Logaritma Fonksiyonu

Hazır bulunuşluk: ters fonksiyon

Bu konunun tamamı ters fonksiyon kavramına dayanır. Kavram 10. sınıftan gelmektedir; aşağıda bu konuda kullanılacak kadarıyla toplanmıştır.

Ne zaman vardır. $f : A \to B$ fonksiyonunun tersi ancak $f$ bire bir ve örten ise vardır. Bire bir olmazsa bir çıktıya iki girdi karşılık gelir ve geri dönüş belirsizleşir; örten olmazsa değer kümesinin bazı elemanlarından geri dönülecek girdi bulunmaz.

Ne yapar. Ters fonksiyon, $f$'nin yaptığı eşlemeyi geri çevirir:

$$f(x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x$$

Kümeler yer değiştirir. $f : A \to B$ ise $f^{-1} : B \to A$'dır. Yani $f$'nin görüntü kümesi, $f^{-1}$'in tanım kümesi olur.

Nasıl bulunur. $y = f(x)$ yazılır, $x$ ile $y$ yer değiştirilir, sonra $y$ yalnız bırakılır. Örnek olarak $f(x) = 2x + 3$ alınsın:

$$y = 2x + 3 \quad \longrightarrow \quad x = 2y + 3 \quad \longrightarrow \quad y = \frac{x - 3}{2}$$ $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

Grafikler simetriktir. Değişkenlerin yer değiştirmesi, düzlemde $(p;\,q)$ noktasını $(q;\,p)$ noktasına götürür. Bu iki nokta $y = x$ doğrusuna göre simetriktir; dolayısıyla $f$ ile $f^{-1}$'in grafikleri de $y = x$ doğrusuna göre simetriktir.

Üstel fonksiyonun tersi var mı

Bir önceki konularda üstel fonksiyonun iki nitel özelliği gösterilmişti:

$$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \qquad f(x) = a^x \qquad (a > 0,\ a \neq 1)$$

fonksiyonu bire bir ve örtendir. Bu, ters fonksiyonun varlık koşulunun tamamıdır. O hâlde $f^{-1}$ vardır ve kümeler yer değiştirir:

$$f^{-1} : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$$

Bu satır, aşağıda bulunacak fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini daha onu yazmadan vermektedir. Geriye kuralını bulmak kalıyor.

Değişkenlerin yer değiştirmesi

Ters fonksiyon bulma yöntemi olduğu gibi uygulanır. $a = 2$ alınsın:

$$y = 2^x \quad \longrightarrow \quad x = 2^y$$

Şimdi $y$ yalnız bırakılmalıdır. Ama burada bir tıkanma vardır: elimizdeki işlemlerin hiçbiri üssü yalnız bırakmıyor. Toplama, çarpma, kuvvet alma ve kök alma tabanı ya da sonucu yalnız bırakabilir; üssü değil.

Sorunun kendisi açık: $x = 2^y$ eşitliğinde soru "$2$'nin hangi kuvveti $x$ eder?" sorusudur. Örneğin $x = 8$ için cevap $y = 3$'tür; $x = \tfrac{1}{4}$ için $y = -2$'dir. Yani cevap her pozitif $x$ için vardır ve tektir — bunu üstel fonksiyonun bire bir ve örten olması garanti eder.

Var olan ama adı olmayan bir işlemle karşı karşıyayız. Yapılacak şey, önce onu tablo ve grafikle tanımak, sonra adlandırmaktır.

Tablo

$f(x) = 2^x$ fonksiyonunun değerleri yazılır:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$

Ters fonksiyonun tablosu, bu tablonun iki satırının yer değiştirmesiyle elde edilir:

$x$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$f^{-1}(x)$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

İkinci tablo, birinci tabloda okunan her eşlemenin tersini gösterir: $2^3 = 8$ olduğu için $f^{-1}(8) = 3$'tür.

İki tablo yan yana okunduğunda üç şey görülür. Girdiler artık yalnızca pozitif sayılardır. Çıktılar negatif de olabilmektedir. Ve girdiler büyürken çıktılar da büyümektedir — yani ters fonksiyon da artandır.

Grafik ve $y = x$ doğrusuna göre simetri

Tablodaki nokta çiftleri düzleme taşınırsa, her $(p;\,q)$ noktasının karşısında $(q;\,p)$ noktası bulunur.

Üstteki eğri $y = 2^x$'tir ve $y$ eksenini $(0;\,1)$ noktasında keser. Alttaki eğri onun tersidir ve $x$ eksenini $(1;\,0)$ noktasında keser — aynı çiftin yer değiştirmiş hâli. İki eğri arasındaki ince doğru $y = x$'tir; her eğri, ötekinin bu doğruya göre yansımasıdır.

Grafikte ters fonksiyonun nitel özellikleri de doğrudan okunur: eğri yalnızca $y$ ekseninin sağındadır (tanım kümesi pozitif sayılar), yukarı ve aşağı sınırsızdır (görüntü kümesi bütün gerçek sayılar) ve soldan sağa yükselir.

Yeni fonksiyonun adı: $\log_a x$

Artık adlandırılabilir. $a > 0$ ve $a \neq 1$ olmak üzere:

$x > 0$ sayısının $a$ tabanına göre logaritması, $a^y = x$ eşitliğini sağlayan tek $y$ sayısıdır ve $\log_a x$ ile gösterilir.

Böylece üstel fonksiyonun ters fonksiyonu yazılmış olur:

$$f^{-1} : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, \qquad f^{-1}(x) = \log_a x$$

Bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir ve logaritmik fonksiyonlar ailesinin referans fonksiyonudur.

Eşdeğerlik. Tanımın doğrudan sonucu olarak, aynı bilgi iki biçimde yazılabilir:

$$a^b = c \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a c = b \qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ c > 0)$$

Soldaki üslü yazım, sağdaki logaritmik yazımdır. İkisi arasında geçiş yapmak bu konunun en çok kullanılan işlemidir:

$$2^5 = 32 \ \Longleftrightarrow \ \log_2 32 = 5, \qquad 3^{-2} = \frac{1}{9} \ \Longleftrightarrow \ \log_3 \frac{1}{9} = -2$$

İki temel eşitlik. Ters fonksiyonun tanımından ($f^{-1}(f(x)) = x$ ve $f(f^{-1}(x)) = x$) doğrudan çıkarlar:

$$\log_a a^x = x \quad (x \in \mathbb{R}), \qquad\qquad a^{\log_a x} = x \quad (x > 0)$$

İki özel değer. $a^0 = 1$ ve $a^1 = a$ eşitlikleri logaritmik yazıma çevrilirse:

$$\log_a 1 = 0, \qquad\qquad \log_a a = 1$$

Nitel özellikler

Özellikler, üstel fonksiyonun bilinen özelliklerinden ters fonksiyon ilişkisi yoluyla çıkarılır; hiçbiri yeniden hesaplanmaz. Sıra her zamanki gibidir.

Şekilde $y = \log_2 x$ ve $y = \log_{1/2} x$ birlikte verilmiştir. İkisi de $(1;\,0)$ noktasından geçer.

Tanım kümesi. $(0,\ \infty)$'dur. Bu, üstel fonksiyonun görüntü kümesidir: ters fonksiyonda kümeler yer değiştirdiği için üstelin çıktı kümesi logaritmanın girdi kümesi olur. Ayrıca hesaplamaya gerek yoktur — negatif sayıların ve sıfırın logaritması yoktur, çünkü $a^y$ hiçbir zaman negatif ya da sıfır olmaz.

Görüntü kümesi. $\mathbb{R}$'dir. Bu da üstel fonksiyonun tanım kümesidir. Yani logaritma her gerçek değeri alır; büyük negatif değerler de alır.

İşaret. Referans noktası $\log_a 1 = 0$'dır; işaret $x = 1$'de değişir.

	$0 < x < 1$	$x = 1$	$x > 1$
$a > 1$	Negatif	$0$	Pozitif
$0 < a < 1$	Pozitif	$0$	Negatif

Gerekçesi eşdeğerliktedir: $a > 1$ için $\log_a x > 0$ olması, $x > a^0 = 1$ olması demektir.

Artanlık–azalanlık.

$$a > 1 \ \Longrightarrow\ \text{artan}, \qquad\qquad 0 < a < 1 \ \Longrightarrow\ \text{azalan}$$

Bu, üstel fonksiyondaki durumun aynısıdır ve tesadüf değildir: ters fonksiyon monotonluğu korur. Gerekçesi bir sonraki başlıktadır.

Bire birlik. Bire birdir. Bir fonksiyonun tersi de bire birdir, çünkü $f^{-1}$'in tersi yine $f$'dir ve bir fonksiyonun tersi varsa o fonksiyon bire birdir. Cebirsel karşılığı:

$$\log_a x_1 = \log_a x_2 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = x_2$$

Örtenlik. $f^{-1} : (0,\ \infty) \to \mathbb{R}$ olarak alındığında örtendir: her gerçek sayı bir pozitif sayının logaritmasıdır. Bunun gerekçesi de üstel fonksiyonun tanım kümesinin $\mathbb{R}$ olmasıdır.

Neden böyle: ters fonksiyon monotonluğu neden koruyor

Örüntü. Yukarıdaki iki tablo yan yana okunur. Üstel fonksiyonun tablosunda girdiler $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ artarken çıktılar $\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ artmaktadır. Satırlar yer değiştirince yeni girdiler $\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ artan, yeni çıktılar $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ yine artan olur. Artanlık kaybolmamıştır.

Genelleme. $f$ artan ve bire bir olsun. $y_1 < y_2$ alınsın ve $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$ yazılsın. Amaç $x_1 < x_2$ olduğunu göstermektir.

Tersini varsayalım: $x_1 \ge x_2$ olsun. $f$ artan olduğundan bu durumda $f(x_1) \ge f(x_2)$, yani $y_1 \ge y_2$ olurdu. Bu, başlangıçtaki $y_1 < y_2$ varsayımıyla çelişir. O hâlde $x_1 < x_2$'dir ve $f^{-1}$ artandır.

Aynı akıl yürütme azalan fonksiyonlar için tekrarlanırsa $f^{-1}$'in de azalan olduğu bulunur.

Kontrol. $a = \tfrac{1}{2}$ ile sınanır. $\left( \tfrac{1}{2} \right)^x$ azalandır; tersi olan $\log_{1/2} x$ de azalan çıkmalıdır:

$$\log_{1/2} \frac{1}{4} = 2, \qquad \log_{1/2} 1 = 0, \qquad \log_{1/2} 4 = -2$$

Girdiler $\tfrac{1}{4} < 1 < 4$ artarken çıktılar $2 > 0 > -2$ azalmaktadır. Genelleme doğrulanmıştır.

Sonuç. Logaritma fonksiyonunun monotonluğu ayrıca incelenmez; tabanı aynı olan üstel fonksiyonunkinden devralınır.

Grafik $y$ eksenine değmez

Logaritmik grafik, $x$ değerleri sıfıra yaklaşırken $y$ eksenine giderek yaklaşır ama ona hiçbir zaman değmez. İki gerekçesi vardır ve ikisi de yukarıdaki özelliklerin doğrudan okunmasıdır:

• Tanım kümesi $(0,\ \infty)$ olduğundan $x = 0$ noktasında fonksiyon tanımlı değildir; eğri o apsiste bir noktaya sahip olamaz.
• Görüntü kümesi $\mathbb{R}$ olduğundan değerler aşağı doğru sınırsızdır; eğri bir yükseklikte durup kesilmez.

Sayısal olarak görülür: $\log_2 \tfrac{1}{1024} = -10$ ve $\log_2 \tfrac{1}{1\,048\,576} = -20$'dir. Girdi sıfıra yaklaştıkça çıktı sınırsız küçülür.

Bu davranış, üstel fonksiyondaki davranışın $y = x$ doğrusuna göre yansımasıdır: orada grafik $x$ eksenine yaklaşıp değmiyordu. Kesin incelenişi sonsuzda-limit-ve-asimptotlar konusuna aittir.

Matematik tarihinden

John Napier (1550–1617), İskoç matematikçi. 1614'te yayımladığı Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ile logaritma cetvellerini matematiğe kazandırdı. Logaritma sözcüğü de ona aittir; Yunanca logos (oran) ve arithmos (sayı) sözcüklerinden türetilmiştir. Amacı astronomi hesaplarındaki büyük çarpmaları toplamaya indirgemekti — logaritmanın işlem özellikleri logaritmanin-ozellikleri konusunda ele alınacaktır.

Gelenbevi İsmail Efendi (1730–1791), Osmanlı matematikçisi ve müderrisi. 1787'de bir Fransız mühendisin Osmanlı sarayına sunduğu logaritma cetvellerini açıklamak üzere Şerh-i Cedâvili'l-ensâb adlı risaleyi yazdı; logaritma Osmanlı matematik literatürüne bu çalışmayla girdi. Mühendishane-i Bahrî-i Hümâyun'da (Deniz Mühendishanesi) matematik dersleri verdi.