Türevlenebilirlik ve Süreklilik

Çözümlü örnekler

• 1Zorluk 2/5

  $f(x) = |x|$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasında türevlenebilir olup olmadığını inceleyin.

  Önce $f(0) = |0| = 0$ olduğu görülür. Tanım kullanılır:

  $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$$

  Mutlak değer, $h$ nin işaretine göre iki farklı ifadeye açılır. Bu yüzden limit iki taraftan ayrı ayrı incelenmelidir.

  Soldan türev. $h < 0$ için $|h| = -h$ dir:

  $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-1) = -1$$

  Sağdan türev. $h > 0$ için $|h| = h$ dir:

  $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$$

  İki değer karşılaştırılır:

  $$-1 \neq 1$$

  Soldan ve sağdan türevler farklı olduğundan limit yoktur; fonksiyon $x = 0$ da türevlenemez.

  Fonksiyon $x = 0$ da süreklidir — grafiği kopmaz — ama orada bir köşe yapar. Bu, sürekliliğin türevlenebilirlik için yeterli olmadığının en temel örneğidir.

• 2Zorluk 3/5

  $f(x) = \begin{cases} x^2 & , \; x \le 1 \\ 2x - 1 & , \; x > 1 \end{cases}$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasında türevlenebilir olup olmadığını inceleyin.

  1. Adım — Süreklilik. Fonksiyon değeri, eşitliği taşıyan parçadan okunur:

  $$f(1) = 1^2 = 1$$

  Soldan limit:

  $$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$$

  Sağdan limit:

  $$\lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$$

  Üçü de $1$ e eşittir; fonksiyon $x = 1$ de süreklidir. Türevlenebilirliğin gerekli koşulu sağlandı, incelemeye devam edilir.

  2. Adım — Soldan türev. $h < 0$ için $1 + h < 1$ olduğundan üstteki parça kullanılır:

  $$f'(1^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}$$ $$= \lim_{h \to 0^-} \frac{h(2 + h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + h) = 2$$

  3. Adım — Sağdan türev. $h > 0$ için $1 + h > 1$ olduğundan alttaki parça kullanılır. $f(1) = 1$ değeri değişmez:

  $$f'(1^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\big[2(1+h) - 1\big] - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2 + 2h - 2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$$

  Sonuç. $f'(1^-) = f'(1^+) = 2$ olduğundan fonksiyon $x = 1$ de türevlenebilirdir ve $f'(1) = 2$ dir.

  Geometrik olarak parabol ile doğru, $x = 1$ noktasında aynı eğimle birleşmektedir; grafikte kırılma görünmez.

• 3Zorluk 3/5

  $f(x) = \begin{cases} x + 1 & , \; x < 2 \\ x^2 & , \; x \ge 2 \end{cases}$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında türevlenebilir olup olmadığını inceleyin.

  1. Adım — Süreklilik. Fonksiyon değeri, eşitliği taşıyan alttaki parçadan okunur:

  $$f(2) = 2^2 = 4$$

  Soldan limit:

  $$\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$$

  Sağdan limit:

  $$\lim_{x \to 2^+} x^2 = 4$$ $$3 \neq 4$$

  Soldan limit ile sağdan limit farklıdır; fonksiyon $x = 2$ de sürekli değildir.

  Sonuç. Türevlenebilen her fonksiyon süreklidir. Bu önermenin karşıt tersi gereği, sürekli olmayan bir fonksiyon türevlenemez. Dolayısıyla inceleme burada biter — soldan ve sağdan türevleri hesaplamaya gerek yoktur.

  Neden gerek yok — kontrol. Yine de soldan türev tanımdan yazılırsa, $f(2) = 4$ değeri kullanılmak zorundadır:

  $$f'(2^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{\big[(2+h) + 1\big] - 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h - 1}{h}$$

  $h \to 0^-$ için pay $-1$ e, payda ise negatif taraftan $0$ a gider. Limit $+\infty$ olur, yani yoktur.

  Buradaki tuzak şudur: soldaki parçanın türevi $1$ dir diye $f'(2^-) = 1$ yazılamaz. Süreksizlik, tanımdaki payı sıfıra götürmediği için hesabı bozar.

• 4Zorluk 3/5

  $f(x) = |x^2 - 4|$ fonksiyonunun türevsiz olduğu noktaları bulun.

  $f(x) = |g(x)|$ biçimindedir; burada $g(x) = x^2 - 4$ tür.

  Aday noktalar. Köşe ancak $g(x) = 0$ olan noktalarda oluşabilir:

  $$x^2 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \ \text{ veya } \ x = 2$$

  Ölçüt. Her kökte $g'$ değerine bakılır. $g'(x) = 2x$ tir:

  $$g'(-2) = -4 \neq 0, \qquad g'(2) = 4 \neq 0$$

  İki kökte de $g'$ sıfırdan farklıdır, dolayısıyla iki noktada da köşe vardır.

  Doğrulama — $x = 2$ için. Mutlak değer açılır. $x > 2$ için $x^2 - 4 > 0$ olduğundan $f(x) = x^2 - 4$, $x < 2$ için ise $x^2 - 4 < 0$ olduğundan $f(x) = 4 - x^2$ olur:

  $$f'(2^+) = 2x \Big|_{x=2} = 4, \qquad f'(2^-) = -2x \Big|_{x=2} = -4$$

  $4 \neq -4$ olduğundan $x = 2$ de türev yoktur. Aynı hesap $x = -2$ için de simetrik olarak yapılır.

  Sonuç. Fonksiyon $x = -2$ ve $x = 2$ noktalarında türevsizdir. Diğer her noktada türevlenebilirdir.

• 5Zorluk 3/5

  $f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & , \; x \le 2 \\ ax + b & , \; x > 2 \end{cases}$ fonksiyonu her reel sayıda türevlenebilir olduğuna göre $a$ ve $b$ değerlerini bulun.

  İki bilinmeyen vardır, dolayısıyla iki denklem gerekir. Birini süreklilik, diğerini türevlerin eşitliği verecek.

  1. Denklem — Süreklilik. Fonksiyon değeri üstteki parçadan okunur:

  $$f(2) = 2^2 + 3 = 7$$

  Sağdan limit buna eşit olmalıdır:

  $$\lim_{x \to 2^+} (ax + b) = 2a + b$$ $$2a + b = 7 \qquad (1)$$

  2. Denklem — Türevlerin eşitliği. Soldaki parçanın türevi $2x$, sağdaki parçanın türevi $a$ dır:

  $$f'(2^-) = 2 \cdot 2 = 4, \qquad f'(2^+) = a$$ $$a = 4 \qquad (2)$$

  Çözüm. $(2)$ denklemi $(1)$ de yerine konur:

  $$2 \cdot 4 + b = 7 \;\Rightarrow\; 8 + b = 7 \;\Rightarrow\; b = -1$$

  Kontrol. $a = 4$ ve $b = -1$ için alt parça $4x - 1$ olur. $x = 2$ de değeri $8 - 1 = 7$ dir ve üst parçanın değeri olan $7$ ile uyuşur. Eğimler de $4$ ve $4$ tür. İki koşul da sağlanır.

Sık yapılan hatalar

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.