Üstel Fonksiyon

Hazır bulunuşluk: üslü ifadeler

Bu konunun tamamı üslü ifadelerin kurallarına dayanır. Kurallar 9. sınıfta görülmüştü; aşağıda, bu konuda kullanılacak biçimleriyle toplanmıştır. Hepsinde $a > 0$ kabul edilir.

Çarpım ve bölüm.

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad\qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Üssün üssü.

$$\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}$$

Sıfır ve negatif üs.

$$a^0 = 1 \qquad\qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad\qquad \left( \frac{1}{a} \right)^n = a^{-n}$$

Kesirli üs.

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \qquad\qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Bu kurallar $m$ ve $n$ tam sayı ya da kesirken tanıdıktır. Bu konuda bir adım daha atılır: taban pozitif olduğu sürece $a^x$ ifadesi her gerçek $x$ için bir anlam taşır. $x$ irrasyonel olduğunda, örneğin $2^{\sqrt2}$ ifadesinde, üs rasyonel sayılarla giderek daha yakından yaklaşılarak elde edilir:

$$2^{1{,}4},\quad 2^{1{,}41},\quad 2^{1{,}414},\quad \ldots$$

Bu sayılar tek bir değere yaklaşır ve $2^{\sqrt2}$ o değer olarak tanımlanır. Yukarıdaki kuralların hepsi bu genişletilmiş anlamda da geçerlidir.

Üstel fonksiyonun tanımı

$a > 0$ ve $a \neq 1$ olmak üzere

$$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \qquad f(x) = a^x$$

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir. Buradaki $a$ sayısına fonksiyonun tabanı denir. Değişkenin üste, sabitin tabana geldiğine dikkat edilmelidir: $f(x) = 2^x$ bir üstel fonksiyondur, $f(x) = x^2$ ise değildir.

Bir fonksiyon ailesi incelenirken önce ailenin en yalın üyesi seçilir ve bütün inceleme onun üzerinden yürütülür; bu üyeye referans fonksiyon denir. Ailenin öteki üyeleri referans fonksiyondan katsayılarla türetilir ve bu türetilen fonksiyonların nitel özellikleri baştan hesaplanmak yerine referans fonksiyonunkilerden çıkarılır. Üstel fonksiyonlar ailesinin referans fonksiyonu $f(x) = a^x$'tir; bu konu boyunca incelenen fonksiyon budur. Referans fonksiyondan türetilen fonksiyonlar ustel-fonksiyonun-donusumleri konusunda ele alınacaktır.

Tabana konan koşullar neden var

Tanımdaki $a > 0$ ve $a \neq 1$ koşulları keyfî değildir; her biri belirli bir bozulmayı önler.

$a < 0$ olsaydı. Taban negatif olduğunda kesirli üsler gerçek sayı vermez:

$$(-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}$$

ifadesinin gerçek sayılarda karşılığı yoktur. Buna karşılık $(-4)^2 = 16$ hesaplanabilir. Yani fonksiyon bazı $x$ değerlerinde tanımlı, bazılarında tanımsız olurdu; tanım kümesi $\mathbb{R}$ olmaktan çıkar, delik deşik bir küme hâline gelirdi.

$a = 0$ olsaydı. $0^x$ ifadesi $x > 0$ için $0$'dır, ama $x = 0$ ve $x < 0$ için tanımsızdır:

$$0^{-2} = \frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$$

Tanım kümesi yine $\mathbb{R}$ olmazdı; kalan kısımda da fonksiyon sabit $0$ olurdu.

$a = 1$ olsaydı. Bu kez tanımsızlık yoktur ama fonksiyon $f(x) = 1^x = 1$ sabit fonksiyonuna dönüşür. Sabit fonksiyon ne artan ne azalandır, bire bir değildir ve görüntü kümesi tek bir sayıdan ibarettir. Yani aşağıda sıralanacak nitel özelliklerin hiçbirini taşımaz; aileye alınması ailenin tanımını bozardı.

Üç koşulun ortak amacı şudur: tanım kümesi bütün gerçek sayılar olsun ve fonksiyon aşağıdaki nitel özellikleri istisnasız taşısın.

Nitel özellikler

Nitel özellikler her fonksiyon ailesinde aynı sırayla ele alınır: tanım kümesi, görüntü kümesi, işaret, artanlık–azalanlık, bire birlik, örtenlik. Aşağıda bu sıra $f(x) = a^x$ için izlenmektedir. İki tipik durum aynı düzlemde gösterilmiştir: taban $1$'den büyükken ($y = 2^x$) ve $1$'den küçükken $\left( y = \left( \tfrac{1}{2} \right)^x \right)$. İki eğri de $(0;\,1)$ noktasından geçer; şekilde bu ortak nokta işaretlidir.

Tanım kümesi. $\mathbb{R}$'dir. Taban pozitif olduğundan üsse her gerçek sayı yazılabilir; yasaklı bir değer yoktur.

Görüntü kümesi. $\mathbb{R}^+ = (0,\ \infty)$'dur. Fonksiyon hiçbir zaman $0$ ya da negatif bir değer almaz, buna karşılık her pozitif sayıyı alır. İkinci yarısının gerekçesi aşağıda örtenlik başlığındadır.

İşaret. Her $x \in \mathbb{R}$ için $f(x) > 0$'dır. Fonksiyonun işareti hiçbir noktada değişmez; grafiğin tamamı $x$ ekseninin üstündedir. Bunun nedeni, pozitif bir sayının hangi kuvveti alınırsa alınsın sonucun pozitif kalmasıdır: negatif üs kesre çevirir, kesirli üs kök alır, ama hiçbiri işareti değiştirmez.

Artanlık–azalanlık.

$$a > 1 \ \Longrightarrow\ f \text{ artandır}, \qquad\qquad 0 < a < 1 \ \Longrightarrow\ f \text{ azalandır}$$

Yukarıdaki grafikte soldan sağa yükselen eğri $y = 2^x$, alçalan eğri ise $y = \left( \tfrac{1}{2} \right)^x$'tir. Bu ayrımın gerekçesi bir sonraki başlıktadır.

Bire birlik. Farklı $x$ değerleri farklı $f(x)$ değerleri verir. Fonksiyon artan ya da azalan olduğundan aynı değeri iki kez alması mümkün değildir.

Örtenlik. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ olarak alındığında fonksiyon örtendir: her pozitif sayı, bir $x$ değerinin görüntüsüdür.

Örtenliğin değer kümesine bağlı olduğuna dikkat edilmelidir. Aynı kural $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ biçiminde yazılsaydı fonksiyon örten olmazdı, çünkü $0$ ve negatif sayılar hiçbir $x$'in görüntüsü değildir. Üstel fonksiyonun değer kümesi bu yüzden $\mathbb{R}^+$ seçilir.

Neden böyle: taban artanlığı nasıl belirliyor

Grafikten okunan "taban $1$'den büyükse artan" kuralı, üs kurallarından çıkarılabilir.

Örüntü. $a = 2$ için ardışık değerler yazılır:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$

Her adımda değer $2$ katına çıkmaktadır. $a = \tfrac{1}{2}$ için aynı tablo kurulur:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\left( \tfrac{1}{2} \right)^x$	$4$	$2$	$1$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{8}$

Bu kez her adımda değer yarıya inmektedir.

Genelleme. İki değer karşılaştırılırken oranlarına bakılır. $x_1 < x_2$ alınsın ve $t = x_2 - x_1$ yazılsın; $t > 0$'dır.

$$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2 - x_1} = a^{t}$$

Soru şuna indirgenmiştir: $t > 0$ iken $a^t$ sayısı $1$'den büyük mü, küçük mü?

• $a > 1$ ise, $1$'den büyük bir sayının pozitif kuvveti de $1$'den büyüktür: $a^t > 1$. O hâlde $a^{x_2} > a^{x_1}$ olur ve fonksiyon artandır.
• $0 < a < 1$ ise, $1$'den küçük pozitif bir sayının pozitif kuvveti $1$'den küçüktür: $a^t < 1$. O hâlde $a^{x_2} < a^{x_1}$ olur ve fonksiyon azalandır.

Kontrol. Genelleme tablodaki sayılarla sınanır. $a = 2$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$ için $t = 2$ ve $a^t = 4 > 1$; gerçekten $8 > 2$'dir. $a = \tfrac{1}{2}$ için aynı $x$ değerlerinde $a^t = \tfrac{1}{4} < 1$; gerçekten $\tfrac{1}{8} < \tfrac{1}{2}$'dir.

Sonuç. Artanlık ya da azalanlık, tabanın $1$ ile karşılaştırılmasından çıkar. Ara adım olarak $a^t$ ile $1$ karşılaştırması kullanılır; bu adım, konu boyunca üstel değerleri sıralarken de tekrar tekrar işe yarayacaktır.

Bire birlik ve örtenlik grafikten

İki özellik de aynı görsel sınamayla okunur: yatay doğru sınaması. $c$ bir sayı olmak üzere $y = c$ doğrusu çizilir ve grafiği kaç noktada kestiğine bakılır.

$c > 0$ ise doğru grafiği tam bir noktada keser. Şekilde bu kesim noktası işaretlidir; ondan $x$ eksenine inen kesikli kılavuz, noktanın apsisini gösterir.

• En çok bir kesim olması bire birliktir: $c$ yüksekliğine iki farklı apsiste ulaşılamıyor demektir. Cebirsel karşılığı şudur:

$$a^{x_1} = a^{x_2} \quad\Longrightarrow\quad x_1 = x_2$$

• En az bir kesim olması örtenliktir: her pozitif $c$ için o yüksekliğe ulaşan bir apsis vardır.

İkisi birlikte, "tam bir kesim" ifadesini verir.

$c \le 0$ ise doğru grafiği hiç kesmez. Özel olarak $y = 0$ doğrusu, yani $x$ ekseninin kendisi, grafikle hiç buluşmaz. Fonksiyon $\mathbb{R}$'ye giden bir fonksiyon olarak yazılsaydı örten olmamasının nedeni budur.

Kesim noktasının apsisinin hangi sayı olduğu ve nasıl hesaplanacağı bu konunun kapsamı dışındadır; o apsisin adı ve hesabı logaritma-fonksiyonu konusunda ele alınacaktır. Burada gösterilen şey, böyle bir apsisin her pozitif $c$ için var ve tek olduğudur.

Grafik $x$ eksenine değmez

Grafiğin sol ucuna ($a > 1$ durumunda) bakıldığında eğri $x$ eksenine giderek yaklaşır, ama ona hiçbir zaman değmez. Bu, yeni bir özellik değil, yukarıda yazılmış iki özelliğin birlikte okunmasıdır:

• İşaret özelliği gereği $a^x > 0$'dır; eğri ekseni kesemez ya da altına inemez.
• Görüntü kümesi $(0,\ \infty)$ olduğundan, sıfıra istenildiği kadar yakın değerler alınabilir; eğrinin ekseni "bırakıp" bir yükseklikte durması da mümkün değildir.

Sayısal olarak görülür: $2^{-10} = \tfrac{1}{1024}$, $2^{-20} = \tfrac{1}{1\,048\,576}$. Değerler küçüldükçe küçülür, ama hiçbiri sıfır değildir. Aynı davranış $0 < a < 1$ durumunda grafiğin sağ ucunda görülür.

Bu davranışın kesin incelenişi sonsuzda-limit-ve-asimptotlar konusuna aittir.

Tabanın büyüklüğünün grafiğe etkisi

Taban $1$'den büyük olan iki fonksiyon karşılaştırıldığında ikisi de artandır, ama büyük tabanlı olan daha hızlı yükselir.

İki eğri $(0;\,1)$ noktasında buluşur, çünkü $a^0 = 1$ eşitliği her tabanda geçerlidir. Her üstel fonksiyonun grafiği bu noktadan geçer. Noktanın sağında ve solunda ise sıralama terstir:

• $x > 0$ için $3^x > 2^x$'tir.
• $x < 0$ için $3^x < 2^x$'tir. Örneğin $3^{-1} = \tfrac{1}{3}$ iken $2^{-1} = \tfrac{1}{2}$'dir.

Tabanı $1$'den küçük olanlar için de benzer bir ilişki vardır ve üs kurallarıyla kurulur:

$$\left( \frac{1}{a} \right)^x = \left( a^{-1} \right)^x = a^{-x}$$

Yani $y = \left( \tfrac{1}{2} \right)^x$ eğrisi ile $y = 2^x$ eğrisi, aynı değerleri ters sırada alır; bu yüzden ilk şekildeki iki eğri $y$ eksenine göre simetriktir.

Üstel değerleri karşılaştırmak

Artanlık ve azalanlık, sayısal karşılaştırmalarda doğrudan kullanılır. İki yol vardır.

Yol 1 — tabanları eşitlemek. Tabanlar aynı yapılabiliyorsa üsler karşılaştırılır. $a > 1$ için üssü büyük olan büyüktür.

$$8^{10} = \left( 2^3 \right)^{10} = 2^{30}, \qquad 4^{16} = \left( 2^2 \right)^{16} = 2^{32}$$

$2 > 1$ ve $30 < 32$ olduğundan $8^{10} < 4^{16}$'dır.

Yol 2 — üsleri eşitlemek. Üsler aynı yapılabiliyorsa tabanlar karşılaştırılır; pozitif tabanlar ve pozitif ortak üs için taban büyükse sayı da büyüktür.

$$2^{40} = \left( 2^4 \right)^{10} = 16^{10}, \qquad 3^{30} = \left( 3^3 \right)^{10} = 27^{10}$$

$16 < 27$ olduğundan $2^{40} < 3^{30}$'dur.

Tabanı $1$'den küçük olan durum. Fonksiyon azalan olduğundan sıralama tersine döner:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{5} < \left( \frac{1}{2} \right)^{3}$$

çünkü $5 > 3$'tür. Üs büyüdükçe değer küçülmektedir. Karşılaştırma yapmadan önce tabanın $1$'in hangi tarafında olduğuna bakmak bu yüzden zorunludur.