Logaritmanın Özellikleri

Neyi neye dayandırıyoruz

Bu konuda dört özellik kurulacak ve dördü de ispatlanacak. İspatların dayanağı yalnızca iki şeydir; başka hiçbir yerden sonuç ödünç alınmaz.

Birinci dayanak — eşdeğerlik. Bir önceki konularda kurulmuştu:

$$\log_a x = y \quad \Longleftrightarrow \quad a^{y} = x \qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0)$$

İkinci dayanak — üs kuralları. Bunlar da 9. sınıftan gelip ilk konuda toplanmıştı:

$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \qquad \left( a^{m} \right)^{n} = a^{m \cdot n}$$

Yöntem her ispatta aynıdır. Logaritmalara birer ad verilir, eşdeğerlikle üslü yazıma geçilir, bir üs kuralı uygulanır ve eşdeğerlikle geri dönülür. Dört ispatın dördü de bu üç adımdan ibarettir.

Değişmeyen koşul. Her özellikte, yazılan her logaritmanın içi pozitif olmalıdır. Bu koşul ispatların içinde nereden çıktığı belli olacak biçimde işaretlenecek ve sonda ayrı bir başlıkta toplanacaktır.

Çarpımın logaritması

Sayısal örnek. Taban $2$ alınsın:

$$\log_2 8 = 3, \qquad \log_2 4 = 2, \qquad \log_2 32 = 5$$

$8 \cdot 4 = 32$ olduğuna dikkat edilirse, üçüncü değer ilk ikisinin toplamıdır: $3 + 2 = 5$.

Örüntü. Aynı taban için birkaç çift daha denenir:

$x$	$y$	$\log_2 x$	$\log_2 y$	$x \cdot y$	$\log_2 (xy)$
$8$	$4$	$3$	$2$	$32$	$5$
$2$	$16$	$1$	$4$	$32$	$5$
$4$	$4$	$2$	$2$	$16$	$4$
$\dfrac{1}{2}$	$8$	$-1$	$3$	$4$	$2$

Son sütun her satırda üçüncü ile dördüncü sütunun toplamıdır. Dördüncü satır, logaritmalardan biri negatif olduğunda da örüntünün bozulmadığını gösterir.

Genelleme. $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$ ve $y > 0$ olmak üzere:

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

İspat: Çarpımın logaritması

Adlandırma. İki logaritmaya ad verilir:

$$m = \log_a x, \qquad n = \log_a y$$

Bu adların var olabilmesi için $x > 0$ ve $y > 0$ olması gerekir; koşul buradan gelmektedir.

Üslü yazıma geçiş. Eşdeğerlik uygulanır:

$$a^{m} = x, \qquad a^{n} = y$$

Üs kuralı. İki eşitlik taraf tarafa çarpılır ve çarpım kuralı uygulanır:

$$x \cdot y = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$

Geri dönüş. Elde edilen eşitlik yeniden logaritmik yazıma çevrilir. Sağ taraf pozitif olduğundan sol taraf da pozitiftir ve $\log_a (xy)$ tanımlıdır:

$$a^{m+n} = xy \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a (xy) = m + n$$

Sonuç. $m$ ve $n$ yerine karşılıkları yazılır:

$$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \qquad \blacksquare$$

Genişletme. Aynı adım üç ya da daha çok çarpan için tekrarlanabilir: $\log_a (xyz) = \log_a x + \log_a y + \log_a z$.

Bölümün logaritması

Sayısal örnek. Yine taban $2$:

$$\log_2 32 = 5, \qquad \log_2 4 = 2, \qquad \log_2 8 = 3$$

$\dfrac{32}{4} = 8$ olduğuna göre üçüncü değer ilk ikisinin farkıdır: $5 - 2 = 3$.

Örüntü.

$x$	$y$	$\log_2 x$	$\log_2 y$	$\dfrac{x}{y}$	$\log_2 \dfrac{x}{y}$
$32$	$4$	$5$	$2$	$8$	$3$
$16$	$2$	$4$	$1$	$8$	$3$
$4$	$16$	$2$	$4$	$\dfrac{1}{4}$	$-2$
$8$	$8$	$3$	$3$	$1$	$0$

Son sütun her satırda üçüncü sütundan dördüncünün çıkarılmasıyla elde edilir. Üçüncü satır, farkın negatif çıkabildiğini gösterir.

Genelleme. $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$ ve $y > 0$ olmak üzere:

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

İspat: Bölümün logaritması

Adlandırma. Çarpımdaki gibi başlanır:

$$m = \log_a x, \qquad n = \log_a y$$

Bu adların var olabilmesi için $x > 0$ ve $y > 0$ olmalıdır; koşul buradan gelmektedir.

Üslü yazıma geçiş.

$$a^{m} = x, \qquad a^{n} = y$$

Üs kuralı. Bu kez iki eşitlik taraf tarafa bölünür:

$$\frac{x}{y} = \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$$

Bölme geçerlidir, çünkü $a^{n}$ hiçbir zaman sıfır olmaz: üstel fonksiyonun görüntü kümesi $(0,\ \infty)$'dur ve bu, referans fonksiyonun ustel-fonksiyon konusunda çıkarılan nitel özelliklerinden biridir.

Geri dönüş ve sonuç.

$$a^{m-n} = \frac{x}{y} \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a \frac{x}{y} = m - n = \log_a x - \log_a y \qquad \blacksquare$$

Özel durum. $x = 1$ alınırsa $\log_a 1 = 0$ olduğundan:

$$\log_a \frac{1}{y} = -\log_a y$$

Yani bir sayının çarpmaya göre tersinin logaritması, logaritmanın işaretçe tersidir.

Kuvvetin logaritması

Sayısal örnek. $\log_2 8 = 3$'tür. $8$ sayısının dördüncü kuvveti alınırsa:

$$8^{4} = 4096 \qquad \text{ve} \qquad \log_2 4096 = 12 = 4 \cdot 3$$

Örüntü. Taban $3$ ile denenir:

$p$	$9^{p}$	$\log_3 9^{p}$	$p \cdot \log_3 9$
$1$	$9$	$2$	$2$
$2$	$81$	$4$	$4$
$3$	$729$	$6$	$6$
$-1$	$\dfrac{1}{9}$	$-2$	$-2$

Son iki sütun her satırda aynıdır; üs, logaritmanın önüne çarpan olarak çıkmaktadır. Dördüncü satır, üssün negatif olduğu durumda da örüntünün sürdüğünü gösterir.

Genelleme. $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$ ve $p$ herhangi bir gerçek sayı olmak üzere:

$$\log_a x^{p} = p \cdot \log_a x$$

İspat: Kuvvetin logaritması

Adlandırma ve üslü yazım.

$$m = \log_a x \qquad \Longrightarrow \qquad a^{m} = x$$

Bu adın var olabilmesi için $x > 0$ olması gerekir; koşul buradan gelmektedir.

Üs kuralı. Her iki tarafın $p$'inci kuvveti alınır ve üssün üssü kuralı uygulanır:

$$x^{p} = \left( a^{m} \right)^{p} = a^{m \cdot p}$$

Geri dönüş ve sonuç. $x > 0$ olduğundan $x^{p}$ de pozitiftir; sol taraf tanımlıdır:

$$a^{mp} = x^{p} \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a x^{p} = m \cdot p = p \cdot \log_a x \qquad \blacksquare$$

Kök hâli. $p = \dfrac{1}{n}$ alınırsa köklü ifadeler de kapsanır:

$$\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x$$

Sınır. Bu özellik $x > 0$ koşuluna bağlıdır. $p$ çift bir sayıysa $x^{p}$ ifadesi $x < 0$ için de pozitiftir ve sol taraf tanımlı olur, ama sağ taraftaki $\log_a x$ tanımsız kalır. Bu durum aşağıda ayrıca ele alınmaktadır.

Taban değiştirme

Bu özellik ötekilerden bir adım sonra gelir, çünkü ispatında kuvvetin logaritması kullanılacaktır.

Sayısal örnek. $\log_4 64 = 3$'tür, çünkü $4^3 = 64$'tür. Aynı sayı $2$ tabanındaki iki logaritmanın oranı olarak da elde edilir:

$$\frac{\log_2 64}{\log_2 4} = \frac{6}{2} = 3$$

Örüntü.

Aranan	Değeri	$2$ tabanında oran	Oranın değeri
$\log_4 64$	$3$	$\dfrac{\log_2 64}{\log_2 4}$	$\dfrac{6}{2} = 3$
$\log_8 32$	$\dfrac{5}{3}$	$\dfrac{\log_2 32}{\log_2 8}$	$\dfrac{5}{3}$
$\log_4 8$	$\dfrac{3}{2}$	$\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$	$\dfrac{3}{2}$
$\log_{16} 2$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{\log_2 2}{\log_2 16}$	$\dfrac{1}{4}$

Genelleme. $a, b > 0$, $a, b \neq 1$ ve $x > 0$ olmak üzere:

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

Yani herhangi bir tabandaki logaritma, istenen başka bir tabana iki logaritmanın oranı olarak çevrilebilir.

İspat: Taban değiştirme

Adlandırma ve üslü yazım.

$$m = \log_a x \qquad \Longrightarrow \qquad a^{m} = x$$

Bu adın var olabilmesi için $a > 0$, $a \neq 1$ ve $x > 0$ olmalıdır.

Her iki tarafın $b$ tabanında logaritması alınır. Bu adımın yapılabilmesi için yeni tabanın da geçerli bir taban olması, yani $b > 0$ ve $b \neq 1$ olması gerekir; $b$ üzerindeki koşul buradan gelmektedir. İki taraf da pozitif olduğundan logaritmalar tanımlıdır:

$$\log_b \left( a^{m} \right) = \log_b x$$

Kuvvetin logaritması uygulanır. Az önce ispatlanan özellik sol tarafa uygulanır:

$$m \cdot \log_b a = \log_b x$$

Bölme. $a \neq 1$ olduğundan $\log_b a \neq 0$'dır ve iki taraf ona bölünebilir:

$$m = \frac{\log_b x}{\log_b a} \qquad \blacksquare$$

Birinci sonuç. $x = b$ alınırsa $\log_b b = 1$ olduğundan:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

İkinci sonuç. $b$ yerine $e$ ya da $10$ yazılırsa her logaritma, hesap makinesinde bulunan iki tuşa indirgenir:

$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}$$

Şekil kuralın grafikteki karşılığıdır. $\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{1}{2} \log_2 x$ olduğundan alttaki eğri, üsttekinin her apsiste yarısıdır: $x = 16$ apsisinde üstteki $4$, alttaki $2$ değerini almaktadır. Taban değiştirmek, eğriyi dikey doğrultuda sabit bir oranla ölçeklemektir.

Devralınan iki borç

Bir önceki konu iki soruyu buraya bırakmıştı; taban değiştirme kuralı ikisini de kapatır.

Birinci borç: $\ln x$ ile $\log x$ arasında kaç kat fark var? Kural $a = 10$ ve $b = e$ ile yazılır:

$$\log x = \frac{\ln x}{\ln 10} \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{\ln x}{\log x} = \ln 10$$

$\ln 10 \approx 2{,}3026$ olduğundan, her $x > 0$, $x \neq 1$ için:

$$\ln x \approx 2{,}303 \cdot \log x$$

Oran $x$'ten bağımsız, sabit bir sayıdır. Sınama: $\ln 100 \approx 4{,}605$ ve $\log 100 = 2$; oranları $2{,}3026$'dır. e-sayisi-ve-dogal-logaritma konusundaki şekilde iki eğrinin aynı biçimde olup farklı hızda yükselmesinin nedeni budur — aralarındaki fark biçim değil, sabit bir ölçektir.

İkinci borç: farklı tabanlı iki logaritma nasıl birleşir? Bir önceki konuda $\ln e^{5} + \log 10^{3}$ toplamı, tabanları farklı olduğu için ayrı ayrı hesaplanmıştı. Taban değiştirme bu engeli kaldırır: önce tabanlar eşitlenir, sonra çarpım kuralı uygulanabilir.

Örnek olarak $\log_3 7 + \log_9 7$ toplamı ele alınsın. İkinci terim $3$ tabanına çevrilir:

$$\log_9 7 = \frac{\log_3 7}{\log_3 9} = \frac{\log_3 7}{2}$$

Artık iki terimin de tabanı aynıdır:

$$\log_3 7 + \frac{\log_3 7}{2} = \frac{3}{2} \log_3 7$$

Kuvvetin logaritmasıyla tek logaritmaya indirilir:

$$\frac{3}{2} \log_3 7 = \log_3 7^{\frac{3}{2}} = \log_3 \left( 7 \sqrt7 \right)$$

Kural. Farklı tabanlı logaritmalar doğrudan birleştirilemez; önce taban değiştirmeyle ortak bir tabana getirilir, sonra çarpım, bölüm ve kuvvet kuralları uygulanır.

Koşullar: özellikler ne zaman geçerli

Dört ispatın dördünde de logaritmalara ad verilerek başlandı ve o adların var olabilmesi için içeridekilerin pozitif olması gerekti. Koşul buradan gelir ve gözden kaçırılırsa yanlış sonuç üretir.

Tek yönlü genişleme. Bir logaritmayı açmak tanım kümesini daraltabilir:

$$\log_2 \left( (-4) \cdot (-8) \right) = \log_2 32 = 5$$

Sol taraf tanımlıdır, çünkü çarpım $32$'dir. Ama açılmış hâli olan $\log_2 (-4) + \log_2 (-8)$ tanımsızdır. Çarpım kuralı burada uygulanamaz, çünkü kuralın koşulu $x > 0$ ve $y > 0$'dır.

Çift kuvvet durumu. Aynı sorun kuvvet kuralında da görülür:

$$\log_3 (-3)^{2} = \log_3 9 = 2 \qquad \text{ama} \qquad 2 \log_3 (-3) \ \text{tanımsız}$$

Bu durumda geçerli olan biçim mutlak değerlidir:

$$\log_a x^{2} = 2 \log_a \lvert x \rvert \qquad (x \neq 0)$$

Pratik kural. Bir özdeşlik uygulanmadan önce, uygulama sonrasında yazılacak her logaritmanın içinin pozitif olduğu sınanır. Birleştirme yönünde (çoktan teke) sorun çıkmaz; açma yönünde (tekten çoğa) koşul kontrol edilir.