Üstel ve Logaritmik Modeller

Bu konuda iş tersine döner

Yedinci ve sekizinci konularda bağlamlı sorular vardı, ama model hazır veriliyordu: "$M = \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ bağıntısıyla verilmektedir", "$N(t) = N_0 \left( \tfrac12 \right)^{t/T}$ bağıntısıyla veriliyor". Öğrencinin işi bilinmeyeni çözmekti.

Burada iş tersine döner. Model verilmez; sözel durumdan ya da veriden kurulur. Bu, beş ayrı iştir:

1. Aileyi seçmek. Bu büyüklük doğrusal mı, üstel mi, logaritmik mi değişiyor?
2. Parametreleri belirlemek. $N_0$ nereden okunur, taban nereden çıkar, üsteki bölen ne demektir?
3. Parametreleri yorumlamak. $1{,}03$ tabanı ne anlatır, $\tfrac{t}{5730}$ içindeki $5730$ neden yarı ömürdür, $k$'nin işareti neyi söyler?
4. Biçimler arasında çevirmek. $N_0 a^{t/T}$ ile $N_0 e^{kt}$ aynı modelin iki yazımıdır.
5. Sınırı görmek. Model nereye kadar geçerlidir?

Denklem ve eşitsizlik çözme becerileri bu beş işin içinde araç olarak kullanılır; konunun kendisi değildir.

Aileyi seçmek: eşit fark mı, eşit oran mı

Ayırt edici sınama tek cümledir: eşit aralıklarda eşit fark doğrusaldır, eşit aralıklarda eşit oran üsteldir.

Aşağıdaki iki büyüklük ilk iki ölçümde birbirinin aynısıdır; ayrımı ancak sınama gösterir.

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$A$	$32$	$48$	$64$	$80$	$96$
$B$	$32$	$48$	$72$	$108$	$162$

$A$ için farklar. $48 - 32 = 16$, $64 - 48 = 16$, $80 - 64 = 16$, $96 - 80 = 16$. Fark sabittir; oranlar ($1{,}5$; $1{,}33$; $1{,}25$) sabit değildir. $A$ doğrusaldır:

$$A(t) = 32 + 16t$$

$B$ için oranlar. $\tfrac{48}{32} = 1{,}5$, $\tfrac{72}{48} = 1{,}5$, $\tfrac{108}{72} = 1{,}5$, $\tfrac{162}{108} = 1{,}5$. Oran sabittir; farklar ($16$; $24$; $36$; $54$) sabit değildir. $B$ üsteldir:

$$B(t) = 32 \cdot (1{,}5)^{t}$$

Şekil iki modeli aynı düzlemde gösterir. İlk iki ölçümde çakışırlar; sonra üstel olan hızla ayrılır. $t = 4$'te fark $162 - 96 = 66$'dır ve büyümeye devam eder. Az sayıda ölçüme bakarak karar vermek bu yüzden risklidir; sınamayı yapmak gerekir.

Logaritmik değişimin işareti nedir. Üstelin tersi olduğuna göre sınama da terse döner: girdi eşit oranlarla büyürken çıktı eşit farklarla büyüyorsa model logaritmiktir.

$x$	$1$	$10$	$100$	$1000$
$y$	$0$	$2$	$4$	$6$

Girdi her adımda $10$ ile çarpılırken çıktı her adımda $2$ artmaktadır. Model $y = 2 \log_{10} x$'tir.

Parametreleri belirlemek

Üstel ailenin çalışma yazımı şudur:

$$N(t) = N_0 \cdot a^{t/T}$$

Üç parametrenin üçü de veriden okunur:

Parametre	Nereden okunur	Anlamı
$N_0$	$t = 0$ anındaki değer	Başlangıç değeri
$a$	Bir $T$ süresinde büyüklüğün çarpıldığı sayı	Çarpan
$T$	O çarpanın gerçekleştiği süre	Çarpanın süresi

Örnek. "Bir bakteri kültürü her $4$ saatte üçe katlanıyor; başlangıçta $500$ bakteri var." Burada $N_0 = 500$, $a = 3$, $T = 4$'tür:

$$N(t) = 500 \cdot 3^{t/4}$$

İkiye katlanma ve yarı ömür bu yazımın özel hâlleridir. İkiye katlanma süresi $T$ ise $a = 2$; yarı ömür $T$ ise $a = \tfrac12$'dir. Yedinci konudaki karbon-14 modeli $N_0 \left( \tfrac12 \right)^{t/5730}$ tam olarak budur: $5730$, tabanın $\tfrac12$ olduğu süredir — yani yarı ömür.

Parametreleri yorumlamak

Taban $1$'e göre okunur. $a = 1 + r$ yazıldığında $r$ bir dönemdeki oransal değişimdir:

Taban	Yazımı	Anlamı
$1{,}03$	$1 + 0{,}03$	Dönem başına $\%3$ artış
$1{,}25$	$1 + 0{,}25$	Dönem başına $\%25$ artış
$0{,}85$	$1 - 0{,}15$	Dönem başına $\%15$ azalma
$0{,}5$	$1 - 0{,}5$	Dönem başına yarıya inme

Taban $1$'den büyükse büyüme, küçükse azalma vardır — birinci konudaki artanlık–azalanlık özelliğinin bağlamdaki karşılığı budur.

$e$ tabanlı yazımda işi $k$ yapar. $N(t) = N_0 e^{kt}$ modelinde:

• $k > 0$ ise büyüme, $k < 0$ ise azalma
• $\lvert k \rvert$ büyüdükçe değişim hızlanır
• $k$'nin birimi "birim zaman başına"dır; $t$ yıl ölçülüyorsa $k$ da yıl başınadır

İki yazım, tek model

$N_0 \cdot a^{t/T}$ ile $N_0 e^{kt}$ arasındaki geçiş bu konunun işidir ve başka hiçbir konuda yapılmaz. İki yazımın aynı fonksiyonu vermesi istenir:

$$a^{t/T} = e^{kt}$$

İki tarafın doğal logaritması alınır ve kuvvetin logaritması uygulanır:

$$\frac{t}{T} \ln a = kt$$

Her $t$ için doğru olması için katsayılar eşitlenir:

$$\boxed{\ \ k = \frac{\ln a}{T} \qquad\qquad a = e^{kT} \ \ }$$

Birinci örnek — ikiye katlanma. Bir büyüklük $20$ dakikada ikiye katlanıyorsa $a = 2$, $T = 20$'dir:

$$k = \frac{\ln 2}{20} \approx \frac{0{,}6931}{20} \approx 0{,}0347$$

Model $N_0 \cdot 2^{t/20}$ ya da $N_0 e^{0{,}0347t}$ olarak yazılır; ikisi de aynı sayıları verir.

İkinci örnek — yarı ömür. Karbon-14 için $a = \tfrac12$, $T = 5730$'dur:

$$k = \frac{\ln \tfrac12}{5730} = \frac{-\ln 2}{5730} \approx -0{,}000121$$

$k$ negatif çıkmıştır ve bu doğrudur: madde azalmaktadır. Tabanın $1$'den küçük olması ile $k$'nin negatif olması aynı şeydir.

Hangi yazım ne zaman. $a^{t/T}$ yazımı bağlamı doğrudan gösterir — "$5730$ yılda yarıya iner" cümlesi orada okunur. $e^{kt}$ yazımı ise farklı modelleri tek bir ölçekte karşılaştırmayı kolaylaştırır: iki modelin $k$ değerleri doğrudan karşılaştırılabilir, oysa tabanları ve süreleri farklıysa karşılaştırılamaz.

Bileşik faiz

İki yazım vardır ve aralarındaki fark, faizin yılda kaç kez işletildiğidir.

$$A = P \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt} \qquad\qquad A = P e^{rt}$$

Birincide yılda $n$ kez bileşim yapılır: her dönemde oran $\tfrac{r}{n}$'dir ve $t$ yılda $nt$ dönem geçer. İkincide bileşim süreklidir. $n \to \infty$ iken birincinin ikinciye gittiği, e-sayisi-ve-dogal-logaritma konusundaki zenginleştirme kutusunda gösterilmişti; burada o sonuç kullanılmaktadır.

Örnek. $P = 1000$ TL, yıllık oran $r = 0{,}25$ olsun. $t$ yıl sonundaki büyüme çarpanı $\tfrac{A}{P}$ üç bileşim sıklığı için hesaplanır:

$t$	Yıllık ($n = 1$)	Aylık ($n = 12$)	Sürekli
$3$	$1{,}953$	$2{,}101$	$2{,}117$
$6$	$3{,}815$	$4{,}413$	$4{,}482$
$12$	$14{,}552$	$19{,}476$	$20{,}086$

Şekilde $t$ yıl, düşey eksen $\tfrac{A}{P}$ büyüme çarpanıdır. Üç eğri de üsteldir ve sıralama her zaman aynıdır: yıllık $<$ aylık $<$ sürekli. Ama aylık ile sürekli arasındaki fark, yıllık ile aylık arasındaki farkın yanında çok küçüktür — grafikte iki üstteki eğri neredeyse çakışıktır. Bileşim sıklığını artırmanın getirisi hızla doyar; sürekli bileşim bir üst sınırdır.

Bu bir yatırım tavsiyesi değildir. Yapılan iş model kurmaktır: verilen sıklık ve orandan bağıntıyı yazmak, sonra sorulan büyüklüğü bulmak.

Salgının erken evresi

Bir salgının erken evresinde — duyarlı nüfus henüz tükenmemişken — vaka sayısı üstel büyür:

$$I(t) = I_0 \cdot R_0^{\,t/T}$$

Parametre	Anlamı
$I_0$	Başlangıçtaki vaka sayısı
$R_0$	Bir hastanın ortalama olarak kaç kişiye bulaştırdığı
$T$	Ortalama kuşak süresi: bulaştan yeni vakanın ortaya çıkmasına kadar geçen süre

$R_0$ eşiği modelin karakterini belirler.

	Model	Sonuç
$R_0 > 1$	Taban $1$'den büyük	Vaka sayısı üstel büyür
$R_0 = 1$	Taban $1$	Vaka sayısı sabit kalır
$R_0 < 1$	Taban $1$'den küçük	Vaka sayısı üstel azalır, salgın söner

İkiye katlanma süresi. $I(t) = 2 I_0$ denklemi çözülür:

$$R_0^{\,t/T} = 2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{t}{T} \ln R_0 = \ln 2 \quad \Longrightarrow \quad t = T \cdot \frac{\ln 2}{\ln R_0}$$

$R_0 = 2$ ve $T = 5$ gün için ikiye katlanma süresi tam $5$ gündür — beklendiği gibi, çünkü taban zaten $2$'dir.

Modelin sınırı burada özellikle keskindir. Yukarıdaki bağıntı yalnızca duyarlı nüfusun bol olduğu evrede geçerlidir. İnsanlar bağışıklık kazandıkça ya da temaslar azaldıkça bir hastanın bulaştırdığı kişi sayısı düşer ve büyüme yavaşlar.

Terim uyarısı. Salgın modellemesinde nüfusu duyarlı, hasta ve iyileşmiş gibi bölmelere ayıran modeller SIR ve SEIR adıyla anılır. Yukarıdaki bağıntı o modellerin kendisi değil, yalnızca başlangıç kısmıdır: duyarlı nüfus henüz azalmamışken SIR modelinin verdiği eğri üstel eğriyle örtüşür, sonra ondan ayrılır. Modellerin tamamı bu ünitenin ötesindedir — burada yalnızca örtüştükleri evre ele alınmaktadır.

Şekilde $I_0 = 40$, $R_0 = 2$, $T = 5$ gün alınmıştır. Üstteki eğri modelin söylediği, alttaki eğri gerçek bir salgının tipik seyridir. Başlangıçta çakışırlar; sonra ayrılırlar. Bu ayrılmanın matematiği bu ünitenin dışındadır — burada görülmesi gereken tek şey, modelin bir geçerlilik aralığı olduğudur.

Aynı modelin ters okunuşu

"Ne kadar sürede?" sorusu, aynı modelin ters okunuşudur ve logaritmik bir model verir. $N(t) = N_0 \cdot a^{t/T}$ bağıntısında $t$ yalnız bırakılır:

$$\frac{N}{N_0} = a^{t/T} \quad \Longrightarrow \quad \frac{t}{T} = \log_a \frac{N}{N_0} \quad \Longrightarrow \quad t = T \log_a \frac{N}{N_0}$$

İkiye katlanma süresi $5$ gün olan bir büyüklük için ($a = 2$, $T = 5$):

$$t = 5 \log_2 \frac{N}{N_0}$$

Şekilde yatay eksen $\tfrac{N}{N_0}$ katlanma oranı, düşey eksen geçen süredir. Eğri logaritmiktir ve düşey eksene yaklaşıp değmez — çünkü $\tfrac{N}{N_0} = 0$ hiçbir sonlu sürede gerçekleşmez. $\tfrac{N}{N_0} = 1$ için $t = 0$'dır; $8$ kat için $15$ gün, $32$ kat için $25$ gün gerekir. Aynı model iki yönde okunmaktadır: ileri yönde üstel, geri yönde logaritmik.

Modelin sınırı: ne zaman anlamsızlaşır

Üstel bir model sonsuza kadar geçerli olamaz, çünkü hiçbir gerçek büyüklük sınırsız büyüyemez. Sınırın üç tipik nedeni vardır.

Kaynak tükenir. Yukarıdaki bakteri modeli $N(t) = 500 \cdot 3^{t/4}$'tü. $5$ gün, yani $120$ saat sonrası hesaplanırsa:

$$N(120) = 500 \cdot 3^{30} \approx 1{,}03 \times 10^{17}$$

Bu sayıda bakteri hiçbir kültür kabına sığmaz ve hiçbir besin miktarı onları besleyemez. Model besin ve hacim sınırı taşımadığı için böyle bir sonuç üretmektedir.

Varsayım bozulur. Salgın modelindeki varsayım "duyarlı nüfus boldur"du. Bağışıklık yayıldıkça varsayım çöker ve model gerçekten uzaklaşır — bir önceki şekildeki ayrılma tam olarak budur.

Tanım kümesinin dışına çıkılır. Logaritmik modellerde girdi pozitif olmalıdır. $t = 5 \log_2 \tfrac{N}{N_0}$ modeline $N = 0$ sorulamaz; bağlamda da sorulamaz zaten, çünkü çoğalan bir büyüklük sıfıra inmez.

Doğru alışkanlık. Model kurulduktan sonra sorulacak soru şudur: bu model hangi aralıkta kullanılabilir? Cevap çoğu zaman "verinin toplandığı aralıkta ve ondan biraz ötesinde" olur.