Teğet ve Normal Doğrusunun Denklemi

Bir eğriye çizilen teğetin eğimi, türevin o noktadaki değeridir. Normal ise aynı noktada teğete dik olan doğrudur; ikisi de nokta-eğim biçimiyle yazılır.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir eğriye belirli bir noktasında çizilen teğetin denklemini yazabilir
Normal doğrusunun denklemini teğetin eğimini kullanarak bulabilir
Eğimi verilen bir teğetin değme noktasını belirleyebilir
Eğri üzerinde olmayan bir noktadan çizilen teğetin denklemini bulabilir
Teğetin eksenlerle oluşturduğu şekle ilişkin hesaplar yapabilir

Önce şunları çalış

Bir doğruyu belirleyen iki şey

Bir doğrunun denklemini yazmak için iki bilgi yeterlidir: üzerinde bir nokta ve eğimi. Nokta-eğim biçimi şudur:

y - y_0 = m\big(x - x_0\big)

Teğet probleminde bu iki bilginin ikisi de türevden ve fonksiyondan gelir. Bu yüzden her teğet sorusu aynı üç adıma indirgenir:

Değme noktası: $x = a$ verilmişse ordinat $f(a)$ hesaplanır.
Eğim: $m = f'(a)$ bulunur.
Denklem: $y - f(a) = f'(a)(x-a)$ yazılır.

Teğetin denklemi

\boxed{y - f(a) = f'(a)\big(x - a\big)}

Burada $f(a)$ eğrinin yüksekliği, $f'(a)$ ise eğimidir. İkisini karıştırmak bu konudaki en yaygın hatadır: biri noktayı, diğeri yönü verir.

Normal doğrusu

Normal, eğriye aynı noktada çizilen ve teğete dik olan doğrudur.

Analitik geometriden bilinen kural: birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı $-1$ dir. Teğetin eğimi $f'(a)$ olduğuna göre normalin eğimi:

m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}, \qquad f'(a) \neq 0

y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}\big(x - a\big)

$f'(a) = 0$ olduğunda formül işlemez, çünkü sıfıra bölme çıkar. Bu durumun geometrik karşılığı bellidir: teğet yataysa normal düşeydir.

Durum	Teğet	Normal
$f'(a) \neq 0$	$y - f(a) = f'(a)(x-a)$	$y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)$
$f'(a) = 0$	$y = f(a)$ (yatay)	$x = a$ (düşey)

Eğimi verilen teğet

Bazı sorularda değme noktası değil, teğetin eğimi verilir: "bu eğriye çizilen teğet $y = 3x+5$ doğrusuna paraleldir" gibi.

Paralel doğruların eğimleri eşit olduğuna göre aranan şey $f'(x) = 3$ denklemini sağlayan $x$ değerleridir. Çözüldükten sonra değme noktası ve denklem her zamanki gibi yazılır.

Dikkat: çözülen denklem $f'(x) = m$ dir, $f(x) = m$ değil. Aranan eğimdir, yükseklik değil.

Denklemin birden fazla kökü olabilir; o durumda birden fazla teğet vardır.

Eğri üzerinde olmayan bir noktadan teğet

Verilen nokta eğrinin üzerinde değilse doğrudan formüle yazılamaz, çünkü değme noktası bilinmiyordur.

Yöntem şudur: değme noktasının apsisine $a$ denir ve teğet denklemi $a$ cinsinden yazılır:

y - f(a) = f'(a)\big(x - a\big)

Bu doğrunun verilen $\big(x_1, y_1\big)$ noktasından geçmesi istenir; koordinatlar denklemde yerine konur ve $a$ için çözülür.

y_1 - f(a) = f'(a)\big(x_1 - a\big)

Bu, $a$ cinsinden bir denklemdir. Kaç kök çıkarsa o kadar teğet vardır — dışarıdaki bir noktadan bir eğriye genellikle iki teğet çizilir.

En sık yapılan hata, dışarıdaki noktayı değme noktası sanıp $f'(x_1)$ hesaplamaktır. Verilen nokta eğrinin üzerinde olmadığı için orada bir teğet de yoktur.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$f(x) = x^2 - 3x + 4$ eğrisine $x = 2$ apsisli noktasında çizilen teğetin denklemini bulun.
Üç adım izlenir.

1. Değme noktası. Ordinat hesaplanır:
$f(2) = 4 - 6 + 4 = 2$
Nokta $(2,\,2)$ dir.

2. Eğim. Türev alınır ve $x = 2$ yazılır:
$f'(x) = 2x - 3 \;\Longrightarrow\; f'(2) = 4 - 3 = 1$
3. Denklem. Nokta-eğim biçimi kullanılır:
$y - f(2) = f'(2)\big(x - 2\big)$ $y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$ $y = x$
Kontrol. Doğru $(2,2)$ noktasından geçiyor mu? $y = 2$ için $x = 2$ — evet. Eğimi $1$ mi? Evet.
2Zorluk 3/5
$f(x) = x^2 - 3x + 4$ eğrisine $x = 2$ apsisli noktasında çizilen normalin denklemini bulun.
Değme noktası ve teğetin eğimi önceki örnekte bulunmuştu:
$f(2) = 2, \qquad f'(2) = 1$
Normalin eğimi. Teğete dik olduğu için eğimlerin çarpımı $-1$ olmalıdır:
$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(2)} = -\frac{1}{1} = -1$
Denklem. Aynı noktadan geçer:
$y - 2 = -1 \cdot (x - 2)$ $y = -x + 4$
Diklik kontrolü. Teğetin eğimi $1$ , normalinki $-1$ dir:
$1 \cdot (-1) = -1 \quad \checkmark$
İki doğru gerçekten diktir.
3Zorluk 3/5
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ eğrisine çizilen teğetin eğimi $-4$ olduğuna göre değme noktalarını bulun. $(x \neq 0)$
Verilen şey eğimdir, dolayısıyla $f'(x) = -4$ denklemi kurulur.

Türev.
$f(x) = x^{-1} \;\Longrightarrow\; f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
Denklem.
$-\frac{1}{x^2} = -4$
İki taraf $-1$ ile çarpılır:
$\frac{1}{x^2} = 4 \;\Longrightarrow\; x^2 = \frac{1}{4}$
Karekök alınırken iki kök doğar:
$x = \frac{1}{2} \qquad \text{veya} \qquad x = -\frac{1}{2}$
Ordinatlar.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 2, \qquad f\left(-\frac{1}{2}\right) = -2$
Değme noktaları $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ ve $\left(-\frac{1}{2}, -2\right)$ dir.

Kontrol. $f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{1/4} = -4$ ve $f'\left(-\frac{1}{2}\right) = -4$ tür. İkisi de koşulu sağlıyor — eğri, orijine göre simetrik olduğu için iki nokta çıkması beklenen bir sonuçtur.
4Zorluk 4/5
$y = x^2$ parabolüne, $(0,\,-1)$ noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini bulun.
Önce verilen noktanın eğri üzerinde olup olmadığı kontrol edilir. $x = 0$ için $y = 0$ dır, oysa nokta $(0,-1)$ dir. Nokta eğrinin üzerinde değildir, dolayısıyla değme noktası bilinmiyor demektir.

Değme noktası bilinmeyen alınır. Apsisine $a$ densin; ordinat $a^2$ olur.
$f'(x) = 2x \;\Longrightarrow\; f'(a) = 2a$
Teğet, $a$ cinsinden yazılır.
$y - a^2 = 2a\big(x - a\big)$
Geçme koşulu. Bu doğru $(0,-1)$ noktasından geçmelidir; $x = 0$ , $y = -1$ konur:
$-1 - a^2 = 2a\big(0 - a\big) = -2a^2$
Denklem çözülür.
$-1 - a^2 + 2a^2 = 0 \;\Longrightarrow\; a^2 = 1 \;\Longrightarrow\; a = 1 \ \text{ veya } \ a = -1$
İki değer çıktı, yani iki teğet vardır.

Birinci teğet $(a = 1)$ : değme noktası $(1,1)$ , eğim $2$ dir.
$y - 1 = 2(x-1) \;\Longrightarrow\; y = 2x - 1$
İkinci teğet $(a = -1)$ : değme noktası $(-1,1)$ , eğim $-2$ dir.
$y - 1 = -2(x+1) \;\Longrightarrow\; y = -2x - 1$
Kontrol. İki doğru da $x = 0$ için $y = -1$ verir; ikisi de verilen noktadan geçmektedir.
5Zorluk 4/5
Şekilde $y = \dfrac{4}{x}$ eğrisi ve eğriye $P(2,\,2)$ noktasında çizilen teğet gösterilmiştir.

Bu teğetin eksenlerle oluşturduğu taralı üçgenin alanı kaç birim karedir?
Teğetin denklemi. Önce türev alınır:
$f(x) = 4x^{-1} \;\Longrightarrow\; f'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$ $f'(2) = -\frac{4}{4} = -1$
Değme noktası $(2,2)$ olduğuna göre:
$y - 2 = -1\big(x - 2\big) \;\Longrightarrow\; y = -x + 4$
Eksen kesimleri.

$y$ kesimi için $x = 0$ konur:
$y = 4 \;\Longrightarrow\; (0,\,4)$
$x$ kesimi için $y = 0$ konur:
$0 = -x + 4 \;\Longrightarrow\; x = 4 \;\Longrightarrow\; (4,\,0)$
Şekilde işaretli iki nokta bunlardır.

Alan. Dik kenarları eksenler üzerinde olan bir dik üçgendir:
$A = \frac{1}{2} \cdot \lvert 4 \rvert \cdot \lvert 4 \rvert = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$
Alan $8$ birim karedir.

Not. $\frac{4}{x}$ eğrisinin ilginç bir özelliği vardır: hangi noktada teğet çizilirse çizilsin bu üçgenin alanı hep aynı çıkar. $x = a$ için teğet $y = -\frac{4}{a^2}x + \frac{8}{a}$ olur; kesimler $\frac{8}{a}$ ve $2a$ dır, alan ise $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{a} \cdot 2a = 8$ tir.

Sık yapılan hatalar

$f(a)$ ile $f'(a)$ yerlerini karıştırmak

Hata: Teğet denklemi $y - f'(a) = f(a)(x-a)$ biçiminde yazılır.

Neden yanlış: $f(a)$ eğrinin o noktadaki yüksekliğidir ve doğrunun geçtiği noktayı verir; $f'(a)$ ise eğimdir ve doğrunun yönünü verir. İkisi farklı büyüklüklerdir.

Doğrusu: $y - f(a) = f'(a)(x-a)$ . Türev her zaman parantezin çarpanıdır, sol tarafta değil.

Normalin eğimini $-f'(a)$ sanmak

Hata: Teğetin eğimi $2$ ise normalin eğimi $-2$ alınır.

Neden yanlış: Diklik koşulu eğimlerin çarpımının $-1$ olmasıdır, toplamının sıfır olması değil. $2 \cdot (-2) = -4 \neq -1$ .

Doğrusu: Normalin eğimi $-\dfrac{1}{f'(a)}$ dir. Teğetin eğimi $2$ ise normalinki $-\dfrac{1}{2}$ olur.

Eğim verildiğinde $f(x) = m$ çözmek

Hata: "Teğeti $y = 4x+1$ doğrusuna paralel" denildiğinde $f(x) = 4$ denklemi kurulur.

Neden yanlış: Paralellik eğimlerin eşitliğidir. $f(x)$ yüksekliği, $f'(x)$ eğimi verir; kurulması gereken denklem eğimlerle ilgilidir.

Doğrusu: $f'(x) = 4$ çözülür, çıkan $x$ değerleri değme noktalarının apsisleridir.

Dış noktayı değme noktası sanmak

Hata: Eğri üzerinde olmayan $P\big(x_1,y_1\big)$ noktasından teğet istendiğinde doğrudan $f'(x_1)$ hesaplanır.

Neden yanlış: $P$ eğrinin üzerinde değildir; orada eğriye ait bir teğet tanımlı değildir. $f'(x_1)$ sayısı bu problemde hiçbir şeye karşılık gelmez.

Doğrusu: Değme noktası bilinmeyen kabul edilir ( $x = a$ ), teğet $a$ cinsinden yazılır ve $P$ den geçme koşulundan $a$ bulunur.

$f'(a) = 0$ iken normali yazamamak

Hata: Teğet yatay çıkınca normal için $-\dfrac{1}{0}$ yazılmaya çalışılır ve soru bırakılır.

Neden yanlış: Formül bu durumda tanımsızdır ama geometri tanımsız değildir. Yatay bir doğruya dik olan doğru düşeydir.

Doğrusu: $f'(a) = 0$ ise teğet $y = f(a)$ , normal ise $x = a$ dır.

Formül kartı

\boxed{\;\text{Teğet: } y - f(a) = f'(a)\big(x-a\big) \qquad \text{Normal: } y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}\big(x-a\big)\;}

Soru tipi	Ne yapılır
Nokta verilmiş	$f(a)$ ve $f'(a)$ hesaplanır, formüle konur
Eğim verilmiş	$f'(x) = m$ çözülür, değme noktası bulunur
Paralel doğru verilmiş	Doğrunun eğimi $m$ alınır, $f'(x) = m$ çözülür
Dik doğru verilmiş	$f'(x) = -\dfrac{1}{m}$ çözülür
Dış nokta verilmiş	Teğet $a$ cinsinden yazılır, noktadan geçme koşulu kurulur
$f'(a) = 0$	Teğet $y = f(a)$ , normal $x = a$

Teğetin eksen kesimleri: $y = 0$ konursa $x$ kesimi, $x = 0$ konursa $y$ kesimi bulunur. Eksenlerle oluşan dik üçgenin alanı $\dfrac{1}{2}\lvert x_k \rvert \cdot \lvert y_k \rvert$ dir.

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →