Değişim Hızı Problemleri

Bir büyüklüğün zamana göre türevi değişim hızıdır. Bağlı büyüklüklerde bağıntının zamana göre türevi alınır; sayısal değerler sonra yerine konur.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir büyüklüğün zamana göre değişim hızını türev olarak yorumlayabilir
Birbirine bağlı iki büyüklük arasındaki bağıntının zamana göre türevini alabilir
Verilen anın sayısal değerlerini doğru sırada yerine koyarak aranan hızı bulabilir
Değişim hızının işaretini artma ya da azalma olarak yorumlayabilir
Geometrik ve gerçek yaşam bağlamlı problemleri değişim hızıyla çözebilir

Önce şunları çalış

Değişim hızı

Bir büyüklük zamanla değişiyorsa, onun zamana göre türevi değişim hızını verir. Bu, türevin ilk konudaki tanımının doğrudan uygulanmasıdır: anlık değişim oranı.

\frac{dV}{dt}, \qquad \frac{dr}{dt}, \qquad \frac{dh}{dt}

Bu konuda Leibniz gösterimi tercih edilir, çünkü neye göre türev alındığını yazının kendisi söyler. $V'$ yazıldığında hangi değişkene göre türev alındığı belirsiz kalır; $\dfrac{dV}{dt}$ yazıldığında belirsizlik kalmaz.

Birim. Değişim hızının birimi, büyüklüğün biriminin zaman birimine bölümüdür:

Büyüklük	Değişim hızı
yarıçap (cm)	cm/s
alan (cm²)	cm²/s
hacim (m³)	m³/dk
uzaklık (km)	km/s

İşaret. Değişim hızı pozitifse büyüklük artıyor, negatifse azalıyordur. Bir problemde "su boşalıyor" ya da "yükseklik azalıyor" deniyorsa ilgili hız negatif yazılır.

Bağlı değişim hızları

Bu konunun asıl konusu şudur: iki büyüklük bir bağıntıyla birbirine bağlıysa, birinin değişim hızı bilindiğinde diğerininki hesaplanabilir. Balon şişerken yarıçap artar ve hacim de artar; ikisi $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ bağıntısıyla bağlıdır.

Yöntem:

Şekil çizilir, büyüklükler adlandırılır. Değişen her büyüklük zamanın fonksiyonudur, sabit sayı değildir.
Verilen ve istenen hızlar yazılır: $\dfrac{dr}{dt} = 2$ verilmiş, $\dfrac{dV}{dt} = ?$ isteniyor.
Bağıntı kurulur — geometrik bir formül ya da fiziksel bir ilişki.
Bağıntının iki tarafının da zamana göre türevi alınır. Burada zincir kuralı devreye girer.
Verilen anın sayısal değerleri, ancak bu adımdan sonra yerine konur.
Sonuç birimiyle yazılır.

Beşinci adım bu konudaki en kritik noktadır ve kendi başlığını hak eder.

Sayısal değerler neden sonra konur

$r = 5$ cm anındaki hacim değişim hızı soruluyor olsun. Sayı en baştan yerine konursa:

V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{500\pi}{3}

Bu bir sabittir ve türevi sıfırdır. Oysa hacim gerçekten değişmektedir. Hata şuradadır: $r=5$ yalnızca tek bir anda doğrudur; bağıntı ise her an geçerli olmalıdır ki türevi alınabilsin.

Doğru sıra şudur: önce bağıntı türevlenir,

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}

sonra o ana ait değerler konur.

Örnek: şişen balon

Küre biçimindeki bir balonun yarıçapı saniyede $2$ cm artmaktadır. Yarıçap $5$ cm iken hacim ne hızla artmaktadır?

1. Verilenler.

\frac{dr}{dt} = 2 \ \text{cm/s}, \qquad r = 5 \ \text{cm}, \qquad \frac{dV}{dt} = ?

2. Bağıntı.

V = \frac{4}{3}\pi r^3

3. Zamana göre türev. $r$ de zamanın fonksiyonu olduğu için zincir kuralı uygulanır:

\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}

4. Değerler yerine konur.

\frac{dV}{dt} = 4\pi \cdot 25 \cdot 2 = 200\pi \ \text{cm³/s}

Sonucun $4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}$ biçiminde çıkması anlamlıdır: $4\pi r^2$ kürenin yüzey alanıdır. Balon, yüzeyinin her noktasından $\frac{dr}{dt}$ hızıyla dışa doğru büyümektedir.

Örnek: duvara dayalı merdiven

$5$ m uzunluğundaki bir merdivenin alt ucu duvardan saniyede $0{,}5$ m hızla uzaklaşmaktadır. Alt uç duvardan $3$ m uzaktayken merdivenin üst ucu ne hızla hareket etmektedir?

1. Bağıntı. Duvar, yer ve merdiven bir dik üçgen oluşturur:

x^2 + y^2 = 25

2. Zamana göre türev. Her iki terime de zincir kuralı uygulanır:

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0

x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \cdot \frac{dx}{dt}

3. O anki değerler. $x=3$ iken

y = \sqrt{25-9} = 4

\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4} \cdot 0{,}5 = -0{,}375 \ \text{m/s}

Yorum. Sonucun negatif çıkması, üst ucun aşağı doğru hareket ettiğini gösterir. Büyüklüğün kendisi $(y)$ azalmaktadır.

Sabit hız yanılgısı. Alt uç sabit hızla uzaklaşsa da üst uç sabit hızla inmez. $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\cdot 0{,}5$ ifadesinde $x$ büyürken $y$ küçülür; oran hızla büyür. Merdiven yere yaklaşırken $(y \to 0)$ üst ucun hızı sınırsız artar.

Örnek: koni biçimli depo

Yüksekliği $12$ m, üst yarıçapı $6$ m olan ters koni biçimindeki bir depoya dakikada $3$ m³ su doldurulmaktadır. Su derinliği $4$ m iken su seviyesi ne hızla yükselmektedir?

1. İki değişken var. Su, koni biçiminde bir hacim doldurur:

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Ama hem $r$ hem $h$ değişmektedir. Türev almadan önce biri elenmelidir.

2. Benzerlikle eleme. Su yüzeyinin yarıçapı ile derinliği, deponun ölçüleriyle orantılıdır:

\frac{r}{h} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ r = \frac{h}{2}

Bu oran her an geçerlidir; bu yüzden bağıntıya konabilir.

V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}

3. Zamana göre türev.

\frac{dV}{dt} = \frac{\pi \cdot 3h^2}{12} \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt}

4. Değerler. $\frac{dV}{dt} = 3$ ve $h=4$ konur:

3 = \frac{\pi \cdot 16}{4} \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi \cdot \frac{dh}{dt}

\frac{dh}{dt} = \frac{3}{4\pi} \ \text{m/dk}

Ayrım. $r = \frac{h}{2}$ bağıntısı her an doğru olduğu için türevden önce yerine konabilir. $h=4$ ise yalnızca tek bir anda doğrudur; türevden sonra konmalıdır. İki sayı arasındaki bu fark, konunun özüdür.

Örnek: birbirinden uzaklaşan iki araç

Bir araç bir kavşaktan kuzeye doğru saatte $60$ km, diğeri aynı kavşaktan doğuya doğru saatte $80$ km hızla ayrılmaktadır. $2$ saat sonra aralarındaki uzaklık ne hızla artmaktadır?

1. Bağıntı. Yönler dik olduğundan

z^2 = x^2 + y^2

2. Türev.

2z\frac{dz}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} \ \Rightarrow \ z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}

3. O anki değerler. $2$ saat sonra:

x = 160, \qquad y = 120, \qquad z = \sqrt{160^2+120^2} = \sqrt{40000} = 200

200 \cdot \frac{dz}{dt} = 160 \cdot 80 + 120 \cdot 60 = 12800 + 7200 = 20000

\frac{dz}{dt} = 100 \ \text{km/s}

Kontrol. İki hızın büyüğü $80$ dir; aralarındaki uzaklık, tek bir aracın hızından daha hızlı büyümektedir. Bu beklenen bir sonuçtur: $\sqrt{60^2+80^2} = 100$ olduğundan, dik yönlerde ayrılan iki cismin arasındaki uzaklık sabit $100$ km/s hızla artar.

Örnek: gölge boyu

Boyu $1{,}8$ m olan bir kişi, $5{,}4$ m yüksekliğindeki bir sokak lambasından saniyede $1{,}5$ m hızla uzaklaşmaktadır. Gölgesinin boyu ne hızla uzamaktadır?

1. Değişkenler. Kişinin lambaya uzaklığı $x$ , gölgesinin boyu $s$ olsun.

2. Bağıntı — benzerlik. Lambanın tepesi, kişinin başı ve gölgenin ucu aynı doğru üzerindedir. İki benzer üçgenden

\frac{x+s}{5{,}4} = \frac{s}{1{,}8}

1{,}8(x+s) = 5{,}4 s \ \Rightarrow \ 1{,}8x = 3{,}6s \ \Rightarrow \ s = \frac{x}{2}

3. Türev.

\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 = 0{,}75 \ \text{m/s}

Gölgenin ucu ne kadar hızlı ilerler? Ucun lambaya uzaklığı $x+s = \frac{3x}{2}$ dir:

\frac{d(x+s)}{dt} = \frac{3}{2} \cdot 1{,}5 = 2{,}25 \ \text{m/s}

Gölgenin boyu ile ucunun konumu farklı büyüklüklerdir ve farklı hızlarla değişirler. Soruda hangisinin istendiğine dikkat edilmelidir.

Dikkat çeken nokta. Her iki hız da $x$ ten bağımsız çıktı — kişi lambadan ne kadar uzakta olursa olsun gölge aynı hızla uzar. Bunun nedeni bağıntının doğrusal olmasıdır. Merdiven probleminde bağıntı doğrusal olmadığı için hız sabit değildi.

İspat: bağlı değişim hızı formülü zincir kuralıdır

$V$ büyüklüğü $r$ ye, $r$ de zamana bağlı olsun: $V = f(r)$ ve $r = r(t)$ . Bu durumda $V$ , $t$ nin bir bileşke fonksiyonudur:

V(t) = f\bigl(r(t)\bigr)

Zincir kuralı doğrudan uygulanır:

\frac{dV}{dt} = f'\bigl(r(t)\bigr) \cdot r'(t) = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}

Demek ki bu konudaki bütün hesaplar, 4. konudaki zincir kuralının tek bir özel durumudur: dış değişken bağıntıdan, iç değişken zamandan gelir.

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ için $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$ olduğundan

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}

Sıra neden önemli. Formülde $\dfrac{dV}{dr}$ çarpanı bir fonksiyondur, sabit değil. $r=5$ değeri türev alınmadan önce yerine konursa $f$ sabit bir fonksiyona dönüşür ve $\dfrac{dV}{dr} = 0$ çıkar. Zincir kuralının uygulanabilmesi için bağıntının bir komşulukta geçerli olması gerekir; tek bir noktada geçerli olması yetmez.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 3/5
Bir küpün ayrıt uzunluğu saniyede $2$ cm artmaktadır. Ayrıt uzunluğu $5$ cm iken küpün hacmi ve toplam yüzey alanı ne hızla değişmektedir?
1. Verilenler. Ayrıt uzunluğu $a$ olsun.
$\frac{da}{dt} = 2 \ \text{cm/s}, \qquad a = 5 \ \text{cm}$
2. Hacim. Bağıntı $V = a^3$ tür. Zamana göre türev alınırken $a$ nın da zamanın fonksiyonu olduğu unutulmaz:
$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \cdot \frac{da}{dt}$ $\frac{dV}{dt} = 3 \cdot 25 \cdot 2 = 150 \ \text{cm³/s}$
3. Yüzey alanı. Küpün altı yüzü vardır: $S = 6a^2$ .
$\frac{dS}{dt} = 12a \cdot \frac{da}{dt} = 12 \cdot 5 \cdot 2 = 120 \ \text{cm²/s}$
Cevap: Hacim $150$ cm³/s, yüzey alanı $120$ cm²/s hızla artmaktadır.

Birim kontrolü. $\frac{dV}{dt}$ için $3a^2 \cdot \frac{da}{dt}$ çarpımının birimi cm² · (cm/s) = cm³/s dir; hacmin zamana göre değişimi için beklenen birim tam olarak budur. Zincir kuralındaki $\frac{da}{dt}$ çarpanı unutulsaydı birim cm² çıkardı ve tutarsızlık hemen görülürdü.

Sık yapılan hata. $a=5$ değerini baştan yerine koyup $V = 125$ yazmak. Bu bir sabittir, türevi sıfırdır — oysa hacim gerçekten değişmektedir.
2Zorluk 4/5
Durgun suya atılan bir taşın oluşturduğu dairesel dalganın alanı saniyede $24\pi$ cm² artmaktadır. Yarıçap $6$ cm iken yarıçap ve çevre ne hızla artmaktadır?
1. Verilenler.
$\frac{dA}{dt} = 24\pi \ \text{cm²/s}, \qquad r = 6 \ \text{cm}, \qquad \frac{dr}{dt} = ?$
2. Bağıntı ve türevi.
$A = \pi r^2 \ \Rightarrow \ \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}$
3. Yarıçapın hızı. Değerler yerine konur:
$24\pi = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{dr}{dt} = 12\pi \cdot \frac{dr}{dt}$ $\frac{dr}{dt} = \frac{24\pi}{12\pi} = 2 \ \text{cm/s}$
4. Çevrenin hızı. İkinci bir bağıntı kullanılır:
$C = 2\pi r \ \Rightarrow \ \frac{dC}{dt} = 2\pi \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \ \text{cm/s}$
Cevap: Yarıçap $2$ cm/s, çevre $4\pi$ cm/s hızla artmaktadır.

Gözlem. Çevrenin değişim hızı $r$ ye bağlı değildir, çünkü $C = 2\pi r$ bağıntısı doğrusaldır. Alanın değişim hızı ise $r$ büyüdükçe artar: aynı $\frac{dr}{dt}$ ile daha büyük bir dairenin alanı daha hızlı büyür. Bu, $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ ifadesindeki $r$ çarpanının doğrudan anlamıdır.
3Zorluk 4/5
Bir konveyör bandı, kum dökerek koni biçiminde bir yığın oluşturmaktadır. Yığının yüksekliği her zaman taban yarıçapına eşit kalmaktadır. Hacim dakikada $12\pi$ m³ artarken, yükseklik $4$ m iken yükseklik ne hızla artmaktadır?

1. İki değişkenden birini elemek. Koninin hacmi
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Burada hem $r$ hem $h$ değişir. Ama problem, her an $r = h$ olduğunu söylüyor; bu bağıntı her an geçerli olduğu için türevden önce yerine konabilir:
$V = \frac{1}{3}\pi h^2 \cdot h = \frac{\pi h^3}{3}$
2. Zamana göre türev.
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi \cdot 3h^2}{3} \cdot \frac{dh}{dt} = \pi h^2 \cdot \frac{dh}{dt}$
3. Değerler. $\frac{dV}{dt} = 12\pi$ ve $h=4$ konur:
$12\pi = \pi \cdot 16 \cdot \frac{dh}{dt}$ $\frac{dh}{dt} = \frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} \ \text{m/dk}$
Cevap: Yükseklik dakikada $\frac{3}{4}$ m artmaktadır.

Neden yavaşlar. $\frac{dh}{dt} = \frac{12}{h^2}$ olduğuna göre yığın yükseldikçe yükselme hızı azalır: $h=4$ te $0{,}75$ m/dk iken $h=8$ de $0{,}1875$ m/dk olur. Aynı miktarda kum, daha büyük bir koniye daha ince bir katman olarak yayılır.

Ayrım. $r=h$ bağıntısı her an doğrudur, türevden önce konur. $h=4$ ise yalnızca bir andaki değerdir, türevden sonra konur.
4Zorluk 4/5
Bir uçak, yerden $6$ km yükseklikte yatay olarak saatte $480$ km hızla uçmaktadır. Uçak bir radar istasyonunun tam üzerinden geçtikten sonra, radar ile uçak arasındaki uzaklık $10$ km olduğu anda bu uzaklık ne hızla artmaktadır?

1. Değişkenler. Uçağın radarın tam üzerindeki noktadan yatay uzaklığı $x$ , radar ile uçak arasındaki uzaklık $z$ olsun. Yükseklik sabittir: $6$ km.

2. Bağıntı. Yükseklik düşey, uçuş yatay olduğundan dik üçgen oluşur:
$z^2 = x^2 + 6^2 = x^2 + 36$
3. Zamana göre türev. Sabit olan $36$ nın türevi sıfırdır:
$2z\frac{dz}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} \ \Rightarrow \ z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt}$
4. O anki değerler. $z=10$ iken
$x^2 = 100 - 36 = 64 \ \Rightarrow \ x = 8$ $10 \cdot \frac{dz}{dt} = 8 \cdot 480 = 3840$ $\frac{dz}{dt} = 384 \ \text{km/s}$
Cevap: Uzaklık saatte $384$ km hızla artmaktadır.

Neden uçağın hızından küçük. Uçak $480$ km/s ile uçuyor ama aralarındaki uzaklık daha yavaş büyüyor. Bunun nedeni hareketin bir kısmının uzaklığı değil, yönü değiştirmesidir. $\frac{dz}{dt} = \frac{x}{z}\frac{dx}{dt}$ ifadesindeki $\frac{x}{z} = \frac{8}{10}$ oranı tam olarak bu payı verir. Uçak çok uzaklaştığında $\frac{x}{z} \to 1$ olur ve iki hız birbirine yaklaşır.

Radarın tam üzerinde. $x=0$ anında $\frac{dz}{dt} = 0$ dır: uçak tam tepedeyken uzaklık bir an için değişmez, çünkü orası uzaklığın en küçük olduğu andır.
5Zorluk 4/5
Bir dikdörtgenin uzun kenarı saniyede $3$ cm artarken kısa kenarı saniyede $2$ cm azalmaktadır. Uzun kenar $10$ cm, kısa kenar $6$ cm iken dikdörtgenin alanı ve çevresi ne hızla değişmektedir?
1. Verilenler. Uzun kenar $x$ , kısa kenar $y$ olsun. Kısa kenar azaldığı için hızı negatif yazılır:
$\frac{dx}{dt} = 3 \ \text{cm/s}, \qquad \frac{dy}{dt} = -2 \ \text{cm/s}$ $x = 10, \qquad y = 6$
2. Alan. Bağıntı $A = xy$ dir; iki değişken de zamana bağlı olduğundan çarpım kuralı uygulanır:
$\frac{dA}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dt}$ $\frac{dA}{dt} = 3 \cdot 6 + 10 \cdot (-2) = 18 - 20 = -2 \ \text{cm²/s}$
Sonuç negatiftir: alan azalmaktadır.

3. Çevre.
$P = 2x + 2y \ \Rightarrow \ \frac{dP}{dt} = 2\frac{dx}{dt} + 2\frac{dy}{dt} = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 6 - 4 = 2 \ \text{cm/s}$
Sonuç pozitiftir: çevre artmaktadır.

Cevap: Alan $2$ cm²/s hızla azalır, çevre $2$ cm/s hızla artar.

Aynı anda ters yönler. Çevre artarken alanın azalması çelişki değildir. Dikdörtgen giderek uzayıp incelmektedir; toplam kenar uzunluğu artsa da kapladığı alan küçülmektedir. Sabit çevreli dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanın kare olduğu hatırlanırsa, kareden uzaklaşmanın alanı düşürmesi beklenen bir sonuçtur.

İşaretin rolü. $\frac{dy}{dt}$ pozitif yazılsaydı alan için $18+20 = 38$ cm²/s bulunurdu — hem büyüklük hem yön yanlış olurdu.

Sık yapılan hatalar

Sayısal değerleri türev almadan önce yerine koymak

Hata: $r=5$ verildiği için önce $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125$ yazılır, sonra türev alınır.

Neden yanlış: Bu ifade artık bir sabittir; türevi sıfırdır. Oysa hacim değişmektedir. $r=5$ yalnızca tek bir anda doğrudur, bağıntı ise her an geçerli olmalıdır.

Doğrusu: Önce $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ifadesinin türevi alınır, sonra $r=5$ konur.

Zincir kuralını unutmak

Hata: $\dfrac{d}{dt}\left(r^3\right) = 3r^2$ yazılır.

Neden yanlış: Türev $t$ ye göre alınmaktadır, $r$ ye göre değil. $r$ de zamanın fonksiyonu olduğundan iç türev çarpan olarak gelmelidir.

Doğrusu:

\frac{d}{dt}\left(r^3\right) = 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt}

Bu çarpanın unutulması, cevabın birim olarak da tutarsız çıkmasına yol açar.

Değişen iki büyüklükten birini elememek

Hata: Koni probleminde $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ ifadesinin türevi doğrudan alınır ve iki bilinmeyen hızla $\left(\frac{dr}{dt}, \frac{dh}{dt}\right)$ kalınır.

Neden yanlış: Tek denklemde iki bilinmeyen çözülemez. Deponun geometrisi $r$ ile $h$ arasında bir bağ kurar; bu bağ kullanılmazsa problem eksik kalır.

Doğrusu: Benzerlikten $r = \frac{h}{2}$ elde edilir ve türevden önce yerine konur. Bu oran her an geçerli olduğu için buna izin vardır.

İşareti göz ardı etmek

Hata: Su boşalan bir depoda $\frac{dV}{dt} = 2$ yazılır.

Neden yanlış: Hacim azalmaktadır; azalan bir büyüklüğün değişim hızı negatiftir. İşaret yanlış alınırsa yükseklik hızının da işareti ters çıkar ve "su seviyesi yükseliyor" gibi anlamsız bir sonuç elde edilir.

Doğrusu: Azalan büyüklükler için hız negatif yazılır: $\frac{dV}{dt} = -2$ m³/dk.

Sorulan büyüklüğü karıştırmak

Hata: Gölge probleminde gölgenin boyu istenirken gölgenin ucunun hızı verilir.

Neden yanlış: Gölgenin boyu $s$ , ucunun lambaya uzaklığı ise $x+s$ tir. İkisi farklı büyüklüklerdir ve hızları da farklıdır: $0{,}75$ m/s ile $2{,}25$ m/s.

Doğrusu: Hangi büyüklüğün istendiği belirlenir, o büyüklük tek bir ifadeyle yazılır ve türevi alınır.

Formül kartı

\boxed{\;\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} \qquad \text{(zincir kuralı)}\;}

Yöntem

Şekil ve değişkenler → 2. Verilen/istenen hızlar → 3. Bağıntı → 4. Zamana göre türev → 5. Sayısal değerler → 6. Birim

Sık kullanılan bağıntılar ve türevleri

Bağıntı	Zamana göre türev
$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$	$\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \dfrac{dr}{dt}$
$A = \pi r^2$	$\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \dfrac{dr}{dt}$
$V = a^3$	$\dfrac{dV}{dt} = 3a^2 \dfrac{da}{dt}$
$S = 6a^2$	$\dfrac{dS}{dt} = 12a \dfrac{da}{dt}$
$x^2+y^2=c^2$	$x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0$
$A = xy$	$\dfrac{dA}{dt} = y\dfrac{dx}{dt} + x\dfrac{dy}{dt}$
$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$	önce $r$ ile $h$ arasındaki oran yerine konur

Kurallar

Her an geçerli olan bağıntılar türevden önce, tek bir ana ait sayılar türevden sonra yerine konur.
Azalan büyüklüklerin değişim hızı negatiftir.
Sonuç her zaman birimiyle yazılır.

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 38 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →