Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Sinüs ve kosinüsün türevleri limit tanımından, tanjant ve kotanjantınki bölüm kuralından elde edilir. Formüller yalnızca radyan ölçüsünde geçerlidir.

40 dakikalık çalışma

Bu konu Maarif Modeli'nde zenginleştirme kapsamındadır — program metni trigonometrik fonksiyonların türevinin "bulunabilir" olduğunu söyler, zorunlu tutmaz. 2018 programının genel kazanımlarında da yer almaz.

Bu konuda ne öğreneceksin

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının türevini limit tanımından türetebilir
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının türevini bölüm kuralıyla elde edebilir
Trigonometrik fonksiyonların türevini zincir kuralıyla birlikte hesaplayabilir
Trigonometrik türev formüllerinin yalnızca radyanda geçerli olduğunu açıklayabilir
Trigonometrik ifadelerde çarpım ve bölüm kurallarını uygulayabilir

Önce şunları çalış

Önce bir uyarı: radyan

Aşağıdaki bütün formüller yalnızca açı radyan cinsinden ölçüldüğünde geçerlidir.

Sebep, birazdan kullanılacak temel limitte gizlidir: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ eşitliği radyan ölçüsüne özgüdür. Derece kullanılsaydı $\sin x^\circ = \sin\left(\frac{\pi x}{180}\right)$ olacağı için zincir kuralı devreye girer ve türev şu hâle gelirdi:

\big(\sin x^\circ\big)' = \frac{\pi}{180} \cos x^\circ

Her türevde sürüklenen bu $\frac{\pi}{180}$ çarpanı, analizin tamamen radyanla yapılmasının sebebidir. Bu konudaki her $x$ , radyan cinsinden bir sayıdır.

İki temel limit

Türevleri tanımdan elde edebilmek için iki limit gerekir.

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1

Bu limit Limit ünitesinde birim çember üzerinden elde edilir; burada bilinen bir sonuç olarak kullanılacak.

İkincisi ise birincisinden türetilebilir:

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0

Türetimi. Pay ve payda $\cos h + 1$ eşleniğiyle çarpılır:

\frac{\cos h - 1}{h} \cdot \frac{\cos h + 1}{\cos h + 1} = \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)}

$\sin^2 h + \cos^2 h = 1$ özdeşliğinden $\cos^2 h - 1 = -\sin^2 h$ yazılır:

= \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1}

$h \to 0$ için birinci çarpan $1$ e, ikinci çarpan $\frac{0}{2} = 0$ a gider:

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = -1 \cdot 0 = 0

İspat: $(\sin x)' = \cos x$

Tanım yazılır:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

Toplam formülü uygulanır:

\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h

Fark alınır ve $\sin x$ ortak çarpan parantezine alınır:

\sin(x+h) - \sin x = \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x = \sin x\big(\cos h - 1\big) + \cos x \sin h

$h$ ye bölünür:

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}

Burada $\sin x$ ve $\cos x$ , $h$ ye göre birer sabittir. İki temel limit yerine konur:

f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x \qquad \blacksquare

İspat: $(\cos x)' = -\sin x$

Aynı yol izlenir. Toplam formülü:

\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h

Fark alınır:

\cos(x+h) - \cos x = \cos x\big(\cos h - 1\big) - \sin x \sin h

$h$ ye bölünüp limit alınır:

f'(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x \qquad \blacksquare

Eksi işareti nereden geliyor. Kosinüs, $0$ ile $\pi$ arasında azalan bir fonksiyondur; bu aralıkta türevinin negatif olması gerekir. Gerçekten de $\sin x$ o aralıkta pozitiftir, dolayısıyla $-\sin x$ negatiftir. İşaret, grafiğin davranışıyla tutarlıdır.

$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$

Tanjant, sinüsün kosinüse oranıdır; bölüm kuralı uygulanır.

u = \sin x \;\Rightarrow\; u' = \cos x, \qquad v = \cos x \;\Rightarrow\; v' = -\sin x

\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}

İki eksinin çarpımı artı verdiği için paydaki terimler toplanır. Pay, temel özdeşlikten $1$ e eşittir:

\big(\tan x\big)' = \frac{1}{\cos^2 x} \qquad \blacksquare

Pay ve payda $\cos^2 x$ e bölünerek ikinci bir biçim elde edilir:

\big(\tan x\big)' = 1 + \tan^2 x

İki biçim eşdeğerdir; soruda hangisi işe yarıyorsa o kullanılır. Bu türev her zaman pozitiftir — tanjant, tanımlı olduğu her aralıkta artandır.

( $\frac{1}{\cos^2 x}$ ifadesi $\sec^2 x$ olarak da yazılır.)

$(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Aynı yolla:

\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\big(\sin^2 x + \cos^2 x\big)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} \qquad \blacksquare

Bu türev her zaman negatiftir — kotanjant, tanımlı olduğu her aralıkta azalandır.

Zincir kuralıyla birlikte

Trigonometrik fonksiyonun içi $x$ ten farklı bir ifadeyse zincir kuralı devreye girer:

\big(\sin u\big)' = \cos u \cdot u' \qquad \big(\cos u\big)' = -\sin u \cdot u' \qquad \big(\tan u\big)' = \frac{u'}{\cos^2 u}

\big(\sin(3x+1)\big)' = \cos(3x+1) \cdot 3 = 3\cos(3x+1)

İç türev çarpanını unutmak, bu konudaki hataların büyük çoğunluğunu oluşturur.

$\sin^2 x$ ile $\sin(x^2)$ farkı

Bu iki ifade birbirine benzer görünür ama yapıları tamamen farklıdır ve türevleri de farklıdır.

$\sin^2 x$ , aslında $\big(\sin x\big)^2$ demektir. Dış fonksiyon kare, iç fonksiyon $\sin x$ tir:

\big(\sin^2 x\big)' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x

$\sin(x^2)$ ifadesinde ise dış fonksiyon sinüs, iç fonksiyon $x^2$ dir:

\big(\sin(x^2)\big)' = \cos\big(x^2\big) \cdot 2x = 2x\cos\big(x^2\big)

Ayrımı yapmanın yolu yine aynı sorudur: bir sayı için hesaplansaydı en son hangi işlem yapılırdı? Birincide en son kare alınır, ikincide en son sinüs.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$f(x) = 3\sin x - 2\cos x$ fonksiyonunun türevini bulun ve $f'(0)$ değerini hesaplayın.
Toplam ve fark kuralı gereği terim terim türev alınır.

Birinci terim. Sinüsün türevi kosinüstür:
$\big(3\sin x\big)' = 3\cos x$
İkinci terim. Burada iki eksi işareti var: terimin önündeki eksi ve kosinüsün türevinden gelen eksi. Çarpımları artı verir:
$\big(-2\cos x\big)' = -2 \cdot \big(-\sin x\big) = 2\sin x$
Toplanır:
$f'(x) = 3\cos x + 2\sin x$
Değer. $x = 0$ yerine konur. $\cos 0 = 1$ ve $\sin 0 = 0$ dır:
$f'(0) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 3$
2Zorluk 3/5
$f(x) = \sin(3x + 1)$ fonksiyonunun türevini bulun.
İfade bir bileşkedir. Dış fonksiyon sinüs, iç fonksiyon parantezin içidir:
$u = 3x + 1 \;\Longrightarrow\; u' = 3$
Dış fonksiyonun türevi. Sinüsün türevi kosinüstür ve içi aynen kalır:
$\cos(3x+1)$
Burada $\cos(3x+1)$ yerine $\cos x$ yazmak en yaygın hatadır; iç ifade değişmez.

İç türevle çarpılır.
$f'(x) = \cos(3x+1) \cdot 3 = 3\cos(3x+1)$
Kontrol. $x = -\frac{1}{3}$ alınırsa $3x + 1 = 0$ olur ve $f'\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\cos 0 = 3$ bulunur.
3Zorluk 3/5
$f(x) = \tan x$ fonksiyonunun türevini bölüm kuralını kullanarak elde edin.
Tanjant, sinüsün kosinüse oranı olarak yazılır:
$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$
Pay ve payda adlandırılır:
$u = \sin x \;\Longrightarrow\; u' = \cos x$ $v = \cos x \;\Longrightarrow\; v' = -\sin x$
Bölüm kuralı uygulanır:
$f' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \big(-\sin x\big)}{\cos^2 x}$
Payda dikkat edilecek nokta, çıkarma işaretiyle kosinüsün türevinden gelen eksinin çarpılmasıdır; sonuç artı olur:
$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$
Temel özdeşlikten pay $1$ e eşittir:
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
İkinci biçim. Pay ve payda $\cos^2 x$ e bölünürse:
$\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
İki biçim eşdeğerdir.

Yorum. Türev bir kare ifadesinin tersidir, dolayısıyla her zaman pozitiftir. Tanjant tanımlı olduğu her aralıkta artandır — grafiği de bunu gösterir.
4Zorluk 4/5
$f(x) = x^2 \cos x$ fonksiyonunun türevini bulun ve $f'(\pi)$ değerini hesaplayın.
İfade bir çarpımdır; çarpım kuralı uygulanır.
$u = x^2 \;\Longrightarrow\; u' = 2x$ $v = \cos x \;\Longrightarrow\; v' = -\sin x$ $f' = u'v + uv' = 2x\cos x + x^2 \cdot \big(-\sin x\big)$ $f'(x) = 2x\cos x - x^2\sin x$
Değer. $x = \pi$ yerine konur. $\cos \pi = -1$ ve $\sin \pi = 0$ dır:
$f'(\pi) = 2\pi \cdot (-1) - \pi^2 \cdot 0 = -2\pi$
İkinci terim sıfırlandı; $\pi^2$ çarpanı sonuca hiç girmedi.
$f'(\pi) = -2\pi \approx -6{,}28$
5Zorluk 4/5
$f(x) = \sin^2 x$ ve $g(x) = \sin\big(x^2\big)$ fonksiyonlarının türevlerini bulun ve sonuçları karşılaştırın.
İki ifade benzer görünür ama katman sıraları terstir.

$f(x) = \sin^2 x = \big(\sin x\big)^2$ . En son kare alınır, dolayısıyla dış fonksiyon karedir:
$u = \sin x \;\Longrightarrow\; u' = \cos x$
Genelleştirilmiş kuvvet kuralı:
$f'(x) = 2\big(\sin x\big)^1 \cdot \cos x = 2\sin x\cos x$
Bu ifade $\sin 2x$ olarak da yazılabilir.

$g(x) = \sin\big(x^2\big)$ . En son sinüs alınır, dolayısıyla dış fonksiyon sinüstür:
$u = x^2 \;\Longrightarrow\; u' = 2x$ $g'(x) = \cos\big(x^2\big) \cdot 2x = 2x\cos\big(x^2\big)$
Karşılaştırma. $x = 1$ için değerler hesaplanır:
$f'(1) = 2\sin 1 \cos 1 \approx 2 \cdot 0{,}841 \cdot 0{,}540 \approx 0{,}909$ $g'(1) = 2\cos 1 \approx 2 \cdot 0{,}540 \approx 1{,}081$
Değerler farklıdır. İki ifade aynı fonksiyon değildir; yazımdaki üssün yeri her şeyi değiştirir.

Sık yapılan hatalar

Kosinüsün türevindeki eksiyi unutmak

Hata: $\big(\cos x\big)' = \sin x$ yazılır.

Neden yanlış: Kosinüs $\big(0, \pi\big)$ aralığında azalandır; türevinin bu aralıkta negatif olması gerekir. $\sin x$ ise orada pozitiftir, dolayısıyla işaret grafikle çelişir.

Doğrusu: $\big(\cos x\big)' = -\sin x$ . Sinüsten kosinüse geçerken işaret değişmez, kosinüsten sinüse geçerken değişir.

Trigonometrik fonksiyonda iç türevi unutmak

Hata: $\big(\sin(2x)\big)' = \cos(2x)$ yazılır.

Neden yanlış: $\sin(2x)$ bir bileşkedir; iç fonksiyon $2x$ tir ve türevi $2$ dir. Zincir kuralı gereği bu çarpan yazılmalıdır.

Doğrusu: $\big(\sin(2x)\big)' = 2\cos(2x)$ .

$\sin^2 x$ ile $\sin(x^2)$ ifadelerini karıştırmak

Hata: İkisi de aynı sayılır ya da yazımları birbirinin yerine kullanılır.

Neden yanlış: Birincisinde dış fonksiyon kare, ikincisinde sinüstür. Katmanların sırası değişince türev de değişir.

Doğrusu: $\big(\sin^2 x\big)' = 2\sin x\cos x$ iken $\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos\big(x^2\big)$ dir. $x = 1$ için birincisi yaklaşık $0{,}909$ , ikincisi yaklaşık $1{,}081$ verir.

Dereceyle işlem yapmak

Hata: $\sin 30$ ifadesi $\frac{1}{2}$ sanılır ve türev formülleri derece üzerinden uygulanır.

Neden yanlış: Türev formülleri $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$ limitine dayanır ve bu limit yalnızca radyanda $1$ dir. Derecede $\big(\sin x^\circ\big)' = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$ olur.

Doğrusu: Bu konuda geçen her $x$ radyandır. $\sin 30$ ifadesi $30$ radyanın sinüsüdür; $\frac{1}{2}$ değerini veren $\sin\frac{\pi}{6}$ dır.

Tanjantın türevini bölüm kuralı kurmadan tahmin etmek

Hata: $\big(\tan x\big)' = \frac{\cos x}{-\sin x}$ gibi, pay ve paydanın türevleri ayrı ayrı alınıp bölünür.

Neden yanlış: Bölümün türevi, türevlerin bölümü değildir. Bölüm kuralı iki terimli bir pay ve $v^2$ paydası üretir.

Doğrusu: $\big(\tan x\big)' = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ .

Formül kartı

\boxed{\;\big(\sin x\big)' = \cos x \qquad \big(\cos x\big)' = -\sin x\;}

\big(\tan x\big)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \qquad\qquad \big(\cot x\big)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\big(1 + \cot^2 x\big)

Zincir kuralıyla ( $u = u(x)$ ):

$f(x)$	$f'(x)$
$\sin u$	$u' \cos u$
$\cos u$	$-u' \sin u$
$\tan u$	$\dfrac{u'}{\cos^2 u}$
$\cot u$	$-\dfrac{u'}{\sin^2 u}$

Kullanılan temel limitler:

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \qquad\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0

Tüm formüller radyan içindir. Derecede $\big(\sin x^\circ\big)' = \dfrac{\pi}{180}\cos x^\circ$ olur.

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →