Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri $e$ sayısının limit tanımından çıkar. Üstel fonksiyonun türevi kendisidir, logaritmanınki değişkenin tersidir.

40 dakikalık çalışma

Bu konu Maarif Modeli'nde zenginleştirme kapsamındadır — üstel ve logaritmik fonksiyonların türevi program metninde isteğe bağlı içerik olarak geçer, zorunlu değildir. 2018 programının genel kazanımlarında da yer almaz.

Bu konuda ne öğreneceksin

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevini limit tanımından türetebilir
Doğal logaritma ve $a$ tabanlı logaritmanın türevini hesaplayabilir
Üstel ve logaritmik ifadelerde zincir kuralını uygulayabilir
Logaritma özelliklerini kullanarak türev işlemini sadeleştirebilir
Üstel fonksiyonun türevinin kendisine eşit olmasını geometrik olarak yorumlayabilir

Önce şunları çalış

Her şeyin dayandığı tek limit

Bu konudaki bütün formüller tek bir sonuçtan türetilir. $e$ sayısı şu limitle tanımlanır:

\lim_{t \to 0} \big(1 + t\big)^{1/t} = e \approx 2{,}718281\ldots

Bu limit e-sayisi-ve-dogal-logaritma konusunda elde edilir; burada bilinen bir sonuç olarak kullanılacak. Aşağıdaki iki türev doğrudan bundan çıkar, geri kalan her şey de o ikisinden.

İspat: $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$

Tanım yazılır:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h}

Logaritmanın fark özelliği kullanılır:

\ln(x+h) - \ln x = \ln\frac{x+h}{x} = \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)

İfade $h$ ye bölünür ve katsayı üsse taşınır:

\frac{1}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{1/h}

Şimdi $t = \dfrac{h}{x}$ dönüşümü yapılır. Buradan $h = xt$ olur ve $h \to 0$ iken $t \to 0$ dır:

\ln\big(1 + t\big)^{1/(xt)} = \frac{1}{x}\ln\big(1 + t\big)^{1/t}

$t \to 0$ için parantez içi $e$ ye gider:

f'(x) = \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x} \qquad \blacksquare

Sonuç yalnızca $x > 0$ için geçerlidir — logaritmanın tanım kümesi budur.

İspat: $(e^x)' = e^x$

Önce bir ara sonuç gerekir:

\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1

Ara sonucun türetimi. $u = e^h - 1$ denirse $e^h = 1 + u$ ve $h = \ln(1+u)$ olur. $h \to 0$ iken $u \to 0$ dır:

\frac{e^h - 1}{h} = \frac{u}{\ln(1+u)} = \frac{1}{\dfrac{1}{u}\ln(1+u)} = \frac{1}{\ln\big(1+u\big)^{1/u}}

$u \to 0$ için payda $\ln e = 1$ olur, dolayısıyla ifade $1$ e gider.

Asıl ispat. Tanım yazılır ve üslü ifade çarpanlarına ayrılır:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}

$e^x$ ortak çarpan parantezine alınır. $h$ ye göre sabit olduğu için limitin dışına çıkar:

= e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x \qquad \blacksquare

Türevi kendisine eşit olan fonksiyon

$(e^x)' = e^x$ eşitliği bu fonksiyonu benzersiz kılar: eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetin eğimi, o noktanın yüksekliğine eşittir.

$x = 0$ da nokta $1$ yüksekliğindedir ve teğetin eğimi $1$ dir; $x = 1$ de nokta $e$ yüksekliğindedir ve eğim $e$ dir. Eğri yükseldikçe dikleşir, çünkü yüksekliğin kendisi eğimi belirler.

$a$ tabanlı üstel fonksiyon

$a > 0$ ve $a \neq 1$ olmak üzere $a^x$ ifadesi, taban değiştirilerek $e$ ye çevrilir:

a^x = \big(e^{\ln a}\big)^x = e^{x\ln a}

Zincir kuralı uygulanır. İç fonksiyon $x\ln a$ dır ve $\ln a$ bir sabit olduğu için türevi $\ln a$ dır:

\big(a^x\big)' = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a

$a = e$ alınırsa $\ln e = 1$ olur ve bilinen sonuç geri gelir.

$a$ tabanlı logaritma

Taban değiştirme formülü kullanılır:

\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}

$\dfrac{1}{\ln a}$ bir sabittir, dışarı alınır:

\big(\log_a x\big)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln a}

Zincir kuralıyla birlikte

İçerideki ifade $x$ ten farklıysa iç türev çarpanı gelir:

\big(e^u\big)' = e^u \cdot u' \qquad\qquad \big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}

\big(a^u\big)' = a^u \ln a \cdot u' \qquad\qquad \big(\log_a u\big)' = \frac{u'}{u \ln a}

Logaritmanın türevindeki biçim özellikle akılda tutulmalı: iç türev paya, içerinin kendisi paydaya gider.

\Big(\ln\big(x^2+1\big)\Big)' = \frac{2x}{x^2+1}

Önce sadeleştir

Logaritma özellikleri, türev almadan önce ifadeyi çoğu zaman çok basitleştirir. Bu, zincir kuralına girmekten hem hızlı hem güvenlidir.

İfade	Sadeleşmiş hâli	Türevi
$\ln(3x)$	$\ln 3 + \ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\ln\big(x^5\big)$	$5\ln x$	$\dfrac{5}{x}$
$\ln\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2}\ln x$	$\dfrac{1}{2x}$
$\ln\dfrac{x}{x+1}$	$\ln x - \ln(x+1)$	$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$

İlk satır dikkat çekicidir: $\ln(3x)$ ile $\ln x$ fonksiyonlarının türevleri aynıdır. İkisi arasındaki fark yalnızca $\ln 3$ sabitidir ve sabitin türevi sıfırdır.

$\ln\big(x^2\big)$ ile $\big(\ln x\big)^2$ farkı

Yazımları benzer, yapıları farklıdır.

$\ln\big(x^2\big)$ ifadesinde dış fonksiyon logaritmadır; sadeleştirilerek $2\ln x$ yazılır:

\Big(\ln\big(x^2\big)\Big)' = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}

$\big(\ln x\big)^2$ ifadesinde ise dış fonksiyon karedir:

\Big(\big(\ln x\big)^2\Big)' = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}

Ayrım için yine aynı soru sorulur: bir sayı için hesaplansaydı en son hangi işlem yapılırdı?

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$f(x) = 3e^x - 2\ln x$ fonksiyonunun türevini bulun ve $f'(1)$ değerini hesaplayın. $(x > 0)$
Terim terim türev alınır.

Birinci terim. Üstel fonksiyonun türevi kendisidir; sabit çarpan korunur:
$\big(3e^x\big)' = 3e^x$
İkinci terim. Doğal logaritmanın türevi $\dfrac{1}{x}$ tir:
$\big(-2\ln x\big)' = -2 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2}{x}$
Toplanır:
$f'(x) = 3e^x - \frac{2}{x}$
Değer. $x = 1$ yerine konur. $e^1 = e$ ve $\dfrac{2}{1} = 2$ dir:
$f'(1) = 3e - 2 \approx 3 \cdot 2{,}718 - 2 \approx 6{,}15$
2Zorluk 3/5
$f(x) = e^{3x^2}$ fonksiyonunun türevini bulun.
İfade bir bileşkedir. Dış fonksiyon üstel, iç fonksiyon üsteki ifadedir:
$u = 3x^2 \;\Longrightarrow\; u' = 6x$
Zincir kuralıyla üstel türev formülü uygulanır:
$\big(e^u\big)' = e^u \cdot u'$
Dış fonksiyonun türevi. Üstelin türevi kendisidir ve üs aynen kalır:
$e^{3x^2}$
İç türevle çarpılır.
$f'(x) = e^{3x^2} \cdot 6x = 6x\,e^{3x^2}$
Kontrol. $x = 0$ için $f'(0) = 0$ bulunur. Fonksiyon $x = 0$ da en küçük değerini ( $e^0 = 1$ ) aldığı için teğetin yatay olması beklenen sonuçtur.
3Zorluk 3/5
$f(x) = \ln\big(x^2 + 1\big)$ fonksiyonunun türevini bulun.
Logaritmanın zincirli türev formülü kullanılır:
$\big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}$
İç fonksiyon ve türevi belirlenir:
$u = x^2 + 1 \;\Longrightarrow\; u' = 2x$
Yerine konur — iç türev paya, içerinin kendisi paydaya gider:
$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$
Tanım kümesi notu. $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ olduğundan logaritmanın içi hiçbir zaman sıfır ya da negatif olmaz; fonksiyon her reel sayıda tanımlı ve türevlenebilirdir.

Kontrol. $x = 0$ için $f'(0) = 0$ dır. Fonksiyon $x = 0$ da en küçük değerini ( $\ln 1 = 0$ ) alır.
4Zorluk 4/5
$f(x) = x^2 e^x$ fonksiyonunun türevini bulun, ortak çarpan parantezine alın ve $f'(1)$ değerini hesaplayın.
İfade bir çarpımdır; çarpım kuralı uygulanır.
$u = x^2 \;\Longrightarrow\; u' = 2x$ $v = e^x \;\Longrightarrow\; v' = e^x$
Kural yazılır:
$f' = u'v + uv' = 2x e^x + x^2 e^x$
Ortak çarpan parantezine alınır. İki terimde de $x$ ve $e^x$ vardır:
$f'(x) = x e^x\big(2 + x\big) = x e^x (x+2)$
Değer. $x = 1$ yerine konur:
$f'(1) = 1 \cdot e \cdot 3 = 3e \approx 8{,}15$
Kontrol. Sadeleşmemiş hâlden de aynı sonuç çıkar: $2 \cdot 1 \cdot e + 1 \cdot e = 2e + e = 3e$ .
5Zorluk 4/5
Şekilde $y = e^x$ eğrisi ve eğri üzerindeki $A\big(a,\, e^a\big)$ noktasına çizilen teğet gösterilmiştir.

Teğetin $x$ eksenini kestiği noktanın apsisi nedir?
Teğetin eğimi. Türev alınır ve $x = a$ yazılır:
$f'(x) = e^x \;\Longrightarrow\; f'(a) = e^a$
Teğetin denklemi. $A\big(a, e^a\big)$ noktasından geçen ve eğimi $e^a$ olan doğru:
$y - e^a = e^a\big(x - a\big)$
$x$ eksenini kestiği nokta. Bu noktada $y = 0$ dır:
$-e^a = e^a\big(x - a\big)$
$e^a$ hiçbir zaman sıfır olmadığı için iki taraf $e^a$ ile sadeleştirilebilir:
$-1 = x - a \;\Longrightarrow\; x = a - 1$
Sonucun anlamı. Cevapta $e^a$ yok. Yani $a$ nın değeri ne olursa olsun, teğet $x$ eksenini noktanın apsisinden tam $1$ birim solda keser. Üstel eğrinin her noktasında bu mesafe aynıdır — bu, $(e^x)' = e^x$ özelliğinin doğrudan bir sonucudur.

Sayısal kontrol. $a = 1$ için teğet $y - e = e(x-1)$ olur; $y = 0$ konursa $x = 0$ çıkar ve gerçekten $1 - 1 = 0$ dır.

Sık yapılan hatalar

Üstel fonksiyona kuvvet kuralı uygulamak

Hata: $\big(e^x\big)' = x e^{x-1}$ ya da $\big(2^x\big)' = x \cdot 2^{x-1}$ yazılır.

Neden yanlış: Kuvvet kuralı taban değişken, üs sabit olduğunda geçerlidir ( $x^5$ gibi). Üstel fonksiyonda tam tersi olur: taban sabit, üs değişkendir. İki kural birbirinin yerine kullanılamaz.

Doğrusu: $\big(e^x\big)' = e^x$ ve $\big(2^x\big)' = 2^x\ln 2$ .

$a$ tabanlı üstelde $\ln a$ çarpanını unutmak

Hata: $\big(3^x\big)' = 3^x$ yazılır.

Neden yanlış: Türevin kendisine eşit olması yalnızca $e$ tabanına özgüdür. Başka bir tabanda $a^x = e^{x\ln a}$ yazıldığında zincir kuralı $\ln a$ çarpanını getirir.

Doğrusu: $\big(3^x\big)' = 3^x\ln 3$ . Kontrol: $a = e$ için $\ln e = 1$ olur ve çarpan görünmez hâle gelir.

Logaritmanın türevinde iç türevi unutmak

Hata: $\Big(\ln\big(x^2+1\big)\Big)' = \dfrac{1}{x^2+1}$ yazılır.

Neden yanlış: İfade bir bileşkedir. $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ formülünde pay $u'$ dür, $1$ değil.

Doğrusu: $\dfrac{2x}{x^2+1}$ . Payda içerinin kendisi, payda içerinin türevi durur.

$\ln\big(x^2\big)$ ile $\big(\ln x\big)^2$ ifadelerini karıştırmak

Hata: İkisi aynı sayılır ya da yazımları birbirinin yerine kullanılır.

Neden yanlış: Birincisinde dış fonksiyon logaritma, ikincisinde karedir. Katmanların sırası değişince türev de değişir.

Doğrusu: $\Big(\ln\big(x^2\big)\Big)' = \dfrac{2}{x}$ iken $\Big(\big(\ln x\big)^2\Big)' = \dfrac{2\ln x}{x}$ tir. $x = e$ için birincisi $\dfrac{2}{e}$ , ikincisi $\dfrac{2}{e}$ verir — bu noktada tesadüfen eşitlenirler, ama $x = e^2$ için birincisi $\dfrac{2}{e^2}$ , ikincisi $\dfrac{4}{e^2}$ olur.

Sadeleşen logaritmayı sadeleştirmeden zincire sokmak

Hata: $\ln\sqrt{x}$ ifadesinde doğrudan zincir kuralı kurulur.

Neden yanlış: Yanlış değildir, ama gereksiz uzundur ve kök türevi ile logaritma türevini üst üste bindirdiği için hata olasılığını artırır.

Doğrusu: Önce $\ln\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}\ln x$ yazılır; türev doğrudan $\dfrac{1}{2x}$ tir.

Formül kartı

\boxed{\;\big(e^x\big)' = e^x \qquad\qquad \big(\ln x\big)' = \frac{1}{x} \quad (x>0)\;}

\big(a^x\big)' = a^x \ln a \qquad\qquad \big(\log_a x\big)' = \frac{1}{x\ln a}

Zincir kuralıyla ( $u = u(x)$ ):

$f(x)$	$f'(x)$
$e^u$	$u' e^u$
$a^u$	$u' a^u \ln a$
$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$
$\log_a u$	$\dfrac{u'}{u\ln a}$

Dayanak limitler:

\lim_{t \to 0}\big(1+t\big)^{1/t} = e \qquad\qquad \lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1

Sadeleştirme özdeşlikleri: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ , $\ln a^n = n\ln a$ , $a^x = e^{x\ln a}$

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →