Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Motor değişiyor: bire birlikten monotonluğa

Yedinci konuda denklem çözmenin dayanağı bire birlikti:

$$a^{u} = a^{v} \quad \Longrightarrow \quad u = v$$

Orada tabanın $1$'in hangi yanında olduğu hiç sorulmadı. Bire birlik $a = 2$ için de $a = \tfrac12$ için de aynı biçimde işledi.

Eşitsizlikte durum değişir. Artık iki değerin eşit olup olmadığı değil, hangisinin büyük olduğu sorulmaktadır; bunu belirleyen nitel özellik de bire birlik değil artanlık–azalanlıktır. Birinci ve üçüncü konularda bu özellik şöyle çıkarılmıştı:

Referans fonksiyon	$a > 1$	$0 < a < 1$
$f(x) = a^{x}$	Artan	Azalan
$f(x) = \log_a x$	Artan	Azalan

Artan bir fonksiyon sıralamayı korur, azalan bir fonksiyon ters çevirir. Bu iki cümle doğrudan çözüm kurallarını verir:

$$a > 1 \ \text{ise} \quad a^{u} < a^{v} \iff u < v \qquad\qquad 0 < a < 1 \ \text{ise} \quad a^{u} < a^{v} \iff u > v$$ $$a > 1 \ \text{ise} \quad \log_a u < \log_a v \iff u < v \qquad\qquad 0 < a < 1 \ \text{ise} \quad \log_a u < \log_a v \iff u > v$$

Logaritmalı satırda ayrıca $u > 0$ ve $v > 0$ gerekir; üstel satırda böyle bir koşul yoktur.

Bu konunun tamamı bu tablodan çıkar. Yedinci konuda tabanın $1$'e göre yeri önemsizdi; burada her şeyi o belirliyor.

Neden yön değişiyor

Örüntü. Taban $\tfrac12$ alınsın ve değerler sırayla yazılsın:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$\left( \tfrac12 \right)^{x}$	$4$	$2$	$1$	$\dfrac12$	$\dfrac14$

Üst satır soldan sağa büyürken alt satır küçülmektedir. Yani büyük değer, küçük üste karşılık gelir. İki üs karşılaştırıldığında sıralama tersine döner:

$$\left( \tfrac12 \right)^{u} < \left( \tfrac12 \right)^{v} \quad \Longleftrightarrow \quad u > v$$

Kontrol. $u = 2$ ve $v = -1$ alınsın: $\left( \tfrac12 \right)^{2} = \tfrac14$ ve $\left( \tfrac12 \right)^{-1} = 2$'dir. Gerçekten $\tfrac14 < 2$ iken $2 > -1$'dir.

Şekil aynı şeyi bir bakışta gösterir. Yatay $y = 4$ doğrusu iki eğriyi de keser. Yükselen eğride $2^{x} > 4$ olması için sağa gitmek gerekir, yani $x > 2$; alçalan eğride $\left( \tfrac12 \right)^{x} > 4$ olması için sola gitmek gerekir, yani $x < -2$. Eşik aynı, yön zıt.

Yapısal fark: tanım kümesi artık sınama değil, kesişim

Yedinci konuda logaritmalı bir denklemin sonlu sayıda kökü bulunuyor ve her biri tek tek tanım kümesinde sınanıyordu. Eşitsizlikte sınanacak sonlu bir liste yoktur: çözüm bir aralıktır. Tanım kümesiyle ilişki bu yüzden bir sınama değil, bir kesişimdir:

$$\text{çözüm kümesi} = \{ \text{eşitsizliği sağlayanlar} \} \cap \{ \text{tanım kümesi} \}$$

Tanım kümesi baştan yazılır. Sona bırakılırsa öğrenci hangi ucu atacağını bilemez, çünkü elinde tek tek sınayacağı sayı yoktur, bir aralık vardır.

Kesişimin çözümü gerçekten daralttığı bir örnek:

$$\log_5 (x - 1) + \log_5 (x + 3) \le 1$$

Adım 1 — tanım kümesi. İki logaritmanın da içi pozitif olmalıdır:

$$x - 1 > 0 \ \text{ve} \ x + 3 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > 1$$

Adım 2 — tek logaritmaya indirilir.

$$\log_5 \big( (x-1)(x+3) \big) \le 1$$

Adım 3 — monotonluk uygulanır. Taban $5 > 1$ olduğundan yön korunur:

$$(x-1)(x+3) \le 5^{1} \quad \Longrightarrow \quad x^{2} + 2x - 8 \le 0 \quad \Longrightarrow \quad (x+4)(x-2) \le 0 \quad \Longrightarrow \quad -4 \le x \le 2$$

Adım 4 — kesişim alınır.

$$[-4,\ 2] \ \cap \ (1,\ \infty) = (1,\ 2]$$

Kesişim, ham çözümün beşte dördünü atmıştır. Tanım kümesi yazılmasaydı cevap $[-4,\ 2]$ olurdu ve bu aralıktaki $x = 0$ gibi bir sayı için $\log_5(-1)$ yazmak gerekirdi.

Uç noktalara dikkat. Sağ uç $2$ kapalıdır, çünkü eşitsizlik $\le$'dir ve $x = 2$ tanım kümesindedir: $\log_5 1 + \log_5 5 = 0 + 1 = 1$. Sol uç $1$ ise açıktır — eşitsizlikten değil, tanım kümesinden gelmektedir.

Ortak tabana indirgeme

İki taraf da aynı tabanın kuvveti olarak yazılabiliyorsa üsler karşılaştırılır; yönü taban belirler.

Taban $1$'den büyükken.

$$2^{3x - 1} \le 32 = 2^{5} \quad \Longrightarrow \quad 3x - 1 \le 5 \quad \Longrightarrow \quad x \le 2$$

Çözüm kümesi $(-\infty,\ 2]$'dir. Sağlama: $x = 2$ için $2^{5} = 32$; $x = 3$ için $2^{8} = 256 > 32$.

Taban $1$'den küçükken.

$$\left( \frac13 \right)^{x + 2} > \frac19 = \left( \frac13 \right)^{2}$$

Taban $\tfrac13 < 1$ olduğundan yön döner:

$$x + 2 < 2 \quad \Longrightarrow \quad x < 0$$

Çözüm kümesi $(-\infty,\ 0)$'dır. Sağlama: $x = -1$ için $\left( \tfrac13 \right)^{1} = \tfrac13 > \tfrac19$; $x = 1$ için $\left( \tfrac13 \right)^{3} = \tfrac{1}{27} < \tfrac19$.

İki tarafta da değişken varken.

$$\left( \frac25 \right)^{2x} \ge \left( \frac25 \right)^{x + 3}$$

Taban $1$'den küçüktür, yön döner:

$$2x \le x + 3 \quad \Longrightarrow \quad x \le 3$$

Sağ taraf tabanın kuvveti değilse

Bu durumda iki tarafın logaritması alınır. Yön çevrilmesi burada ikinci bir yerden gelir ve görmesi kolaydır.

$$2^{x} < 10$$

İki tarafın da doğal logaritması alınır. $\ln$ artan olduğundan yön korunur:

$$x \ln 2 < \ln 10$$

$\ln 2 > 0$ olduğundan bölmede yön yine korunur:

$$x < \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3{,}322$$

Şimdi tabanı $1$'den küçük bir örnek:

$$\left( \frac34 \right)^{x} < \frac{1}{10}$$ $$x \ln \frac34 < \ln \frac{1}{10}$$

Burada $\ln \tfrac34 \approx -0{,}2877$ negatiftir. Negatif bir sayıya bölerken eşitsizliğin yönü döner:

$$x > \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}75} \approx \frac{-2{,}3026}{-0{,}2877} \approx 8{,}00$$

Yön çevrilmesinin iki yüzü aynıdır. Birinci bölümdeki tablo "taban $1$'den küçükse yön döner" der; burada aynı olay "$\ln a$ negatiftir, negatife bölünür" biçiminde görünür. $0 < a < 1$ olması ile $\ln a < 0$ olması aynı şeydir.

Değişken değişimi

$t = a^{x}$ dönüşümü eşitsizlikte de çalışır, ama iki kez dikkat gerekir: $t > 0$ kısıtı ve geri dönüşteki yön.

$$4^{x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 < 0$$

$t = 2^{x}$ yazılır ($t > 0$):

$$t^{2} - 6t + 8 < 0 \quad \Longrightarrow \quad (t - 2)(t - 4) < 0 \quad \Longrightarrow \quad 2 < t < 4$$

$t > 0$ koşulu zaten sağlanmaktadır. Geri dönülür; taban $2 > 1$ olduğundan yön korunur:

$$2 < 2^{x} < 4 \quad \Longrightarrow \quad 2^{1} < 2^{x} < 2^{2} \quad \Longrightarrow \quad 1 < x < 2$$

Şimdi tabanı $1$'den küçük bir örnek — burada iki uyarı da işe yarar.

$$\left( \frac13 \right)^{2x} - 4 \left( \frac13 \right)^{x} + 3 \ge 0$$

Katsayılar, ustel-ve-logaritmik-denklemler konusunda çözülen $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ denklemiyle bilerek aynı bırakılmıştır. Değişen yalnızca iki şey var: taban $3$ yerine $\tfrac13$, ve eşitlik yerine eşitsizlik. Böylece tabanın $1$'in hangi yanında olduğunun tek başına ne değiştirdiği görülebilir.

$t = \left( \tfrac13 \right)^{x}$ yazılır ($t > 0$):

$$t^{2} - 4t + 3 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-1)(t-3) \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad t \le 1 \ \text{ya da} \ t \ge 3$$

$t > 0$ kısıtı burada iş görür: birinci parça $t \le 1$ değil, $0 < t \le 1$ olur. İkinci parça olduğu gibi kalır.

Geri dönülür. Taban $\tfrac13 < 1$ olduğundan her iki dönüşte de yön döner:

$$0 < \left( \tfrac13 \right)^{x} \le 1 = \left( \tfrac13 \right)^{0} \quad \Longrightarrow \quad x \ge 0$$ $$\left( \tfrac13 \right)^{x} \ge 3 = \left( \tfrac13 \right)^{-1} \quad \Longrightarrow \quad x \le -1$$

Çözüm kümesi iki parçalıdır:

$$(-\infty,\ -1] \ \cup \ [0,\ \infty)$$

Karşılaştırma. Denklem hâlinde kökler $x = 0$ ve $x = 1$'di. Burada sınırlar $x = 0$ ve $x = -1$ oldu: taban tersine çevrilince ikinci sınır işaret değiştirdi. Ayrıca cevap bir aralık değil iki aralığın birleşimi çıktı, çünkü $\ge$ işareti parabolün kollarını istiyor, arasını değil.

Sağlama. $x = -1$ için $9 - 12 + 3 = 0 \ge 0$ ✓; $x = 0$ için $1 - 4 + 3 = 0 \ge 0$ ✓; aradaki $x = -\tfrac12$ için $3 - 4\sqrt3 + 3 \approx -0{,}93 < 0$ ✗ — aralığın dışı gerçekten sağlamamaktadır.

Logaritmalı eşitsizlikler

Sıra denklemdekiyle aynıdır, yalnız üçüncü adımda eşitlik yerine monotonluk kullanılır ve dördüncü adım sınama değil kesişimdir.

$$\log_3 (x - 2) < 2$$

Tanım kümesi. $x - 2 > 0$, yani $x > 2$.

Monotonluk. Taban $3 > 1$, yön korunur:

$$x - 2 < 3^{2} = 9 \quad \Longrightarrow \quad x < 11$$

Kesişim. $(-\infty,\ 11) \cap (2,\ \infty) = (2,\ 11)$.

Aynı eşitsizliğin tabanı $1$'den küçük hâli:

$$\log_{1/3} (x - 2) < 2$$

Tanım kümesi yine $x > 2$'dir. Taban $\tfrac13 < 1$ olduğundan yön döner:

$$x - 2 > \left( \frac13 \right)^{2} = \frac19 \quad \Longrightarrow \quad x > \frac{19}{9}$$

Kesişim. $\left( \tfrac{19}{9},\ \infty \right) \cap (2,\ \infty)$. Burada $\tfrac{19}{9} \approx 2{,}11 > 2$ olduğundan kesişim $\left( \tfrac{19}{9},\ \infty \right)$'dur; bu kez daraltmayı eşitsizlik yapmıştır, tanım kümesi değil.

İki logaritma karşılaştırma

İki tarafta da tek logaritma varsa ve tabanlar aynıysa içler karşılaştırılır; yönü yine taban belirler, tanım kümesi yine kesiştirilir.

$$\log_2 x < \log_2 (2x - 8)$$

Tanım kümesi. $x > 0$ ve $2x - 8 > 0$; ikisinin kesişimi $x > 4$'tür.

Monotonluk. Taban $2 > 1$, yön korunur:

$$x < 2x - 8 \quad \Longrightarrow \quad x > 8$$

Kesişim. $(8,\ \infty) \cap (4,\ \infty) = (8,\ \infty)$.

Şekilde iki eğri $x = 8$ apsisinde kesişmektedir. Sağdaki eğri yalnızca kendi düşey sınır doğrusunun sağında vardır; iki eğrinin birlikte var olduğu bölge tanım kümesidir. O bölgede $\log_2(2x-8)$ eğrisi, $8$'in sağında ötekinin üstündedir — eşitsizliğin çözüm kümesi budur.

Aynı eşitsizlik, üç temsil

Çözüm bir aralık olduğu için bu konu temsil geçişine denklemden daha uygundur. Aşağıdaki eşitsizlik üç ayrı biçimde okunur:

$$\log_2 (x - 1) < 3$$

Cebirsel temsil. Tanım kümesi $x > 1$'dir. Taban $2 > 1$ olduğundan yön korunur: $x - 1 < 2^{3} = 8$, yani $x < 9$. Kesişim:

$$(-\infty,\ 9) \ \cap \ (1,\ \infty) = (1,\ 9)$$

Aralık temsili.

İki uç da açıktır, ama gerekçeleri farklıdır: sağ uç eşitsizlik katı olduğu için, sol uç tanım kümesi orada bitmediği — hiç başlamadığı — için açıktır.

Grafik temsili.

Eğri yalnızca düşey sınır doğrusunun sağında vardır; bu, çözümün sol ucunu verir. Eğri, $y = 3$ yatay doğrusunun altında kaldığı sürece eşitsizlik sağlanır; iki grafik apsisi $9$ olan noktada kesiştiğine göre bu, sağ uçtur. Üç temsil aynı aralığı söylemektedir.

Bağlamlı eşitsizlikler

Aşağıdaki iki bağlamda model verilmiştir; yapılacak iş, bir eşiğin ne zaman aşıldığını bulmaktır. Modeli kurmak dokuzuncu konunun işidir.

Bakteri çoğalması. Bir kültürdeki bakteri sayısı, $t$ saat sonra

$$N(t) = 500 \cdot 2^{t/3}$$

bağıntısıyla veriliyor. Sayının $32\,000$'i aşması için kaç saat geçmelidir?

$$500 \cdot 2^{t/3} > 32\,000 \quad \Longrightarrow \quad 2^{t/3} > 64 = 2^{6}$$

Taban $2 > 1$, yön korunur:

$$\frac{t}{3} > 6 \quad \Longrightarrow \quad t > 18$$

$18$ saatten sonra. Sağlama: $t = 18$ için $500 \cdot 2^{6} = 32\,000$; eşiğin tam üstünde değil, tam üzerindedir, bu yüzden uç açıktır.

Radyoaktif bozunum. Yarı ömrü $8$ gün olan bir izotopun kalan miktarı

$$M(t) = M_0 \left( \frac12 \right)^{t/8}$$

bağıntısıyla veriliyor. Miktarın başlangıçtakinin $\tfrac{1}{32}$'sinin altına inmesi için kaç gün geçmelidir?

$$M_0 \left( \frac12 \right)^{t/8} < \frac{M_0}{32} \quad \Longrightarrow \quad \left( \frac12 \right)^{t/8} < \left( \frac12 \right)^{5}$$

Taban $\tfrac12 < 1$ olduğundan yön döner:

$$\frac{t}{8} > 5 \quad \Longrightarrow \quad t > 40$$

$40$ günden sonra. Bağlamdaki anlamı da tutmaktadır: beş yarı ömür geçtiğinde miktar tam $\tfrac{1}{32}$'ye iner, daha sonra altına düşer.

Çözümün adımları

1. Tanım kümesi yazılır (logaritma varsa). Üstel eşitsizlikte bu adım gerekmez.
2. İki taraf karşılaştırılabilir hâle getirilir — ortak taban, tek logaritma ya da değişken değişimi.
3. Monotonluk uygulanır. Taban $1$'den büyükse yön korunur, küçükse döner. Negatif bir sayıya bölünüyorsa yön yine döner.
4. Tanım kümesiyle kesiştirilir ve uç noktaların açık mı kapalı mı olduğuna karar verilir.