Üstel ve Logaritmik Denklemler

Motor: bire birlik

Bu konuda yeni bir kural öğrenilmez. Denklem çözmeyi mümkün kılan şey, önceki konularda çıkarılmış bir nitel özelliktir: bire birlik.

Birinci konuda $f(x) = a^{x}$ referans fonksiyonunun bire bir olduğu gösterilmişti — artan ya da azalan olduğu için aynı değeri iki kez almaz. Üçüncü konuda aynı şey $f(x) = \log_a x$ için gösterilmişti. Bire birliğin tanımı doğrudan bir çıkarım kuralı verir:

$$a^{u} = a^{v} \quad \Longrightarrow \quad u = v \qquad (a > 0,\ a \neq 1)$$ $$\log_a u = \log_a v \quad \Longrightarrow \quad u = v \qquad (u > 0,\ v > 0)$$

Yanına üçüncü konuda kurulan eşdeğerlik eklenir:

$$\log_a u = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^{b} = u$$

İki kuralın arasındaki fark, bu konunun tamamını belirler. Üsteki kuralın yanında koşul yoktur, çünkü $a^{x}$ her gerçek sayı için tanımlıdır. Logaritmalı kuralın yanında $u > 0$ ve $v > 0$ koşulu vardır, çünkü logaritmanın tanım kümesi $(0,\ \infty)$'dur. Aşağıda görülecek olan yabancı kök sorunu tam olarak bu koşuldan doğar.

Ortak tabana indirgenen üstel denklemler

İki taraf da aynı tabanın kuvveti olarak yazılabiliyorsa iş üsleri eşitlemeye iner. İkinci konudaki $a^{mx} = \left( a^{m} \right)^{x}$ kuralı burada geriye doğru kullanılır.

$$8^{x} = 16^{x-1}$$

Her iki taraf $2$ tabanına indirgenir:

$$\left( 2^{3} \right)^{x} = \left( 2^{4} \right)^{x-1} \quad \Longrightarrow \quad 2^{3x} = 2^{4x - 4}$$

Bire birlik uygulanır:

$$3x = 4x - 4 \quad \Longrightarrow \quad x = 4$$

Sağlama. $8^{4} = 4096$ ve $16^{3} = 4096$'dır.

Bu biçim $f(x) = g(x)$ biçiminin en temiz hâlidir ve grafikte de okunabilir. Aşağıdaki denklem ele alınsın:

$$2^{x} = 2^{4-x}$$

Bire birlik $x = 4 - x$, yani $x = 2$ verir.

Şekilde solda $y = 2^{4-x}$, sağda $y = 2^{x}$ eğrisi vardır. Denklemin kökü, iki eğrinin kesim noktasının apsisidir: $x = 2$, ortak değer $4$. Şekil ayrıca kökün neden tek olduğunu gösterir: biri artan, öteki azalan olan iki eğri en çok bir noktada kesişir.

İndirgenemeyenler: iki tarafın logaritması alınır

Tabanlar ortak bir tabana indirgenemiyorsa bire birlik doğrudan kullanılamaz. Bu durumda iki tarafın da logaritması alınır ve kuvvetin logaritması özelliği üssü aşağı indirir.

$$3^{x} = 7$$

Eşdeğerlik doğrudan yazılabilir:

$$x = \log_3 7$$

Bu bir sonuçtur, yarım kalmış bir işlem değil. $\log_3 7$ bir sayıdır ve denklemin tam çözümüdür. Ondalık değeri isteniyorsa taban değiştirme kuralı kullanılır:

$$x = \log_3 7 = \frac{\ln 7}{\ln 3} \approx \frac{1{,}9459}{1{,}0986} \approx 1{,}771$$

Aynı sonuca iki tarafın doğal logaritmasını alarak da varılır:

$$\ln \left( 3^{x} \right) = \ln 7 \quad \Longrightarrow \quad x \ln 3 = \ln 7 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{\ln 7}{\ln 3}$$

Sağlama. $3^{1{,}771} \approx 7{,}00$'dir.

Bir uyarı. Sağ taraf pozitif değilse denklemin kökü yoktur. $2^{x} = -8$ denklemi çözülmeye çalışılmaz: $2^{x}$ değerleri $(0,\ \infty)$ aralığındadır ve $-8$ bu aralıkta değildir.

Değişken değişimi: $a^{x}$ cinsinden ikinci derece

$4^{x}$ ile $2^{x}$ ayrı iki bilinmeyen değildir: $4^{x} = \left( 2^{2} \right)^{x} = \left( 2^{x} \right)^{2}$'dir. Bu görülünce denklem tanıdık bir ikinci dereceden denkleme iner.

$$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$$

$t = 2^{x}$ yazılır:

$$t^{2} - 5t + 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t - 1)(t - 4) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1 \ \text{ya da} \ t = 4$$

Değişken geri çevrilir:

$$2^{x} = 1 \ \Longrightarrow \ x = 0, \qquad 2^{x} = 4 \ \Longrightarrow \ x = 2$$

$t$'nin işareti sınanır. $t = 2^{x}$ olduğuna göre $t$ her zaman pozitiftir. Bu, çözümün bir adımıdır; şu denklemde işe yarar:

$$4^{x} - 2^{x} - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t^{2} - t - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 3 \ \text{ya da} \ t = -2$$

$t = -2$ atılır, çünkü $2^{x} = -2$ olamaz. Geriye $2^{x} = 3$, yani $x = \log_2 3$ kalır.

Aynı denklem, üç temsil

Yukarıdaki $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ denklemi $f(x) = 0$ biçimindedir ve aynı ilişki üç ayrı temsille okunabilir.

Cebirsel temsil. Değişken değişimiyle iki kök bulundu: $x = 0$ ve $x = 2$.

Tablo temsili. Fonksiyonun birkaç değeri hesaplanır:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$4^{x}$	$\dfrac{1}{4}$	$1$	$4$	$16$	$64$
$5 \cdot 2^{x}$	$\dfrac{5}{2}$	$5$	$10$	$20$	$40$
$f(x)$	$\dfrac{7}{4}$	$0$	$-2$	$0$	$28$

Üçüncü satır $x = 0$ ve $x = 2$'de sıfır olmakta, aralarında negatif değer almaktadır.

Grafik temsili.

Eğri $x$ eksenini tam iki noktada kesmektedir ve bu apsisler cebirsel çözümde bulunan köklerdir. Üç temsil aynı şeyi söyler: değişken değişimindeki iki $t$ değeri, grafikteki iki kesim noktasıdır.

Logaritmalı denklemler: önce tek logaritma

Denklemde birden çok logaritma varsa, beşinci konunun özellikleriyle önce tek logaritma hâline getirilir; sonra eşdeğerlik uygulanır.

$$\log_2 (x - 1) + \log_2 (x + 2) = 2$$

Adım 1 — tanım kümesi yazılır. İki logaritmanın da içi pozitif olmalıdır:

$$x - 1 > 0 \ \text{ve} \ x + 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > 1$$

Adım 2 — tek logaritmaya indirilir. Çarpımın logaritması kullanılır:

$$\log_2 \big( (x-1)(x+2) \big) = 2$$

Adım 3 — eşdeğerlikle çözülür.

$$(x-1)(x+2) = 2^{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad x^{2} + x - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \ \text{ya da} \ x = -3$$

Adım 4 — kökler tanım kümesinde sınanır. $2 > 1$ olduğundan $x = 2$ kabul edilir. $-3$ sayısı $x > 1$ koşulunu sağlamadığından $x = -3$ atılır.

Çözüm kümesi $\{2\}$'dir. Sağlama: $\log_2 1 + \log_2 4 = 0 + 2 = 2$.

Bu konunun tuzağı: yabancı kök

Az önce atılan $x = -3$ rastgele bir hesap hatası değildir. Nereden geldiğini görmek bu konunun en önemli işidir.

Atılan kök, ikinci adımdaki denklemi sağlamaktadır. $x = -3$ için:

$$(x-1)(x+2) = (-4) \cdot (-1) = 4 \quad \Longrightarrow \quad \log_2 4 = 2 \qquad \checkmark$$

Yani $x = -3$, birleştirilmiş denklemin gerçek bir köküdür. Ama başlangıçtaki denklemin kökü değildir, çünkü orada $\log_2(-4)$ ile $\log_2(-1)$ yazmak gerekir ve ikisi de tanımsızdır.

Nedeni tek bir cümledir: birleştirme tanım kümesini genişletir.

$$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$$

Sol taraf $x > 0$ ve $y > 0$ ister. Sağ taraf yalnızca $xy > 0$ ister — ki bu, ikisinin de negatif olduğu durumda da sağlanır. Beşinci konuda bu, kuralın koşulu olarak yazılmıştı; burada sonucu görülmektedir.

Birleştirilmiş denklemin çözüm kümesi, başlangıçtaki denklemin çözüm kümesini kapsar ama ona eşit olmayabilir. Fazladan gelen köklere yabancı kök denir.

	$\log_2(x-1) + \log_2(x+2) = 2$	$\log_2\big((x-1)(x+2)\big) = 2$
Tanım kümesi	$x > 1$	$x < -2$ ya da $x > 1$
Kökler	$2$	$-3$ ve $2$

Bu yüzden kök sınaması çözümün son adımıdır, sonradan yapılan bir kontrol değil. Adım 1'de tanım kümesini yazmak, Adım 4'te sınamayı kolaylaştırır: karşılaştırılacak aralık zaten hazırdır.

Logaritma iki tarafta

İki tarafta da tek logaritma varsa ve tabanlar aynıysa bire birlik doğrudan uygulanır — ama koşuluyla birlikte.

$$\log_3 (2x - 1) = \log_3 (x + 4)$$

Tanım kümesi. $2x - 1 > 0$ ve $x + 4 > 0$, yani $x > \tfrac12$.

Bire birlik. $2x - 1 = x + 4$, yani $x = 5$. $5 > \tfrac12$ olduğundan kök kabul edilir. Sağlama: iki tarafta da $\log_3 9 = 2$.

Burada da yabancı kök çıkabilir:

$$\log_5 (x^{2} - 3) = \log_5 (2x)$$

Tanım kümesi. $2x > 0$ olmalıdır, yani $x > 0$.

Bire birlik. $x^{2} - 3 = 2x$, yani $x^{2} - 2x - 3 = 0$ ve $x = 3$ ya da $x = -1$.

Sınama. $3 > 0$ olduğundan kabul edilir; $x = -1$ atılır, çünkü $2 \cdot (-1) = -2$ negatiftir ve $\log_5(-2)$ tanımsızdır. Sağlama: $x = 3$ için iki tarafta da $\log_5 6$.

Tabanı bilinmeyen denklemler

Bilinmeyen tabanda da olabilir. Bu durumda eşdeğerlik yine işi görür, ama tabanın koşulu sınamaya eklenir: taban pozitif ve $1$'den farklı olmalıdır.

$$\log_x 16 = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad x^{2} = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \ \text{ya da} \ x = -4$$

$x = -4$ atılır, çünkü taban negatif olamaz. Çözüm $x = 4$'tür.

İkinci bir örnek:

$$\log_x 8 = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x^{3} = 8 \quad \Longrightarrow \quad x = 2$$

Burada üçüncü dereceden kök tek olduğundan eleme gerekmez, ama $x = 2$'nin pozitif ve $1$'den farklı olduğu yine de görülür.

Bilinmeyen $\log_a x$ olduğunda

Yukarıda $t = a^{x}$ yazarak üstel ifadeyi bilinmeyen yapmıştık. Bunun aynadaki eşi de vardır: bazı denklemlerde bilinmeyen $x$ değil $\log_a x$'tir. Üç farklı görünüm aynı hamleye iner; $u = \log_a x$ yazılır, $u$ bulunur, sonra $x$'e dönülür.

Önce bir uyarı — işaret kısıtı burada yoktur. $t = a^{x}$ değişken değişiminde $t > 0$ koşulunu sınamak zorundaydık, çünkü üstel fonksiyonun görüntü kümesi $(0,\ \infty)$'dur. $u = \log_a x$ için böyle bir kısıt yoktur: logaritma fonksiyonunun görüntü kümesi $\mathbb{R}$'dir, yani $u$ negatif de olabilir. Bir önceki bölümün refleksiyle negatif $u$ köklerini atmak bu konudaki en pahalı hatalardan biridir.

Birinci görünüm — logaritma cinsinden ikinci derece. Bilinmeyen zaten $\log_2 x$ olarak görünmektedir:

$$\left( \log_2 x \right)^{2} - 2 \log_2 x - 8 = 0$$

$u = \log_2 x$ yazılır:

$$u^{2} - 2u - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (u - 4)(u + 2) = 0 \quad \Longrightarrow \quad u = 4 \ \text{ya da} \ u = -2$$

Geri dönülür:

$$\log_2 x = 4 \ \Longrightarrow \ x = 16, \qquad \log_2 x = -2 \ \Longrightarrow \ x = \frac{1}{4}$$

İkisi de geçerlidir. $u = -2$ kökü atılmaz; atılsaydı $x = \tfrac{1}{4}$ kaybedilirdi. Sınama: $\log_2 \tfrac{1}{4} = -2$'dir ve $(-2)^{2} - 2 \cdot (-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$'dır. Pozitif olması gereken $x$'tir, ve $\tfrac{1}{4} > 0$'dır.

İkinci görünüm — taban ile içerideki sayı yer değiştiriyor. Aynı denklemde hem $\log_2 x$ hem $\log_x 2$ bulunmaktadır:

$$\log_2 x + \log_x 2 = \frac{5}{2}$$

İkisi ayrı bilinmeyen değildir. logaritmanin-ozellikleri konusunda taban değiştirmeden çıkarılan sonuç doğrudan uygulanır:

$$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$$

Tanım kümesi. $\log_x 2$ yazılabilmesi için $x > 0$ ve $x \neq 1$ olmalıdır; $x \neq 1$ koşulu aynı zamanda $u \neq 0$ demektir, yani $\dfrac{1}{u}$ ifadesi tanımlıdır.

$u = \log_2 x$ yazılır ve payda eşitlenir:

$$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2} \quad \Longrightarrow \quad 2u^{2} - 5u + 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad u = 2 \ \text{ya da} \ u = \frac{1}{2}$$

Geri dönülür:

$$\log_2 x = 2 \ \Longrightarrow \ x = 4, \qquad \log_2 x = \frac{1}{2} \ \Longrightarrow \ x = \sqrt2$$

Sınama. $x = 4$ için $\log_2 4 = 2$ ve $\log_4 2 = \tfrac{1}{2}$; toplamları $\tfrac{5}{2}$'dir. $x = \sqrt2$ için $\log_2 \sqrt2 = \tfrac{1}{2}$ ve $\log_{\sqrt2} 2 = 2$; toplamları yine $\tfrac{5}{2}$'dir. İki kök, iki terimin değerlerini birbiriyle takas etmektedir — bu, iki ifadenin birbirinin tersi olmasının doğrudan sonucudur.

Üçüncü görünüm — logaritma üste çıkıyor. Bilinmeyen hem tabanda hem üstte görünmektedir:

$$x^{\log_2 x} = 16 \qquad (x > 0)$$

Burada ne üsler eşitlenebilir ne de değişken doğrudan yalnız bırakılabilir. Yapılacak şey iki tarafın logaritmasını almaktır; iki taraf da pozitif olduğundan bu adım geçerlidir:

$$\log_2 \left( x^{\log_2 x} \right) = \log_2 16 = 4$$

Kuvvetin logaritması uygulanır — üs, logaritmanın önüne çarpan olarak çıkar:

$$\log_2 x \cdot \log_2 x = 4 \quad \Longrightarrow \quad \left( \log_2 x \right)^{2} = 4$$

Yani denklem birinci görünüme indi. $u = \log_2 x$ ile:

$$u^{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad u = 2 \ \text{ya da} \ u = -2$$ $$\log_2 x = 2 \ \Longrightarrow \ x = 4, \qquad \log_2 x = -2 \ \Longrightarrow \ x = \frac{1}{4}$$

Sınama. $x = 4$ için $\log_2 4 = 2$ ve $4^{2} = 16$ ✓. $x = \tfrac{1}{4}$ için $\log_2 \tfrac{1}{4} = -2$ ve $\left( \tfrac{1}{4} \right)^{-2} = 16$ ✓. Negatif kökü atmak burada bir kökü kaybetmek olurdu.

Ortak nokta. Üçünde de $x$'e ancak $\log_a x$ bulunduktan sonra ulaşıldı. Denklemde logaritma hem tabanda hem içeride, hem de üste yerleşmiş olabilir; soru "hangi sayı $x$'tir" değil, önce "hangi sayı $\log_a x$'tir" sorusudur.

Bağlamlı denklemler

Aşağıdaki iki bağlamda model verilmiştir; yapılacak iş, modeldeki bilinmeyeni çözmektir. Modeli kurmak dokuzuncu konunun işidir.

Deprem şiddeti. Bir depremin Richter büyüklüğü, saldığı enerjinin yeryüzündeki en küçük ölçülebilir sarsıntıya oranıyla verilir:

$$M = \log_{10} \frac{I}{I_0}$$

Büyüklüğü $7$ olan bir deprem, büyüklüğü $4$ olandan kaç kat şiddetlidir? İki büyüklük ayrı ayrı yazılır:

$$\log_{10} \frac{I_1}{I_0} = 7, \qquad \log_{10} \frac{I_2}{I_0} = 4$$

Eşdeğerlik uygulanır: $I_1 = 10^{7} I_0$ ve $I_2 = 10^{4} I_0$. Oran alınır:

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^{7}}{10^{4}} = 10^{3} = 1000$$

Büyüklükteki $3$ birimlik fark, şiddette $1000$ katlık farka karşılık gelmektedir. Ölçeğin logaritmik olması tam olarak bu demektir.

Asitlik. Bir çözeltinin pH değeri, hidrojen iyonu derişimiyle verilir:

$$\mathrm{pH} = -\log_{10} \left[ \mathrm{H}^{+} \right]$$

pH değeri $4$ olan bir çözeltide derişim nedir? Denklem yazılır:

$$-\log_{10} \left[ \mathrm{H}^{+} \right] = 4 \quad \Longrightarrow \quad \log_{10} \left[ \mathrm{H}^{+} \right] = -4$$

Eşdeğerlik uygulanır:

$$\left[ \mathrm{H}^{+} \right] = 10^{-4} \ \text{mol/L}$$

Buradan ölçeğin bir okuması da çıkar: derişim $10$ kat artarsa logaritma $1$ artar, yani pH $1$ azalır.

Çözümün dört adımı

Logaritmalı bir denklemde sıra her zaman aynıdır:

1. Tanım kümesi yazılır. Her logaritmanın içi pozitif olmalıdır; taban bilinmeyense taban koşulu da eklenir.
2. Tek logaritmaya indirilir ya da iki taraf aynı tabanda tek logaritma hâline getirilir.
3. Eşdeğerlik ya da bire birlik uygulanır ve çıkan denklem çözülür.
4. Kökler tanım kümesinde sınanır; dışarıda kalanlar atılır.

Üstel denklemlerde tanım kümesi sorunu yoktur, ama üç şey sınanır: sağ tarafın pozitifliği, değişken değişimi yapıldıysa $t > 0$ koşulu, ve bulunan kökün denklemi sağladığı.