Logaritmik Fonksiyonun Dönüşümleri

Referans fonksiyondan türetilen fonksiyon

Üçüncü konuda logaritmik fonksiyonlar ailesinin referans fonksiyonu kurulmuştu:

$$f(x) = \log_a x \qquad (a > 0,\ a \neq 1)$$

ve nitel özellikleri her zamanki sırayla çıkarılmıştı: tanım kümesi, görüntü kümesi, işaret, artanlık–azalanlık, bire birlik, örtenlik.

Şimdi aynı referans fonksiyondan türetilen fonksiyonlar ele alınır. Türetme, ikinci konudaki yapının aynısıdır:

$$g(x) = k \cdot f(mx \pm r) \pm s \qquad (k \neq 0,\ m \neq 0)$$

Logaritmik fonksiyon için açık yazımı şudur:

$$g(x) = k \cdot \log_a (mx + r) + s$$

Buradaki $r$ ve $s$ negatif de olabilir; $\log_a(mx - r)$ ve $-s$ ayrı durumlar değil, aynı yapının işaret değişmiş hâlleridir. Programın $\log_a(mx + n)$ diye yazdığı fonksiyon, bu ailenin $k = 1$, $s = 0$ ve $r = n$ olan üyesidir.

Yöntem baştan söylenmelidir. Türetilen fonksiyonun nitel özellikleri sıfırdan hesaplanmaz. Referans fonksiyonun bilinen özelliklerinden başlanır ve her katsayının o özelliği nasıl değiştirdiği sorulur. Katsayılar aşamalı ele alınır: önce $r$ ve $s$ sıfırken, sonra ikisi devreye girerken, sonra dördü birlikte.

Bu konuda ikinci konudan farklı bir şey olur ve konunun asıl işi odur: üstel ailede hiçbir katsayının değiştiremediği tanım kümesi, burada dönüşümle taşınır. Bunun nedeni ikisinin $y = x$ doğrusuna göre birbirinin yansıması olmasıdır; aşağıda birkaç kez bu karşıtlığa dönülecektir.

Aşama 1: $r = 0$ ve $s = 0$

Bu aşamada türetilen fonksiyon

$$g(x) = k \cdot \log_a (mx)$$

biçimindedir. İki katsayı vardır ve etkileri birbirinden bağımsızdır.

$k$ katsayısı — tabanı değiştirir. Beşinci konuda ispatlanan taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanır. $A = a^{1/k}$ yazılırsa:

$$\log_A x = \frac{\log_a x}{\log_a A} = \frac{\log_a x}{\tfrac{1}{k}} = k \cdot \log_a x$$

Eşitlik $x > 0$ için geçerlidir; iki tarafta da yazılan logaritmaların içi odur. Ayrıca $A = a^{1/k}$ yazılabilmesi için $k \neq 0$ olmalıdır — zaten ailenin tanımında $k \neq 0$'dır. $A$'nın geçerli bir taban olması da kendiliğinden sağlanır: $a \neq 1$ olduğundan $a^{1/k} \neq 1$'dir.

Yani $k$ yeni bir fonksiyon türü üretmez; tabanı $a$ olan referans fonksiyonu, tabanı $a^{1/k}$ olan bir başka referans fonksiyona çevirir. Cebirsel temsildeki bu eşitliğin grafik temsildeki karşılığı şudur: her noktanın ordinatı $k$ ile çarpılır, yani grafik dikey doğrultuda $|k|$ kat gerilir ve $k < 0$ ise $x$ ekseninin öbür yanına geçer.

$a = 2$ için üç durum:

$k$	Yeni taban $a^{1/k}$	Grafikte
$k = 2$	$2^{1/2} = \sqrt2$	Aynı yüksekliğe daha küçük $x$'te ulaşılır
$k = \tfrac{1}{2}$	$2^{2} = 4$	Aynı yüksekliğe daha büyük $x$'te ulaşılır
$k = -1$	$2^{-1} = \tfrac{1}{2}$	Artan iken azalan olur

Üç durumda da $(1;\,0)$ noktası yerinde kalır, çünkü $\log_a 1 = 0$'dır ve $k \cdot 0 = 0$ her $k$ için geçerlidir.

Şekilde $y = \log_2 x$ referans fonksiyondur. $y = 2 \log_2 x$ onun her apsiste iki katıdır; $y = -\log_2 x$ ise $k = -1$ durumudur ve referansın $x$ eksenine göre simetriğidir. Üçünün de $(1;\,0)$ noktasından geçmesi ve $y$ eksenine yaklaşıp değmemesi ortaktır.

$m$ katsayısı — bütün değerlere sabit ekler. Çarpımın logaritması kuralı yazılırsa ($m > 0$ ve $x > 0$ için):

$$\log_a (mx) = \log_a m + \log_a x$$

Sağ tarafta $\log_a m$ bir sabittir. Yani içerideki çarpan, bu ailede bir sabit eklemeye denk gelir — yani grafiği dikey taşır. Bu, ailenin neden dört ayrı kurala değil tek bir yapıya indiğinin ilk işaretidir.

Aşama 2: $r$ ile $s$ devreye giriyor

Yalnızca $s$ varken. $g(x) = \log_a x + s$ fonksiyonunda her değere $s$ eklenir; grafik dikey doğrultuda $s$ birim taşınır. Görüntü kümesi $\mathbb{R}$'dir ve taşımadan sonra da $\mathbb{R}$ kalır — çünkü $\mathbb{R}$ kaydırılınca yine $\mathbb{R}$ olur. Grafiğin $x$ eksenini kestiği nokta ise yer değiştirir: $\log_a x + s = 0$ denklemi $x = a^{-s}$ verir.

Yalnızca $r$ varken. $g(x) = \log_a (x + r)$ fonksiyonunda $x$ apsisinde $f$'nin $x + r$ apsisindeki değeri alınır; grafik yatay doğrultuda $r$ birim sola taşınır. ($\log_a(x - r)$ ise $r$ birim sağa taşır.)

Bu, ailenin tek gerçek yeniliğidir. Referans fonksiyon $x \le 0$ için tanımsızdı; şimdi tanımsız kalan yer de taşınmıştır:

$$(0,\ \infty) \quad \longrightarrow \quad (-r,\ \infty)$$

Şekilde sağdaki eğri $y = \log_2(x - 3)$'tür. Referans eğrinin $(1;\,0)$ noktası $(4;\,0)$ olmuştur. Referans eğri $y$ eksenine, yani $x = 0$ doğrusuna yaklaşıyordu; türetilen eğri $x = 3$ doğrusuna yaklaşmaktadır. Kesikli çizilen bu doğru grafiğin bir parçası değildir, eğrinin geçemediği sınırı göstermektedir.

Neden böyle: yatay germe neden bir dikey taşımaya dönüşüyor

Örüntü. $f(x) = \log_2 x$ alınsın ve $g(x) = \log_2 (4x)$ ile karşılaştırılsın:

$x$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\log_2 x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\log_2 (4x)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

İki satır iki farklı biçimde okunabilir. Yatay okuma: alt satır, üst satırın iki sütun sola kaymış hâlidir — $g$'nin $\tfrac12$'deki değeri $f$'nin $2$'deki değeridir. Sütunlar ikişer kat büyüdüğü için iki sütun sola kayma, apsisin dört kat küçülmesi demektir; grafik yatay doğrultuda dört kat sıkışmıştır. Dikey okuma: her sütunda alt satır, üst satırdan tam $2$ fazladır.

Genelleme. İki okuma da doğrudur ve tek bir eşitlikten çıkar:

$$\log_a (mx) = \log_a m + \log_a x \qquad (m > 0,\ x > 0)$$

Sol taraf yatay germeyi, sağ taraf sabit eklemeyi anlatır. Logaritmik fonksiyonda ikisi aynı şeydir, çünkü içerideki çarpma dışarıda toplamaya dönüşür.

Kontrol. Tablodaki değerlerle sınanır: $m = 4$ için $\log_2 4 = 2$. Gerçekten $1 = 2 + (-1)$ ve $5 = 2 + 3$'tür.

İkinci konuyla karşıtlık. Üstel ailede $a^{x + r} = a^{r} \cdot a^{x}$ yazılmıştı: yatay öteleme, dikey ölçeklemeye eşitti. Burada $\log_a(mx) = \log_a m + \log_a x$: yatay ölçekleme, dikey ötelemeye eşit. İki cümle aynı cümledir, $y = x$ doğrusuna göre okunmuş hâlidir — yansıma "yatay" ile "dikey"i yer değiştirir, "öteleme" ile "ölçekleme"ye dokunmaz.

Ailenin sadeleşmesi. Genel yazımda $m > 0$ olsun. İçerideki ifade çarpanlara ayrılır:

$$mx + r = m \left( x + \frac{r}{m} \right) = m (x - c), \qquad c = -\frac{r}{m}$$

Çarpımın logaritması uygulanınca:

$$g(x) = k \log_a \big( m (x - c) \big) + s = k \log_a (x - c) + \big( k \log_a m + s \big)$$

Ayırma $m > 0$ ve $x > c$ iken geçerlidir: sağ tarafta $\log_a (x - c)$ tek başına yazıldığı için onun içi de pozitif olmak zorundadır. Zaten fonksiyonun tanım kümesi de $x > c$'dir.

Kısaca $K = k$ ve $S = k \log_a m + s$ yazılırsa dört katsayılı aile üçe iner:

$$g(x) = K \cdot \log_a (x - c) + S \qquad (K \neq 0)$$

Bundan sonraki bütün akıl yürütme bu sadeleşmiş yazım üzerinden yapılır. $m < 0$ ise aynı ayırma $m(x - c) = |m|(c - x)$ verir ve yazım $K \log_a (c - x) + S$ olur; eğri bu kez $x = c$ doğrusunun solunda kalır.

Aşama 3: dört katsayı birlikte

Dördü de devrede olan bir örnek adım adım sadeleştirilir:

$$g(x) = 2 \log_2 (4x - 8) + 1$$

Burada $k = 2$, $m = 4$, $r = -8$, $s = 1$'dir. İçerideki ifade çarpanlarına ayrılır ve çarpımın logaritması uygulanır:

$$4x - 8 = 4(x - 2) \quad \Longrightarrow \quad \log_2 \big( 4(x-2) \big) = 2 + \log_2 (x - 2)$$ $$g(x) = 2 \big[ 2 + \log_2 (x-2) \big] + 1 = 2 \log_2 (x - 2) + 5$$

Yani $K = 2$, $c = 2$, $S = 5$'tir. Sayısal kontrol. $x = 4$ için ilk yazım $2 \log_2 8 + 1 = 7$, sadeleşmiş yazım $2 \log_2 2 + 5 = 7$ verir.

İkinci bir örnek, $k$ negatifken:

$$h(x) = -\log_3 (9x + 27) + 2$$ $$9x + 27 = 9(x + 3) \quad \Longrightarrow \quad h(x) = -\big[ 2 + \log_3 (x+3) \big] + 2 = -\log_3 (x + 3)$$

Burada $K = -1$, $c = -3$, $S = 0$'dır. Dört katsayıyla yazılan fonksiyon, tek bir işaret ve tek bir ötelemeye inmiştir.

Tanım kümesi dönüşümle taşınır

Bu konunun asıl işi burasıdır. Referans fonksiyonun iki bilgisi baştan hatırlanır ve bu iki bilginin aynı şeyin iki söylenişi olduğu görülür:

• Tanım kümesi $(0,\ \infty)$'dur.
• Grafik $x = 0$ doğrusuna yaklaşır ama ona değmez.

İkincisi birincisinin resmidir: eğrinin geçemediği düşey sınır, tanım kümesinin uç noktasıdır. Dönüşüm bu sınırı taşır, tanım kümesi de onunla birlikte kayar.

Sınırın yeni yeri. $\log_a (mx + n)$ yazıldığında içerideki ifadenin sıfır olduğu apsis sınır olur:

$$mx + n = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{n}{m}$$

Hangi yanda kaldığı $m$'nin işaretiyle belirlenir, çünkü içerideki ifadenin pozitif olduğu yan odur:

	Grafik hangi yanda	Tanım kümesi
$m > 0$	Sınırın sağında	$\left( -\dfrac{n}{m},\ \infty \right)$
$m < 0$	Sınırın solunda	$\left( -\infty,\ -\dfrac{n}{m} \right)$

Üç örnek, sırayla okunarak:

• $\log_2 (x - 5)$: sınır $x = 5$, $m = 1 > 0$, eğri sağda. Tanım kümesi $(5,\ \infty)$.
• $\log_3 (2x + 8) = \log_3 \big( 2(x + 4) \big)$: sınır $x = -4$, $m = 2 > 0$, eğri sağda. Tanım kümesi $(-4,\ \infty)$.
• $\log_2 (6 - 2x) = \log_2 \big( -2(x - 3) \big)$: sınır $x = 3$, $m = -2 < 0$, eğri solda. Tanım kümesi $(-\infty,\ 3)$.

Şekilde üçüncü örnek çizilmiştir. Eğri soldan sağa alçalmakta ve $x = 3$ doğrusuna sağa doğru yaklaşmaktadır; doğrunun sağında hiç noktası yoktur.

Eşitsizlik burada yöntem değil, sağlamadır. Üçüncü konuda tanım kümesi sorulduğunda yol şuydu: içerinin pozitif olması yazılır, eşitsizlik çözülür. O yol doğrudur ve hâlâ geçerlidir; ama burada öğrenilen şey başkadır — tanım kümesi, grafiğin nereye taşındığına bakılarak eşitsizlik çözmeden söylenir. Eşitsizlik, söylenenin doğruluğunu göstermek için sonradan yazılır:

$$6 - 2x > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6 > 2x \quad \Longleftrightarrow \quad x < 3$$

Aynı sonuç. Fark, birinde sonucun hesaptan, ötekinde dönüşümden gelmesidir.

Hangi katsayı bunu yapıyor. Sınırın yeri yalnızca $m$ ile $r$'ye bağlıdır ($c = -r/m$). Dışarıdaki $k$ ve $s$ katsayıları tanım kümesine hiç dokunmaz: bir sayıyla çarpmak ya da bir sayı eklemek, tanımsız bir ifadeyi tanımlı yapmaz.

Grafiğin yaklaştığı düşey doğru

Referans fonksiyonda grafik $y$ eksenine, yani $x = 0$ doğrusuna yaklaşıp değmiyordu. Türetilen fonksiyonda bu doğru yer değiştirir ve yeni yeri sadeleşmiş yazımdan doğrudan okunur:

$$\textbf{Grafik } x = c \textbf{ doğrusuna yaklaşır ama ona değmez.}$$

Değmemesinin nedeni tek bir şeyin var olmamasıdır: $x = c$ için içerideki ifade sıfır olur ve sıfırın logaritması yoktur. $x$ değeri $c$'ye yaklaştıkça $\log_a(x - c)$ değeri sınırsız küçülür (ya da $a < 1$ ise sınırsız büyür); üçüncü konuda $\log_2 \tfrac{1}{1024} = -10$ ile gösterilen davranış budur.

İkinci konuyla karşıtlık. Orada yaklaşılan doğru yataydı ve $y = s$'ydi; yerini dışarıdaki $s$ katsayısı belirliyordu. Burada doğru düşeydir ve $x = c$'dir; yerini içerideki $r$ katsayısı belirlemektedir. İki durum $y = x$ doğrusuna göre birbirinin yansımasıdır, bu yüzden doğru da yön değiştirmiştir.

	Üstel aile	Logaritmik aile
Yaklaşılan doğru	Yatay, $y = s$	Düşey, $x = c$
Yerini belirleyen	Dışarıdaki $s$	İçerideki $r$ (üzerinden $c = -r/m$)
Değmemesinin nedeni	$A^x = 0$ çözümsüz	$\log_a 0$ tanımsız

Bu davranışın kesin incelenişi sonsuzda-limit-ve-asimptotlar konusuna aittir.

Nitel özellikler referans fonksiyondan çıkarılır

Aşağıdaki çıkarımların hiçbirinde yeni bir hesap yapılmaz; her satırda referans fonksiyonun bilinen özelliği alınır ve hangi katsayının onu nasıl değiştirdiği sorulur. Yazım $g(x) = K \log_a (x - c) + S$'dir ve $m > 0$ alınmıştır.

Tanım kümesi. Referansta $(0,\ \infty)$ idi. Sınır $c$'ye taşınır: $(c,\ \infty)$. Ailedeki tek gerçek değişiklik budur — üstel ailede tanım kümesi hiçbir katsayıyla değişmiyordu, burada her zaman değişir.

Görüntü kümesi. Referansta $\mathbb{R}$ idi. $K$ ile çarpmak ($K \neq 0$) ve $S$ eklemek $\mathbb{R}$'yi yine $\mathbb{R}$ yapar: $\mathbb{R}$. Hiçbir katsayı bunu değiştiremez — üstel ailedeki durumun tam tersi.

İşaret. Referansta işaret $x = 1$'de değişiyordu. Şimdi değiştiği yer denklemden bulunur:

$$K \log_a (x - c) + S = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a (x - c) = -\frac{S}{K} \quad \Longleftrightarrow \quad x = c + a^{-S/K}$$

Bu apsis her zaman vardır ve tanım kümesindedir, çünkü $a^{-S/K}$ pozitiftir. Yani grafik $x$ eksenini her zaman tam bir noktada keser ve işaret yalnızca orada değişir. Üstel ailede eksenin kesilip kesilmemesi $K$ ile $s$'nin işaretlerine bağlıydı; burada bağlı değildir.

Artanlık–azalanlık. Referansta $a > 1$ için artan, $0 < a < 1$ için azalandı. Şimdi iki şey sırayla okunur: önce taban yönü belirler, sonra $K$'nin işareti gerekirse onu tersine çevirir. $c$ ve $S$ bu özelliğe hiç dokunmaz.

	$K > 0$	$K < 0$
$a > 1$	Artan	Azalan
$0 < a < 1$	Azalan	Artan

$m < 0$ ise, yani yazım $K \log_a (c - x) + S$ ise, tablodaki her sonuç bir kez daha terse döner.

Bire birlik. Referansta bire birdi. $K \neq 0$ olduğundan türetilen fonksiyon da artan ya da azalandır; aynı değeri iki kez alamaz. Bire birlik her zaman korunur.

Örtenlik. Görüntü kümesi $\mathbb{R}$ olduğundan $g : (c,\ \infty) \to \mathbb{R}$ örtendir. Üstel ailede örtenlik için değer kümesini görüntü kümesine daraltmak gerekiyordu; burada gerekmez, çünkü görüntü kümesi zaten $\mathbb{R}$'dir.

Zenginleştirme. Bu iki aile birbirinin tersidir. İkinci konudaki sadeleşmiş yazım $f(x) = K \cdot A^{x} + s$ alınsın ($K > 0$). Ters fonksiyon aranırken $x$ yalnız bırakılır:

$$y = K A^{x} + s \quad \Longleftrightarrow \quad A^{x} = \frac{y - s}{K} \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_A (y - s) - \log_A K$$

Sağdaki ifade tam olarak bu konunun ailesidir: $c = s$ ve $S = -\log_A K$. Üstel grafiğin yaklaştığı yatay $y = s$ doğrusu, ters alınınca logaritmik grafiğin yaklaştığı düşey $x = s$ doğrusuna dönüşmüştür.

Grafikten katsayıları okumak

Şimdiye kadar katsayılardan grafiğe gidildi. Ters yön de sorulur ve sıra bellidir. Taban $a$ verilmiş olsun; okunacaklar $c$, $S$ ve $K$'dir.

1. Grafiğin yaklaştığı düşey doğru $c$'yi verir.
2. $x = c + 1$ apsisindeki değer $S$'yi verir: orada $\log_a 1 = 0$ olduğundan $g(c + 1) = S$'dir.
3. Bir üçüncü nokta $K$'yi verir. Bilinen $c$ ve $S$ ile o noktanın koordinatları yerine konur.

Örnek olarak, grafiği $x = 4$ doğrusuna yaklaşan, $(5;\,-1)$ ve $(13;\,5)$ noktalarından geçen ve tabanı $3$ olan bir fonksiyon ele alınsın.

$$c = 4, \qquad S = g(5) = -1$$ $$g(13) = K \log_3 9 - 1 = 2K - 1 = 5 \quad \Longrightarrow \quad K = 3$$ $$g(x) = 3 \log_3 (x - 4) - 1$$