e Sayısı ve Doğal Logaritma

$e$ sayısı

Şimdiye kadar taban $a$ harfiyle genel bırakıldı ve örneklerde $2$, $3$, $\tfrac{1}{2}$ gibi sayılar kullanıldı. Matematikte ve uygulamalarda bu tabanlardan biri ötekilerin önüne geçer:

$$e = 2{,}718281828459045\ldots$$

Bu sayı verilen bir sabittir; $\pi$ gibi, kendi adıyla anılır. Değeri $2$ ile $3$ arasındadır ve $3$'e değil $2$'ye daha yakındır.

$e$ irrasyoneldir. Yani iki tam sayının oranı olarak yazılamaz ve ondalık açılımı ne biter ne de bir yerden sonra devreder. Açılımın başındaki $2{,}718281828\ldots$ dizilişinde "$1828$" iki kez görünür; bu bir tesadüftür, devir değildir — devam eden basamaklar $45904523\ldots$ diye düzensiz sürer.

Bunun pratik sonucu şudur: $e$ yerine yazılan her ondalık sayı bir yaklaşımdır. Hesaplarda $e \approx 2{,}718$ kullanılır, ama $e = 2{,}718$ yazmak yanlıştır. Buna karşılık $e$'nin girdiği eşitlikler yaklaşık değil tamdır: $\ln e = 1$ eşitliği, $e$'nin kaç basamağını yazdığımızdan bağımsız olarak birebir doğrudur.

Nerelerde kullanılır. $e$ tabanı, bir büyüklüğün sürekli olarak — kesintisiz, her an — değiştiği durumların doğal ölçeğidir. Nüfus ve bakteri artışı, radyoaktif bozunum ve yarı ömür, sıcak bir cismin soğuması, bileşik faiz, olasılık ve istatistikte normal dağılım, mühendislikte bir kondansatörün boşalması — hepsi $e$ tabanlı üstel ifadelerle modellenir. Bu modellerin kurulması ustel-ve-logaritmik-modeller konusunun işidir. $e$'nin niçin bu kadar merkezî olduğu ise ancak türev kavramıyla tam olarak görülür ve ustel-ve-logaritmik-fonksiyonlarin-turevi konusunda ele alınır.

Zenginleştirme. $e$ sayısı nereden geliyor? Klasik yol bileşik faizdir. $1$ TL, yıllık $\%100$ faizle yatırılsın ve faiz yıl içinde $n$ eşit dönemde işletilsin. Her dönemde ana para $\left( 1 + \tfrac{1}{n} \right)$ katına çıktığından yıl sonundaki tutar $\left( 1 + \tfrac{1}{n} \right)^{n}$ olur. $n$ büyüdükçe bu değer şöyle ilerler:

$n$	$1$	$2$	$4$	$12$	$365$	$8760$
$\left( 1 + \tfrac{1}{n} \right)^{n}$	$2$	$2{,}25$	$2{,}4414$	$2{,}6130$	$2{,}7146$	$2{,}7181$

Değerler sürekli artıyor ama sınırsız büyümüyor; belirli bir sayıya yaklaşıyorlar. O sayı $e$'dir:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e$$

$t = \tfrac{1}{n}$ yazılırsa $n \to \infty$ iken $t \to 0$ olur ve aynı sonuç şu biçimde de görülür:

$$\lim_{t \to 0} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}} = e$$

Bu ikinci yazım, ustel-ve-logaritmik-fonksiyonlarin-turevi konusunda bilinen bir sonuç olarak kullanılacaktır. Buradaki faiz hesabı yalnızca $e$'ye giden yoldur; finansal modelleme ustel-ve-logaritmik-modeller konusuna aittir.

Üç gösterim: $\log_a x$, $\log x$, $\ln x$

Bir önceki konuda logaritma her taban için tanımlandı. İki taban o kadar sık kullanılır ki kendi kısaltmaları vardır:

Yazım	Açık hâli	Adı
$\log_a x$	—	$a$ tabanına göre logaritma
$\log x$	$\log_{10} x$	Ondalık logaritma
$\ln x$	$\log_e x$	Doğal logaritma

Bunlar yeni fonksiyon değildir. $\ln x$ ile $\log_e x$ aynı fonksiyonun iki yazımıdır; $\log x$ ile $\log_{10} x$ de öyle. Bir önceki konuda çıkarılan bütün nitel özellikler, tanım ve eşdeğerlikler bu iki yazım için de olduğu gibi geçerlidir.

Bir uyarı. Bazı ileri matematik ve mühendislik kaynaklarında tabansız $\log$ doğal logaritma anlamında kullanılır. Bu sitede ve YKS'de tabansız $\log$ her zaman $10$ tabanıdır; doğal logaritma için yalnızca $\ln$ yazılır.

$f(x) = e^x$ ve $f(x) = \ln x$

$e \approx 2{,}718$ olduğuna ve $e > 1$ olduğuna göre, bu iki fonksiyon üstel ve logaritmik referans fonksiyonların $a > 1$ hâlidir. Nitel özellikleri yeniden hesaplanmaz; o durumdan olduğu gibi devralınır.

Nitel özellik	$f(x) = e^x$	$f(x) = \ln x$
Tanım kümesi	$\mathbb{R}$	$(0,\ \infty)$
Görüntü kümesi	$(0,\ \infty)$	$\mathbb{R}$
İşaret	Her $x$ için pozitif	$x > 1$ pozitif, $0 < x < 1$ negatif
Artanlık–azalanlık	Artan	Artan
Bire birlik	Bire bir	Bire bir
Örtenlik	$(0,\ \infty)$'a örten	$\mathbb{R}$'ye örten

Şekilde $y = e^x$ eğrisi $y = 2^x$ ile $y = 3^x$ arasındadır, çünkü $2 < e < 3$'tür. Üçü de $(0;\,1)$ noktasından geçer.

Ters fonksiyon ilişkisi. $\ln x$, $e^x$ fonksiyonunun tersidir. Bir önceki konudaki iki temel eşitlik bu gösterimde şöyle yazılır:

$$\ln e^{x} = x \quad (x \in \mathbb{R}), \qquad\qquad e^{\ln x} = x \quad (x > 0)$$ $$\ln 1 = 0, \qquad\qquad \ln e = 1$$

Neden böyle: $e$ tabanı için ayrı bir inceleme neden gerekmiyor

Örüntü. $x$'in birkaç değerinde üç taban karşılaştırılır:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$2^x$	$0{,}500$	$1$	$2$	$4$
$e^x$	$0{,}368$	$1$	$2{,}718$	$7{,}389$
$3^x$	$0{,}333$	$1$	$3$	$9$

Her sütunda $e^x$ değeri, $2^x$ ile $3^x$ değerlerinin arasındadır. Üç satır da soldan sağa artmaktadır ve hepsi pozitiftir.

Genelleme. Bu bir tesadüf değildir. Üstel fonksiyonun nitel özellikleri genel bir $a$ tabanı için çıkarılmıştı ve tek ayrım $a > 1$ ile $0 < a < 1$ arasındaydı. $2 < e < 3$ olduğundan $e > 1$'dir; dolayısıyla $a > 1$ için kanıtlanan her sonuç, hiçbir yeni hesap yapılmadan $e$ tabanı için de geçerlidir. Aynı şey $\ln x$ için de geçerlidir, çünkü o da $a > 1$ durumundaki logaritma fonksiyonudur.

Kontrol. Artanlığın gerekçesi $e$ için tekrarlanır. $x_1 < x_2$ ise $t = x_2 - x_1 > 0$'dır ve $e > 1$ olduğundan $e^{t} > 1$'dir:

$$\frac{e^{x_2}}{e^{x_1}} = e^{t} > 1 \quad \Longrightarrow \quad e^{x_2} > e^{x_1}$$

Genel gerekçedeki $a$ yerine $e$ yazmaktan başka bir şey yapılmadı.

Sonuç. $e$, referans fonksiyonun yeni bir türü değil, yalnızca özel bir tabanıdır. Onu ayrıcalıklı kılan şey nitel özellikleri değil, uygulamalardaki yeridir.

Ondalık logaritma ve mertebe

Şekilde $y = \ln x$ ile $y = \log x$ birlikte verilmiştir. İkisi de artandır ve ikisi de $(1;\,0)$ noktasından geçer, ama $\ln x$ daha hızlı yükselir. Bunun nedeni tabanın küçük olmasıdır: aynı yüksekliğe ulaşmak için küçük tabanın daha büyük bir üsse ihtiyacı vardır.

Ondalık logaritmanın somut bir okuması vardır. $10$'un tam kuvvetlerinde değer doğrudan üstür:

$$\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1, \quad \log 100 = 2, \quad \log 1000 = 3, \quad \log \frac{1}{100} = -2$$

Aradaki sayılarda ise değer, sayının kaç basamaklı olduğunu söyler. $N$ sayısı $k$ basamaklı bir doğal sayıysa

$$10^{k-1} \le N < 10^{k}$$

olduğundan $\log N$ değeri $k - 1$ ile $k$ arasındadır. Örneğin $45\,000$ beş basamaklıdır ve $\log 45\,000$ değeri $4$ ile $5$ arasındadır. Bilim ve mühendislikte bir büyüklüğün "mertebesi" bu sayıyla anlatılır.

Hesaplanabilen ve hesaplanamayan değerler

Logaritma değerlerinin çoğu tam sayı değildir; hatta çoğu irrasyoneldir. Elde kalem kâğıtla bulunabilenler belirli biçimlerdir:

Biçim	Sonuç	Örnek
$\ln e^{k}$	$k$	$\ln e^{6} = 6$
$e^{\ln c}$	$c$	$e^{\ln 9} = 9$
$\log 10^{k}$	$k$	$\log 10^{-3} = -3$
$10^{\log c}$	$c$	$10^{\log 7} = 7$
$\log_a a$, $\log_a 1$	$1$, $0$	$\ln e = 1$, $\log 1 = 0$

Buna karşılık $\ln 5$, $\log 3$, $\ln 20$ gibi değerler tam sayı değildir ve kesirli olarak da yazılamaz. Böyle bir değer istendiğinde ya hesap makinesi kullanılır ya da — soru bunu istiyorsa — değer iki tam sayı arasına yerleştirilir. Örneğin $e^{3} \approx 20{,}09$ ve $e^{4} \approx 54{,}60$ olduğundan

$$3 < \ln 30 < 4$$

olduğu hesap makinesi olmadan söylenebilir.