Türevin Tanımı ve Anlık Değişim Hızı

Ortalama değişim oranı

Bir $f$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki ortalama değişim oranı, fonksiyon değerindeki değişimin, değişkendeki değişime oranıdır:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Bu oranın geometrik karşılığı bellidir: $A\big(a, f(a)\big)$ ve $B\big(b, f(b)\big)$ noktalarından geçen kesen doğrusunun eğimi.

Bir aracın $2$ saatte $120$ km yol aldığını söylemek, ortalama hızın $60$ km/sa olduğunu söylemektir. Ama araç yolun tamamını $60$ km/sa ile gitmiş olmak zorunda değildir; bu sayı, yolculuğun tek bir anı hakkında hiçbir şey söylemez.

Aranan şey, tek bir andaki hızdır.

Kesenden teğete: anlık değişim oranı

$a$ noktasına yakın bir $a+h$ noktası alınsın. Bu iki nokta arasındaki ortalama değişim oranı

$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

biçiminde yazılır. Burada $h$, iki nokta arasındaki yatay uzaklıktır.

Şimdi $h$ küçültülsün. $B$ noktası eğri üzerinde kayarak $A$ noktasına yaklaşır, kesen doğrusu da yavaş yavaş döner. $h$ sıfıra yaklaşırken kesen doğrusunun yaklaştığı doğru, eğrinin $A$ noktasındaki teğetidir.

$B$ noktası eğri üzerinde $A$ ya doğru kaydıkça kesen doğrusu döner; $h \to 0$ sınırında ulaştığı konum teğettir.

Dikkat edilmesi gereken nokta şu: $h = 0$ konulamaz. Konulursa oran $\frac{0}{0}$ olur ve hiçbir anlam taşımaz — iki nokta çakışır, doğru belirsiz kalır. Bu yüzden $h \to 0$ limiti alınır. Türev kavramının limit olmadan tanımlanamamasının sebebi budur.

Türevin tanımı

$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi, aşağıdaki limit varsa bu limitin değeridir:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Aynı tanım, $x = a + h$ dönüşümüyle şu biçimde de yazılır. $h \to 0$ olması $x \to a$ olması demektir:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

İki gösterim tamamen eşdeğerdir. Birincisi tanımdan hesap yaparken, ikincisi verilen bir limiti "bu aslında hangi fonksiyonun türevi" diye tanırken kullanışlıdır.

Türevin geometrik anlamı

$f'(a)$ sayısı, $y = f(x)$ eğrisinin $A\big(a, f(a)\big)$ noktasındaki teğetinin eğimidir.

Buradan doğrudan okunabilen üç durum vardır:

$f'(a)$	Teğetin durumu	Fonksiyonun davranışı
$f'(a) > 0$	Eğim pozitif	$a$ civarında artıyor
$f'(a) < 0$	Eğim negatif	$a$ civarında azalıyor
$f'(a) = 0$	Teğet yatay	$a$ civarında anlık olarak ne artıyor ne azalıyor

Son satır bu ünitenin ilerleyen konularının tamamının dayanağıdır; şimdilik yalnızca not edilmesi yeterli.

Türev fonksiyonu ve gösterimler

$f'(a)$ tek bir noktadaki değeri verir. Aynı işlem her $x$ için yapılırsa ortaya yeni bir fonksiyon çıkar:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Buna $f$ fonksiyonunun türev fonksiyonu denir.

Aynı nesne için birden çok gösterim kullanılır:

$$f'(x) \quad = \quad \frac{dy}{dx} \quad = \quad \frac{d}{dx}\big[f(x)\big] \quad = \quad y'$$

$f'(x)$ gösterimi Lagrange, $\frac{dy}{dx}$ gösterimi Leibniz gösterimidir. Leibniz gösterimi, türevin bir oranın limiti olduğunu hatırlattığı için özellikle değişim hızı problemlerinde ve zincir kuralında tercih edilir. Bu dosyada ve sonraki konularda esas olarak $f'(x)$ kullanılacak, gerektiğinde $\frac{dy}{dx}$ gösterimine geçilecektir.

Bir noktadaki değeri belirtmek için Leibniz gösteriminde şu yazım kullanılır:

$$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = a} = f'(a)$$

Diferansiyel

$\frac{dy}{dx}$ gösterimi yukarıda tek bir sembol olarak tanıtıldı. Ancak $dy$ ve $dx$ ifadeleri ayrı ayrı da anlamlandırılabilir; bunlara diferansiyel denir.

$dx$, bağımsız değişkendeki küçük bir değişimdir ve istenen küçüklükte seçilebilir. Buna karşılık gelen $dy$ ise şu şekilde tanımlanır:

$$dy = f'(x)\,dx$$

Kritik ayrım şudur: $dy$, fonksiyondaki gerçek değişim değildir. Gerçek değişim

$$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$$

ile verilir. $dy$ ise teğet doğrusu boyunca olan değişimdir — yani eğrinin değil, teğetin ne kadar yükseldiğidir. Teğet eğriye yalnızca temas noktası civarında yakın olduğu için iki değer birbirinden farklıdır; ama $dx$ küçüldükçe fark hızla küçülür.

$dy$ teğet boyunca, $\Delta y$ eğri boyunca ölçülür. Aradaki fark, teğetin eğriden sapmasıdır.

Sayısal karşılaştırma. $f(x) = x^2$ fonksiyonunda $x = 3$ noktası ve $dx = 0{,}01$ alınsın.

Teğet üzerinden:

$$dy = f'(3) \cdot dx = 6 \cdot 0{,}01 = 0{,}06$$

Eğri üzerinden:

$$\Delta y = f(3{,}01) - f(3) = 9{,}0601 - 9 = 0{,}0601$$

Aradaki fark yalnızca $0{,}0001$ dir. Teğet, eğriyi bu ölçekte neredeyse birebir taklit etmektedir.

Bu tanımdan $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ eşitliği doğrudan okunur; Leibniz gösteriminin kesir gibi davranmasının sebebi budur.

Tanımdan türev hesabının adımları

Tanımdan türev alırken izlenen sıra her zaman aynıdır:

1. $f(x+h)$ ifadesi yazılır ve açılır.
2. $f(x+h) - f(x)$ farkı sadeleştirilir.
3. Fark $h$ parantezine alınır (ya da köklü ifadelerde eşlenikle çarpılır).
4. $h$ sadeleşir.
5. Kalan ifadede $h \to 0$ limiti alınır.

Üçüncü adım kritiktir: $h$ payda sadeleşmeden limit alınamaz, çünkü sadeleşme yapılmadan ifade $\frac{0}{0}$ belirsizliğindedir.

İspat: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Tanımdan yola çıkarak, $n$ pozitif tam sayı olmak üzere $f(x) = x^n$ fonksiyonunun türevi bulunsun.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$$

Binom açılımı yazılır:

$$(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \cdots + h^n$$

Buradan $x^n$ çıkarılırsa ilk terim gider:

$$(x+h)^n - x^n = \binom{n}{1} x^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \cdots + h^n$$

Sağ taraftaki her terimde en az bir $h$ çarpanı vardır; $h$ parantezine alınır:

$$(x+h)^n - x^n = h\left[ n x^{n-1} + \binom{n}{2} x^{n-2} h + \cdots + h^{n-1} \right]$$

$h$ sadeleştirilir:

$$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1} + \binom{n}{2} x^{n-2} h + \cdots + h^{n-1}$$

$h \to 0$ için, içinde $h$ bulunan bütün terimler sıfıra gider. Geriye yalnızca ilk terim kalır:

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Bu sonuç, $n$ rasyonel ya da negatif olduğunda da geçerlidir; ancak o durumdaki ispat binom açılımıyla yapılamaz ve Türev Alma Kuralları konusunda ele alınır.

Türevin fiziksel anlamı

Bir cismin $t$ anındaki konumu $s(t)$ ile gösterilsin.

$\dfrac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$ oranı, $[t_1, t_2]$ aralığındaki ortalama hızdır.

Bu oranın $t_2 \to t_1$ limiti ise $t_1$ anındaki anlık hızdır:

$$v(t) = s'(t)$$

Hız, konumun türevidir. Aynı mantık her değişim hızı için işler: bir tankın hacmi $V(t)$ ise $V'(t)$ anlık dolma hızı, bir maliyet fonksiyonu $C(x)$ ise $C'(x)$ marjinal maliyettir. Türev, "ne kadar oldu" sorusunun değil, "ne kadar hızlı değişiyor" sorusunun cevabıdır.