← Türev konuları

Maksimum–Minimum Problemleri

Optimizasyon probleminde önce hedef büyüklük yazılır, kısıt kullanılarak tek değişkene indirgenir, tanım aralığı belirlenir; ekstremum türevle bulunur.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

  • Sözel bir problemde optimize edilecek büyüklüğü hedef fonksiyon olarak yazabilir
  • Kısıt denklemini kullanarak hedef fonksiyonu tek değişkene indirgeyebilir
  • Problemin fiziksel koşullarından değişkenin tanım aralığını belirleyebilir
  • Kritik noktaları ve uç noktaları karşılaştırarak mutlak ekstremumu bulabilir
  • Geometri, maliyet ve hareket bağlamlı problemleri türevle çözebilir

Önce şunları çalış

Problem türü

Bu konudaki soruların ortak yapısı şudur: bir büyüklük sabittir (kısıt), bir başka büyüklüğün en büyük ya da en küçük değeri aranır (hedef). Çit uzunluğu sabittir, alan en büyük olsun; hacim sabittir, malzeme en az olsun; toplam sabittir, çarpım en büyük olsun.

Matematiksel iş, sözel ifadeyi tek değişkenli bir fonksiyona çevirmektir. Bu çeviri yapıldıktan sonra geriye kalan, önceki konuların rutinidir.

Çözüm sırası

  1. Şekil çizilir, değişkenler adlandırılır. Geometrik problemlerde şekilsiz ilerlemek hataya davettir.
  2. Hedef fonksiyon yazılır. "Neyin en büyüğü aranıyor?" sorusunun cevabı bir formüle dökülür: A=xyA = xy, V=x2hV = x^2h, M=40x+20yM = 40x + 20y gibi.
  3. Kısıt denklemi yazılır ve bir değişken yok edilir. Hedef fonksiyon tek değişkenli hâle gelir. Bu adım atlanırsa türev alınamaz.
  4. Tanım aralığı belirlenir. Uzunluklar negatif olamaz, bir kenar toplam uzunluğu aşamaz. Aralık genellikle 0<x<a0 < x < a ya da [0, a][0,\,a] biçimindedir.
  5. Türev sıfırlanır, kritik noktalar bulunur. Aralık dışında kalan kökler atılır.
  6. Karşılaştırma yapılır ve sonuç soruya uygun büyüklükle yazılır. Kapalı aralıkta uç noktalar da listeye girer.

Örnek: duvara dayalı çit

Bir bahçenin bir kenarı duvara dayanmaktadır. Elde 120120 m çit vardır ve diğer üç kenar bu çitle çevrilecektir. Kapatılan alan en çok kaç metrekare olabilir?

Duvara dayalı dikdörtgen bahçe duvar x x y

1. Hedef fonksiyon. Aranan büyüklük alandır:

A=x⋅yA = x \cdot y

2. Kısıt. Çit yalnızca üç kenara gidecektir; duvar kenarı çit istemez:

2x+y=120 ⇒ y=120−2x2x + y = 120 \ \Rightarrow \ y = 120 - 2x

3. Tek değişkene indirgeme.

A(x)=x(120−2x)=120x−2x2A(x) = x(120-2x) = 120x - 2x^2

4. Tanım aralığı. x>0x > 0 ve y>0y > 0 olmalıdır:

120−2x>0 ⇒ x<60⇒0<x<60120 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 60 \qquad \Rightarrow \qquad 0 < x < 60

5. Türev.

A′(x)=120−4x=0 ⇒ x=30A'(x) = 120 - 4x = 0 \ \Rightarrow \ x = 30

6. Sonuç. A′A' nün işareti x=30x=30 da ++ dan −- ye döner; burası yerel maksimumdur. Aralıkta tek kritik nokta olduğu için aynı zamanda mutlak maksimumdur.

y=120−60=60,A=30⋅60=1800y = 120 - 60 = 60, \qquad A = 30 \cdot 60 = 1800 Hedef fonksiyonun grafiği: A(x) = 120x − 2x² (30, 1800) 0 60 A(x)

Hedef fonksiyon kolları aşağı bakan bir paraboldür; tepe noktası doğrudan çözümü verir. Grafiğin uçlarında A=0A=0 olması anlamlıdır: x→0x \to 0 iken bahçe bir çizgiye, x→60x \to 60 iken yine bir çizgiye dönüşür.

Tanım aralığı neden yazılır

Türev denklemi bazen fiziksel olarak imkânsız kökler verir. Kartondan kutu yapma probleminde V′(x)=0V'(x) = 0 denkleminin kökleri x=4x=4 ve x=12x=12 çıkar; ama karton 2424 cm olduğundan her köşeden en çok 1212 cm kesilebilir ve x=12x=12 kesildiğinde kutunun tabanı hiç kalmaz. x=12x=12 kökü, aralığın dışında ya da sınırında olduğu için atılır.

Tanım aralığı ayrıca hangi karşılaştırmanın yapılacağını belirler:

AralıkYapılacak
Kapalı [a, b][a,\,b]Kritik noktalar ve f(a)f(a), f(b)f(b) karşılaştırılır
Açık (a, b)(a,\,b)Uç noktalar listeye girmez; işaret değişimine bakılır

Tek kritik nokta yeterli midir

Optimizasyon problemlerinde çoğu zaman aralıkta tek bir kritik nokta çıkar. Bu durumda uzun tablolar kurmaya gerek yoktur, ama gerekçe yazılmalıdır: türevin işaret değişimi gösterilir ya da ikinci türev testi uygulanır.

İspat: tek kritik noktalı problemde mutlak ekstremum

ff, bir II aralığında sürekli olsun. II nın içinde tek bir cc kritik noktası bulunsun ve

x<c  ic¸in  f′(x)<0,x>c  ic¸in  f′(x)>0x < c \ \text{ için } \ f'(x) < 0, \qquad x > c \ \text{ için } \ f'(x) > 0

olsun. Bu durumda f(c)f(c), ff nin II üzerindeki mutlak minimumudur.

İspat. İki durum ayrı ayrı ele alınır.

II nın cc den küçük kısmında f′<0f' < 0 olduğundan, 8. konudaki ölçüte göre ff orada azalandır. Azalan bir fonksiyonda x<cx < c için

f(x)>f(c)f(x) > f(c)

II nın cc den büyük kısmında f′>0f' > 0 olduğundan ff orada artandır. Artan bir fonksiyonda x>cx > c için

f(x)>f(c)f(x) > f(c)

İki durum birleştirilirse, II daki her x≠cx \neq c için f(x)>f(c)f(x) > f(c) olur. Demek ki f(c)f(c), yalnızca yerel değil mutlak minimumdur. ■\blacksquare

İşaretler ters alındığında (f′>0f'>0 sonra f′<0f'<0) aynı akıl yürütme mutlak maksimum verir.

Bu önerme, optimizasyon problemlerinde neden uzun bir karşılaştırma yapmaya gerek kalmadığını açıklar: aralıkta tek kritik nokta varsa ve türev orada işaret değiştiriyorsa, bulunan değer aranan mutlak ekstremumdur.

Klasik kısıt–hedef çiftleri

ProblemKısıtHedef
Çit / çevre sabit2x+2y=P2x+2y = P ya da 2x+y=P2x+y=PA=xyA = xy en büyük
Alan sabit, çit en azxy=Axy = AC=2x+2yC = 2x+2y en küçük
Kutu hacmi sabitx2h=Vx^2h = VS=x2+4xhS = x^2 + 4xh en küçük
Kartondan kutu—V=x(a−2x)2V = x(a-2x)^2 en büyük
Toplam sabitx+y=Sx+y = SP=xyP = xy en büyük
Çarpım sabitxy=Pxy = PS=x+yS = x+y en küçük
Bir noktaya en yakıneğrinin denklemid2d^2 en küçük

Son satırdaki kısaltma önemlidir: uzaklığın kendisi yerine karesi en küçüklenir. d≥0d \ge 0 olduğundan dd ile d2d^2 aynı noktada en küçük olur, ama d2d^2 karekök taşımadığı için türevi çok daha sadedir.

Sonucun raporlanması

Soru neyi istiyorsa o yazılır. Türev denkleminden çıkan xx değeri çoğu zaman cevap değildir; ara bir sonuçtur.

SoruCevap
"Kenar uzunlukları ne olmalı?"xx ve yy
"En büyük alan kaçtır?"A(x)A(x) değeri
"En düşük maliyet kaç TL?"C(x)C(x) değeri
"Kaç saniye sonra?"tt değeri

Çözümlü örnekler

  • 1Zorluk 3/5

    Çarpımları 100100 olan iki pozitif sayının toplamı en az kaç olabilir? Bu toplamın bir en büyük değeri var mıdır?

    1. Değişkenler ve kısıt. Sayılar x>0x>0 ve y>0y>0 olsun:

    xy=100 ⇒ y=100xxy = 100 \ \Rightarrow \ y = \frac{100}{x}

    2. Hedef fonksiyon.

    S(x)=x+y=x+100xS(x) = x + y = x + \frac{100}{x}

    3. Tanım aralığı. xx herhangi bir pozitif sayı olabilir:

    x∈(0, +∞)x \in (0,\,+\infty)

    Aralık açıktır; uç noktası yoktur.

    4. Türev.

    S′(x)=1−100x2=x2−100x2S'(x) = 1 - \frac{100}{x^2} = \frac{x^2-100}{x^2}

    Payda daima pozitiftir; işareti x2−100x^2-100 belirler.

    S′(x)=0 ⇒ x2=100 ⇒ x=10(x>0)S'(x) = 0 \ \Rightarrow \ x^2 = 100 \ \Rightarrow \ x = 10 \quad (x>0)

    5. İşaret ve tür.

    xx001010+∞+\infty
    S′(x)S'(x)−-00++

    İşaret −- den ++ ya döndüğü için x=10x=10 bir yerel minimumdur. Aralıkta tek kritik nokta olduğundan bu aynı zamanda mutlak minimumdur.

    y=10010=10,S=10+10=20y = \frac{100}{10} = 10, \qquad S = 10+10 = 20

    6. Maksimum var mı?

    x→0+ iken 100x→+∞,x→+∞ iken x→+∞x \to 0^+ \ \text{iken} \ \frac{100}{x} \to +\infty, \qquad x \to +\infty \ \text{iken} \ x \to +\infty

    Toplam iki uçta da sınırsız büyür. En büyük değer yoktur.

    Cevap: En küçük toplam 2020 dir; en büyük toplam yoktur.

    Neden maksimum yok. Aralık açık olduğu için uç noktalarda hesaplanacak bir değer bulunmuyor ve fonksiyon iki uçta da sınırsız büyüyor. Kapalı aralık teoremi yalnızca kapalı aralıklarda mutlak ekstremumun varlığını garanti eder.

  • 2Zorluk 4/5

    Kare tabanlı, kapaksız bir kutunun hacmi 3232 cm³ olacaktır. Kullanılan malzeme (toplam yüzey alanı) en az olduğunda taban kenarı ve yükseklik kaç cm dir?

    Kare tabanlı kapaksız kutu üstü açık x x h

    1. Değişkenler. Taban kenarı xx, yükseklik hh olsun.

    2. Kısıt. Hacim sabittir:

    x2h=32 ⇒ h=32x2x^2 h = 32 \ \Rightarrow \ h = \frac{32}{x^2}

    3. Hedef fonksiyon. Kutu kapaksız olduğu için bir taban ve dört yan yüz vardır:

    S=x2+4xhS = x^2 + 4xh

    Kısıt yerine konur:

    S(x)=x2+4x⋅32x2=x2+128xS(x) = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}

    4. Tanım aralığı. x>0x > 0 olmalıdır; aralık (0, +∞)(0,\,+\infty) dur.

    5. Türev.

    S′(x)=2x−128x2=2x3−128x2S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = \frac{2x^3 - 128}{x^2} S′(x)=0 ⇒ 2x3=128 ⇒ x3=64 ⇒ x=4S'(x) = 0 \ \Rightarrow \ 2x^3 = 128 \ \Rightarrow \ x^3 = 64 \ \Rightarrow \ x = 4

    6. Tür kontrolü. İkinci türev alınır:

    S′′(x)=2+256x3S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}

    x>0x>0 için S′′(x)>0S''(x) > 0 dır; fonksiyon tüm aralıkta konvekstir ve x=4x=4 mutlak minimumdur.

    7. Sonuç.

    h=3216=2,S=16+1284=16+32=48h = \frac{32}{16} = 2, \qquad S = 16 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48

    Cevap: Taban kenarı 44 cm, yükseklik 22 cm; en az malzeme 4848 cm² dir.

    Dikkat çeken oran. h=2h = 2 ve x=4x = 4 olduğundan h=x2h = \dfrac{x}{2} dir. Bu, kare tabanlı kapaksız kutularda hacimden bağımsız olarak geçerlidir; A15 sorusunda genel hâli gösterilecektir.

  • 3Zorluk 4/5

    Kenar uzunluğu 2424 cm olan kare biçimindeki bir kartonun dört köşesinden, kenar uzunluğu xx olan birer kare kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Hacmin en büyük olması için xx kaç cm olmalıdır?

    Köşelerinden kare kesilen karton köşelerden kesilen kareler x 24 cm

    1. Kutunun boyutları. Her kenardan iki köşe kesildiği için taban kenarı 24−2x24-2x olur; katlanan parçanın yüksekliği xx tir.

    2. Hedef fonksiyon.

    V(x)=x(24−2x)2V(x) = x(24-2x)^2

    3. Tanım aralığı. Taban kenarı pozitif olmalıdır:

    24−2x>0 ⇒ x<12⇒0<x<1224 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 12 \qquad \Rightarrow \qquad 0 < x < 12

    4. Türev. Çarpım ve zincir kuralı birlikte kullanılır:

    V′(x)=(24−2x)2+x⋅2(24−2x)(−2)V'(x) = (24-2x)^2 + x \cdot 2(24-2x)(-2)

    Ortak çarpan (24−2x)(24-2x) parantezine alınır:

    V′(x)=(24−2x)[(24−2x)−4x]=(24−2x)(24−6x)V'(x) = (24-2x)\bigl[(24-2x) - 4x\bigr] = (24-2x)(24-6x)

    5. Kökler.

    24−2x=0 ⇒ x=1224−6x=0 ⇒ x=424-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 12 \qquad\qquad 24-6x = 0 \ \Rightarrow \ x = 4

    x=12x=12 kökü aralığın dışındadır (sınırdadır) ve orada V=0V=0 olur; atılır. Geriye x=4x=4 kalır.

    6. Tür kontrolü. 0<x<40<x<4 için her iki çarpan da pozitiftir, V′>0V'>0. 4<x<124<x<12 için 24−2x>024-2x>0 ama 24−6x<024-6x<0 olduğundan V′<0V'<0. İşaret ++ dan −- ye döner: yerel maksimum, aralıkta tek kritik nokta olduğu için mutlak maksimum.

    7. Sonuç.

    V(4)=4⋅(24−8)2=4⋅256=1024V(4) = 4 \cdot (24-8)^2 = 4 \cdot 256 = 1024

    Cevap: x=4x = 4 cm olmalıdır; en büyük hacim 10241024 cm³ tür.

    Uç noktalar. Aralık kapalı alınsaydı (0≤x≤120 \le x \le 12) uç noktalarda V(0)=0V(0)=0 ve V(12)=0V(12)=0 çıkardı. İkisi de en küçük değeri verir; maksimum yine içeridedir.

  • 4Zorluk 4/5

    y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki noktalardan A(0, 3)A(0,\,3) noktasına en yakın olanları bulun.

    Parabol üzerinde bir noktaya en yakın noktalar A(0, 3) y = x²

    1. Değişken. Parabol üzerindeki nokta P(x, x2)P(x,\,x^2) biçimindedir. Tek bir değişken (x)(x) yeterlidir; kısıt zaten eğrinin denklemine gömülüdür.

    2. Hedef fonksiyon. Uzaklığın karesi en küçüklenir:

    d2=(x−0)2+(x2−3)2d^2 = (x-0)^2 + (x^2-3)^2 g(x)=x2+x4−6x2+9=x4−5x2+9g(x) = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9

    3. Neden kare. d≥0d \ge 0 olduğundan dd ile d2d^2 aynı xx değerinde en küçük olur. d2d^2 karekök taşımadığı için türevi çok daha sadedir.

    4. Türev.

    g′(x)=4x3−10x=2x(2x2−5)g'(x) = 4x^3 - 10x = 2x(2x^2-5) g′(x)=0 ⇒ x=0ya dax2=52 ⇒ x=±52=±102g'(x) = 0 \ \Rightarrow \ x = 0 \quad \text{ya da} \quad x^2 = \frac{5}{2} \ \Rightarrow \ x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}

    5. İşaret tablosu. 2x(2x2−5)2x(2x^2-5) ifadesinin kökleri −102≈−1,58-\frac{\sqrt{10}}{2} \approx -1{,}58, 00 ve 102≈1,58\frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}58 tir.

    xx−∞-\infty−102-\frac{\sqrt{10}}{2}00102\frac{\sqrt{10}}{2}+∞+\infty
    g′(x)g'(x)−-00++00−-00++

    İki uçtaki kökler yerel minimum, x=0x=0 ise yerel maksimum verir.

    6. Değerler.

    g ⁣(±102)=(52)2−5⋅52+9=254−252+9=114g\!\left(\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 9 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9 = \frac{11}{4} d=114=112d = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

    Noktaların ordinatı y=x2=52y = x^2 = \dfrac{5}{2} dir.

    Cevap: En yakın noktalar (±102, 52)\left(\pm\frac{\sqrt{10}}{2},\,\frac{5}{2}\right), en kısa uzaklık 112\frac{\sqrt{11}}{2} dir.

    x=0x=0 neden maksimum. Orijin, AA ya olan uzaklığı 33 olan bir noktadır; 112≈1,66<3\frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1{,}66 < 3 olduğuna göre orijin en yakın nokta değildir. Simetrik iki minimum arasındaki bu tepe, çift fonksiyonlarda beklenen davranıştır: gg yalnızca çift kuvvetler içerdiği için yy eksenine göre simetriktir.

  • 5Zorluk 3/5

    Bir üretici günde xx adet ürün ürettiğinde toplam maliyeti C(x)=x2+20x+900C(x) = x^2 + 20x + 900 TL olmaktadır. Ürünün birim satış fiyatı 120120 TL olduğuna göre günlük kâr en çok kaç TL olur ve bu kaç adet üretimle sağlanır?

    1. Hedef fonksiyon. Kâr, gelir ile maliyetin farkıdır. Gelir, birim fiyat çarpı adettir:

    K(x)=120x−C(x)=120x−(x2+20x+900)K(x) = 120x - C(x) = 120x - (x^2 + 20x + 900) K(x)=−x2+100x−900K(x) = -x^2 + 100x - 900

    2. Tanım aralığı. Üretim miktarı negatif olamaz: x≥0x \ge 0.

    3. Türev.

    K′(x)=−2x+100=0 ⇒ x=50K'(x) = -2x + 100 = 0 \ \Rightarrow \ x = 50

    4. Tür kontrolü.

    K′′(x)=−2<0K''(x) = -2 < 0

    İkinci türev her yerde negatiftir; fonksiyon konkavdır ve x=50x=50 mutlak maksimumdur.

    5. Sonuç.

    K(50)=−2500+5000−900=1600K(50) = -2500 + 5000 - 900 = 1600

    Cevap: Günde 5050 adet üretildiğinde kâr en çok 16001600 TL olur.

    Yorum. K(x)=−x2+100x−900K(x) = -x^2+100x-900 bir paraboldür ve kökleri K(x)=0K(x)=0 denkleminden x=10x=10 ile x=90x=90 çıkar. Üretim 1010 adedin altında ya da 9090 adedin üstünde olduğunda üretici zarar eder; kâr yalnızca bu iki değer arasında pozitiftir ve tam ortada, x=50x=50 de en büyüktür.

Sık yapılan hatalar

Hedef fonksiyonu iki değişkenli bırakmak

Hata: A=xyA = xy yazılır ve doğrudan türev alınmaya çalışılır.

Neden yanlış: Türev tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlıdır. xx ile yy birbirinden bağımsız değildir; aralarındaki bağ kısıt denklemidir ve kullanılmadan ilerlenemez.

Doğrusu: Kısıttan yy çekilip hedefte yerine konur. 2x+y=1202x+y=120 ise y=120−2xy=120-2x yazılır ve A(x)=120x−2x2A(x) = 120x - 2x^2 elde edilir.

Tanım aralığını yazmamak

Hata: f′(x)=0f'(x)=0 çözülür, çıkan bütün kökler cevap olarak değerlendirilir.

Neden yanlış: Uzunluk, alan ve süre negatif olamaz; bir kenar toplam uzunluğu aşamaz. 2424 cm'lik kartondan kutu probleminde V′(x)=0V'(x)=0 denkleminin kökleri 44 ve 1212 dir, ama x=12x=12 için kutunun tabanı hiç kalmaz ve hacim sıfır olur.

Doğrusu: Değişkenin fiziksel olarak alabileceği değerler bir aralık olarak yazılır; bu aralığın dışındaki kökler elenir.

Kapalı aralıkta uç noktaları atlamak

Hata: Yalnızca kritik noktaların değerleri karşılaştırılır.

Neden yanlış: Kapalı bir aralıkta mutlak ekstremum uç noktada da olabilir. 1212 cm'lik telin bir parçasından kare, diğerinden çember yapılan problemde toplam alanın en küçüğü içeride, en büyüğü ise uç noktadadır: telin tamamı çembere ayrıldığında.

Doğrusu: Kapalı aralıkta kritik noktaların yanı sıra f(a)f(a) ve f(b)f(b) de hesaplanır.

Bulunan xx değerini cevap sanmak

Hata: A′(x)=0A'(x)=0 denkleminden x=30x=30 bulunur ve cevap 3030 yazılır.

Neden yanlış: Soru "en büyük alan kaçtır" diyorsa cevap 3030 değil A(30)=1800A(30) = 1800 dür. xx, hedefin en büyük olduğu yeri verir; hedefin değerini değil.

Doğrusu: Bulunan xx hedef fonksiyonda yerine konur ve sorunun istediği büyüklük yazılır.

Türev sıfır oldu diye "en büyük" demek

Hata: f′(x)=0f'(x)=0 çözülür ve bulunan noktanın maksimum olduğu varsayılır.

Neden yanlış: Aynı denklem minimumu da, hiçbir ekstremum olmayan noktayı da verir. Çarpımı 100100 olan iki sayının toplamı probleminde kritik nokta bir minimum verir; maksimum yoktur, çünkü sayılardan biri büyüdükçe toplam sınırsız büyür.

Doğrusu: İşaret değişimi ya da ikinci türev testiyle noktanın türü belirlenir; ayrıca "maksimum var mı" sorusu aralığın açık ya da kapalı olmasıyla birlikte düşünülür.

Formül kartı

  hedef=f(x,y) →yerine koykısıt f(x) → f′(x)=0  kritik nokta →aralıkla kars¸ılas¸tır sonuc¸  \boxed{\;\text{hedef} = f(x,y) \ \xrightarrow[\text{yerine koy}]{\text{kısıt}} \ f(x) \ \xrightarrow{\ f'(x)=0\ } \ \text{kritik nokta} \ \xrightarrow{\text{aralıkla karşılaştır}} \ \text{sonuç}\;}

Altı adım

  1. Şekil ve değişkenler → 2. Hedef fonksiyon → 3. Kısıtla tek değişkene indirgeme → 4. Tanım aralığı → 5. f′(x)=0f'(x)=0 → 6. Karşılaştırma ve raporlama

Sık kullanılan formüller

ŞekilFormüller
DikdörtgenA=xyA = xy,  P=2x+2y\ P = 2x+2y
Kare tabanlı kapaksız kutuV=x2hV = x^2h,  S=x2+4xh\ S = x^2+4xh
Kare tabanlı kapaklı kutuV=x2hV = x^2h,  S=2x2+4xh\ S = 2x^2+4xh
Silindir (kapaklı)V=πr2hV = \pi r^2 h,  S=2πr2+2πrh\ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h
İki nokta arası uzaklıkd2=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2

Kısayollar

  • Uzaklık en küçüklenirken dd yerine d2d^2 kullanılır.
  • Aralıkta tek kritik nokta varsa ve türev orada işaret değiştiriyorsa, sonuç mutlak ekstremumdur.
  • Kapalı aralıkta uç noktalar her zaman listeye girer.

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →

Siteyi çalıştırmak için gerekli çerezleri kullanıyoruz. Detaylar için: Çerez Politikası