda bir kare olduğu için türev her yerde negatiftir; fonksiyon $(-\infty,\,2)$ ve $(2,\,+\infty)$ aralıklarının her birinde azalandır.

Burada kritik bir ayrım var: fonksiyon $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ kümesinde azalan değildir. Örneğin $f(1) = -1$ iken $f(3) = 3$ tür; $1 < 3$ olmasına rağmen $f(1) < f(3)$ dür. Monotonluk her zaman bir aralık üzerinde ifade edilir, kopuk bir küme üzerinde değil.

Türev sıfır olduğunda ne olur

$f'(x) = 0$ olması her zaman yön değişimi demek değildir. Belirleyici olan, türevin o noktada işaret değiştirip değiştirmediğidir.

f(x) = x^3 \;\Longrightarrow\; f'(x) = 3x^2 \ge 0

Türev yalnızca $x = 0$ da sıfırdır ve işaret değiştirmez — iki tarafta da pozitiftir. Dolayısıyla $x^3$ fonksiyonu $\mathbb{R}$ nin tamamında artandır. $x = 0$ da teğet yataydır ama eğri yükselmeye devam eder.

Bunun mantıksal sonucu şudur: artan bir fonksiyonun türevi sıfır olabilir. Doğru önerme çift yönlü değildir:

f'(x) > 0 \ \text{ise } f \text{ artandır} \qquad \text{ama} \qquad f \text{ artansa } f'(x) \ge 0 \text{ dir}

Her yerde artan olma koşulu

"Bir fonksiyon her reel sayıda artandır" koşulu, $f'(x) \ge 0$ eşitsizliğinin her $x$ için sağlanması demektir.

$f'$ ikinci dereceden bir ifadeyse bu, parabolün hiç negatif değer almaması anlamına gelir. Baş katsayı pozitifse koşul diskriminantın pozitif olmamasıdır:

a > 0 \quad \text{ve} \quad \Delta \le 0

Türev grafiğinden okuma

Sorularda çoğu zaman $f$ nin değil, $f'$ nün grafiği verilir. O zaman hesap yapmaya gerek kalmaz; grafikten yalnızca işaret okunur.

$f'$ grafiği $x$ ekseninin üstünde ise ( $f' > 0$ ) → $f$ artandır.
$f'$ grafiği $x$ ekseninin altında ise ( $f' < 0$ ) → $f$ azalandır.
$f'$ grafiği ekseni kesiyorsa → $f$ o noktada yön değiştirir.
$f'$ grafiği eksene değip geri dönüyorsa → işaret değişmez, $f$ yön değiştirmez.

En sık yapılan hata, verilen grafiği $f$ nin grafiği sanmaktır. Grafiğin yükseliyor olması $f$ nin arttığını göstermez; $f'$ grafiğinin yükselmesi, türevin büyüdüğü anlamına gelir — fonksiyon o sırada hâlâ azalıyor olabilir.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$f(x) = x^2 - 6x + 5$ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulun.
1. Türev.
$f'(x) = 2x - 6$
2. Kritik nokta. Türev her yerde tanımlıdır; yalnızca kökü aranır:
$2x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3$
3. İşaret. $f'$ birinci dereceden ve baş katsayısı pozitif olduğundan kökün solunda negatif, sağında pozitiftir:

$x$ $-\infty$ $3$ $+\infty$
$f'(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ azalan artan

4. Sonuç.
$\text{Azalan: } (-\infty,\,3] \qquad \text{Artan: } [3,\,+\infty)$
Kontrol. $f(0) = 5$ , $f(3) = -4$ , $f(6) = 5$ tir. Değerler önce düşüp sonra yükseliyor — tabloyla tutarlı.
2Zorluk 3/5
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulun.
1. Türev.
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
2. Kritik noktalar. Ortak çarpan alınıp çarpanlara ayrılır:
$3\big(x^2 - 2x - 3\big) = 3(x+1)(x-3) = 0$ $x = -1 \quad \text{veya} \quad x = 3$
3. İşaret. $f'$ yukarı doğru açılan bir paraboldür; köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir:

$x$ $-\infty$ $-1$ $3$ $+\infty$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ artan azalan artan

4. Sonuç.
$\text{Artan: } (-\infty,\,-1] \ \text{ ve } \ [3,\,+\infty) \qquad \text{Azalan: } [-1,\,3]$
Kontrol. $f'(-2) = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$ , $f'(0) = -9 < 0$ , $f'(4) = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$ . Üç aralıkta da işaretler tabloyla uyuşuyor.
3Zorluk 3/5
Şekilde bir $f$ fonksiyonunun türevinin grafiği, yani $y = f'(x)$ eğrisi verilmiştir.

Buna göre $f$ fonksiyonunun artan olduğu aralıkları yazın.
Verilen grafik $f$ nin değil, $f'$ nün grafiğidir. Dolayısıyla bakılacak şey grafiğin yükselip alçalması değil, $x$ eksenine göre konumudur.

Grafikten okunan. Parabol $x$ eksenini $-1$ ve $3$ noktalarında kesmektedir. Kollar yukarı açıldığı için:
$f'(x) > 0 \quad \text{iken} \quad x < -1 \ \text{ veya } \ x > 3$ $f'(x) < 0 \quad \text{iken} \quad -1 < x < 3$
Yorum. Türevin pozitif olduğu yerde fonksiyon artar:
$\text{Artan: } (-\infty,\,-1] \ \text{ ve } \ [3,\,+\infty)$ $\text{Azalan: } [-1,\,3]$
Dikkat. Parabolün tepe noktası $x = 1$ civarındadır ve grafik orada en alçak seviyededir. Bu, $f$ nin $x=1$ de en küçük değerini aldığı anlamına gelmez — orada $f'$ en küçüktür, yani $f$ en hızlı azalmaktadır.

Not. Bu grafik, bir önceki örnekteki $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ fonksiyonunun türevine aittir; iki soru aynı sonucu iki farklı yoldan vermektedir.
4Zorluk 4/5
$f(x) = \dfrac{x}{x-2}$ fonksiyonunun monotonluk aralıklarını inceleyin. $(x \neq 2)$
1. Türev. Bölüm kuralı uygulanır:
$u = x \;\Rightarrow\; u' = 1, \qquad v = x - 2 \;\Rightarrow\; v' = 1$ $f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - x \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-2}{(x-2)^2}$
2. Kritik noktalar. Pay sabit ve sıfırdan farklı olduğu için $f'(x) = 0$ denkleminin kökü yoktur. Ancak $f'$ , $x = 2$ de tanımsızdır — bu nokta da sayı doğrusunu böler.

3. İşaret. Payda bir karedir, dolayısıyla $x \neq 2$ için daima pozitiftir. Pay ise $-2$ dir:
$f'(x) = \frac{-2}{\text{pozitif}} < 0$
Türev tanımlı olduğu her noktada negatiftir.

$x$ $-\infty$ $2$ $+\infty$
$f'(x)$ $-$ tanımsız $-$
$f(x)$ azalan azalan

4. Sonuç. Fonksiyon $(-\infty,\,2)$ ve $(2,\,+\infty)$ aralıklarının her birinde azalandır.

Neden "her birinde" demek zorundayız. Fonksiyon $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ kümesinde azalan değildir. Sayısal kontrol:
$f(1) = \frac{1}{-1} = -1, \qquad f(3) = \frac{3}{1} = 3$
$1 < 3$ olmasına rağmen $f(1) < f(3)$ tür — azalanlık tanımı sağlanmaz. Tanım kümesi $x=2$ de koptuğu için iki parça tek bir aralık gibi ele alınamaz.
5Zorluk 4/5
$f(x) = x^3 - 3x^2 + kx$ fonksiyonunun her reel sayıda artan olması için $k$ hangi değerleri alabilir?
Koşul. Fonksiyonun her reel sayıda artan olması için türevi hiçbir yerde negatif olmamalıdır:
$f'(x) \ge 0 \quad \text{(her } x \text{ için)}$
Eşitsizliğin kesin olmaması önemlidir: artan bir fonksiyonun türevi tek tek noktalarda sıfır olabilir.

Türev.
$f'(x) = 3x^2 - 6x + k$
Parabol koşulu. Bu, yukarı açılan bir paraboldür ( $a = 3 > 0$ ). Böyle bir parabolün hiç negatif değer almaması için $x$ eksenini kesmemesi, yani diskriminantının pozitif olmaması gerekir:
$\Delta \le 0$
Diskriminant.
$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k = 36 - 12k$ $36 - 12k \le 0 \;\Longrightarrow\; 36 \le 12k \;\Longrightarrow\; k \ge 3$
Sınır durumunun kontrolü. $k = 3$ için $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2$ olur. Bu ifade her yerde sıfır veya pozitiftir; yalnızca $x = 1$ de sıfırdır ve orada işaret değiştirmez. Fonksiyon yine her yerde artandır — dolayısıyla $k=3$ çözüme dahildir.

$\Delta < 0$ yazılsaydı $k > 3$ bulunur ve bu sınır değer kaybedilirdi.

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		azalan		artan

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	tanımsız	$-$
$f(x)$		azalan		azalan

Sık yapılan hatalar

Türevin tanımsız olduğu noktaları tabloya almamak

Hata: Yalnızca $f'(x) = 0$ köklerine bakılır; paydayı sıfırlayan değerler atlanır.

Neden yanlış: $f'$ nün tanımsız olduğu noktalar da sayı doğrusunu böler ve işaret orada değişebilir. Atlanırsa aralıklar yanlış birleştirilir.

Doğrusu: Kritik noktalar kümesi hem $f'(x)=0$ köklerini hem $f'$ nün tanımsız olduğu noktaları içerir.

Kopuk aralıkları tek aralık gibi birleştirmek

Hata: $f(x) = \dfrac{1}{x}$ için "her yerde azalandır" ya da " $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ da azalandır" denir.

Neden yanlış: $f(-1) = -1$ ve $f(1) = 1$ dir; $-1 < 1$ iken $f(-1) < f(1)$ olduğundan tanım sağlanmaz. Tanım kümesi kopuk olduğu için parçalar tek bir aralık gibi ele alınamaz.

Doğrusu: " $(-\infty,0)$ ve $(0,\infty)$ aralıklarının her birinde azalandır" biçiminde yazılır.

$f'(a) = 0$ görünce yön değiştiğini varsaymak

Hata: Türevin kökü bulunur bulunmaz orada bir tepe ya da çukur olduğu kabul edilir.

Neden yanlış: Belirleyici olan işaret değişimidir. $f(x) = x^3$ için $f'(0) = 0$ dır ama türev iki tarafta da pozitiftir; fonksiyon yön değiştirmez.

Doğrusu: Kökün iki yanındaki işaretler karşılaştırılır. İşaret değişmiyorsa monotonluk bozulmaz.

"Artansa türevi pozitiftir" demek

Hata: $f$ artan verildiğinde $f'(x) > 0$ yazılır.

Neden yanlış: Artan bir fonksiyonun türevi tek tek noktalarda sıfır olabilir. $x^3$ artandır ama $f'(0) = 0$ dır. Kesin eşitsizlik yanlış sonuca götürür — özellikle "her yerde artan olsun" tipi parametre sorularında $\Delta < 0$ yazmak kök kaybettirir.

Doğrusu: $f$ artansa $f'(x) \ge 0$ dır. Parametre sorularında koşul $\Delta \le 0$ biçiminde kurulur.

$f'$ grafiğini $f$ grafiği sanmak

Hata: Verilen grafiğin yükseldiği yerde fonksiyonun arttığı söylenir.

Neden yanlış: Grafik $f'$ ye aitse, yükselmesi türevin büyüdüğünü gösterir. Türev $-5$ ten $-2$ ye çıkarken de grafik yükselir, ama fonksiyon hâlâ azalmaktadır.

Doğrusu: $f'$ grafiğinde bakılacak şey yön değil, eksene göre konumdur: üstündeyse artan, altındaysa azalan.

Formül kartı

\boxed{\;f'(x) > 0 \ \Rightarrow \ f \text{ artan} \qquad\qquad f'(x) < 0 \ \Rightarrow \ f \text{ azalan}\;}

f \text{ artan} \ \Rightarrow \ f'(x) \ge 0 \qquad\qquad f \text{ azalan} \ \Rightarrow \ f'(x) \le 0

Adım	Yapılan
1	$f'(x)$ hesaplanır
2	$f'(x)=0$ kökleri ve $f'$ nün tanımsız olduğu noktalar bulunur
3	Sayı doğrusu bu noktalarla bölünür, her aralıkta işaret belirlenir
4	$f' > 0$ → artan, $f' < 0$ → azalan

$f'$ grafiği	$f$ nin davranışı
$x$ ekseninin üstünde	artan
$x$ ekseninin altında	azalan
ekseni kesiyor	yön değiştirir
eksene değip dönüyor	yön değiştirmez

Her reel sayıda artan olma koşulu ( $f'$ ikinci dereceden ise): $a > 0$ ve $\Delta \le 0$

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →