Sonsuzda Limit ve Asimptotlar

$x$ büyürken fonksiyon ne yapıyor

Şimdiye kadar hep bir $a$ sayısına yaklaşıldı. Bu konuda soru değişiyor: $x$ sınırsız büyürken fonksiyon ne yapıyor?

$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 3}$ fonksiyonu için büyüyen $x$ değerleri denenir:

$x$	10	100	1000	10 000
$f(x)$	1,615	1,951	1,995	1,9995

Değerler $2$'ye yaklaşmaktadır. Üstelik yaklaşma bitmez: $x$ ne kadar büyütülürse $f(x)$ o kadar $2$'ye yakın olur, ama tam $2$ olmaz.

Negatif yönde de aynı soru sorulur:

$x$	$-10$	$-100$	$-1000$
$f(x)$	2,714	2,051	2,005

Bu kez değerler $2$'ye yukarıdan yaklaşmaktadır. Yaklaşılan sayı yine $2$'dir.

Sonsuzda limit gösterimi

Yukarıdaki iki durum şöyle yazılır:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \qquad\qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$

Birincisi "$x$ sınırsız büyürken $f(x)$ değerleri $L$'ye yaklaşır", ikincisi "$x$ sınırsız küçülürken $f(x)$ değerleri $L$'ye yaklaşır" diye okunur.

$\infty$ bir sayı değildir. $x \to \infty$ ifadesi, $x$'in bir sayıya yaklaştığını değil, her sınırı aştığını anlatır. Bu yüzden $\infty$ ile dört işlem yapılmaz; yerine konmaz.

İki yönün sonucu farklı çıkabilir. Bu nedenle $\lim\limits_{x \to \infty}$ ve $\lim\limits_{x \to -\infty}$ ayrı ayrı hesaplanır.

Neden böyle: baskın terim neden belirleyici

Sonsuzdaki limitin hesabı tek bir temel gözleme dayanır.

Örüntü. $\dfrac{1}{x}$ ifadesi için tablo kurulur:

$x$	10	100	1000	10 000
$\dfrac{1}{x}$	0,1	0,01	0,001	0,0001

Payda büyüdükçe kesir küçülmektedir. Aynı şey $\dfrac{1}{x^2}$ ve $\dfrac{1}{x^3}$ için daha da hızlı olur.

Genelleme. Her pozitif tam sayı $n$ için

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0$$

Bu genellemenin yöntemi nasıl ürettiği. Bir rasyonel ifadenin payı ve paydası, paydadaki en yüksek dereceli terime bölünür. $\dfrac{2x+1}{x+3}$ örneğinde her terim $x$'e bölünür:

$$\frac{2x + 1}{x + 3} = \frac{\dfrac{2x}{x} + \dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{x} + \dfrac{3}{x}} = \frac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}}$$

Bölme işleminden sonra her terim ya bir sabit olur ya da $\dfrac{c}{x^k}$ biçimine düşer. İkinci türden terimlerin hepsi $0$'a gider. Geriye yalnızca sabitler kalır:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$$

Ayakta kalan sabitler, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin katsayılarıdır. Bu yüzden sonucu yalnızca o iki terim belirler; onlara baskın terim denir.

Doğrulama. Sonuç, konunun başındaki tabloyla karşılaştırılır: tablo $2$'ye yaklaşıyordu, yöntem de $2$ veriyor. İki yol aynı sonucu vermektedir.

Bir uyarı. Buradaki durum bir önceki konudaki $0/0$ ile karıştırılmamalıdır. Orada pay ve payda birlikte sıfıra gidiyordu ve çarpanlara ayırma işe yarıyordu. Burada pay ve payda birlikte sınırsız büyüyor; çarpanlara ayırma bir şey vermez, gereken araç bölmedir.

Rasyonel fonksiyonlarda baskın terim

Pay ve paydanın dereceleri karşılaştırılarak üç durum ayrılır. $P$ derecesi $p$, $Q$ derecesi $q$ olsun.

Durum 1 — $p < q$ ise limit $0$'dır. Payda daha hızlı büyür.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 - 3} = 0$$

Durum 2 — $p = q$ ise limit, baş katsayıların oranıdır.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{2x^2 - x} = \frac{3}{2}$$

Durum 3 — $p > q$ ise limit $+\infty$ ya da $-\infty$'dur. Pay daha hızlı büyür ve kesir bir sayıya yaklaşmaz.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 1}{x^2 + 3} = \infty$$

Üçüncü durumda işaret ayrıca belirlenir: $x \to -\infty$ için aynı ifade

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 + 1}{x^2 + 3} = -\infty$$

olur, çünkü tek dereceli baskın terim negatif tarafta işaret değiştirir.

Kök içeren ifadelerde sonsuzda limit

Kök içeren ifadelerde de baskın terim aranır, ama bir incelik vardır:

$$\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$$

Bu eşitlik $x > 0$ için $x$, $x < 0$ için $-x$ demektir. İki yön bu yüzden ayrı ayrı yürütülmelidir.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 3}}{x + 1}$$

$x > 0$ olduğundan kök içindeki baskın terim şöyle çıkarılır:

$$\sqrt{4x^2 + 3} = \sqrt{x^2 \left( 4 + \frac{3}{x^2} \right)} = \lvert x \rvert \sqrt{4 + \frac{3}{x^2}} = x \sqrt{4 + \frac{3}{x^2}}$$

Pay ve payda $x$'e bölünür:

$$\frac{x \sqrt{4 + \dfrac{3}{x^2}}}{x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} = \frac{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x^2}}}{1 + \dfrac{1}{x}} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to \infty} = \frac{\sqrt{4}}{1} = 2$$

Negatif yön. Şimdi $x < 0$'dır ve $\lvert x \rvert = -x$ olur:

$$\sqrt{4x^2 + 3} = -x \sqrt{4 + \frac{3}{x^2}}$$ $$\frac{-x \sqrt{4 + \dfrac{3}{x^2}}}{x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} = \frac{-\sqrt{4 + \dfrac{3}{x^2}}}{1 + \dfrac{1}{x}} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to -\infty} = -2$$

İki sonuç işaretçe farklıdır. Bu, kök içeren ifadelerin en sık kaçırılan yanıdır: karekök daima negatif olmayan bir değer verir, ama paydadaki $x$ negatiftir; oran bu yüzden işaret değiştirir.

Yatay asimptot

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ya da} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$

eşitliklerinden en az biri sağlanıyorsa, $y = L$ doğrusuna $f$ fonksiyonunun yatay asimptotu denir.

Yatay asimptot, grafiğin uzakta yaklaştığı doğrudur. Aşağıda $f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}$ fonksiyonunun grafiği ve $y = 2$ asimptotu görülmektedir:

Eğri asimptota iki yanda da alttan yaklaşmakta, ama ona hiç değmemektedir. "Değmez" ifadesi bir kural değildir: bazı fonksiyonların grafiği yatay asimptotunu keser. Asimptotun söylediği tek şey, uzakta yaklaşılan doğrudur.

Derece karşılaştırmasının karşılığı. Bir rasyonel fonksiyonda birinci durum ($p<q$) $y = 0$ asimptotunu, ikinci durum ($p=q$) $y = \dfrac{a_p}{b_q}$ asimptotunu verir. Üçüncü durumda ($p>q$) yatay asimptot yoktur.

Bir noktada sonsuza ıraksama

Şimdi tekrar sonlu bir noktaya dönülür, ama bu kez fonksiyon bir sayıya yaklaşmaz.

$$f(x) = \frac{1}{x - 2}$$

$x$, $2$'ye yaklaşırken payda sıfıra gider, pay ise $1$'de kalır. Küçük bir sayıya bölünen sabit bir sayı, mutlak değerce sınırsız büyür.

$x$	1,9	1,99	1,999	2,001	2,01	2,1
$f(x)$	$-10$	$-100$	$-1000$	$1000$	$100$	$10$

Soldan ve sağdan davranış farklıdır ve bu şöyle yazılır:

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty$$

Bu bir limit değeri değildir. "$-\infty$" yazmak, limitin var olduğunu söylemez; fonksiyonun sınırsız küçüldüğünü anlatan bir davranış bildirimidir.

İşaret nasıl belirlenir. Payın işaretine ve paydanın hangi yönden sıfıra gittiğine bakılır. $x \to 2^-$ için $x - 2$ küçük ve negatiftir; pay pozitif olduğundan oran negatiftir. $x \to 2^+$ için $x - 2$ küçük ve pozitiftir; oran pozitiftir.

Dikey asimptot

Bir $a$ noktasında tek yönlü limitlerden en az biri $+\infty$ ya da $-\infty$ ise, $x = a$ doğrusuna dikey asimptot denir.

Dikey asimptot nerede aranır. Rasyonel bir fonksiyonda paydayı sıfır yapan noktalarda. Ancak paydanın her sıfırı asimptot vermez:

$P(a)$	$Q(a)$	Sonuç
$\neq 0$	$= 0$	$x = a$ dikey asimptottur
$= 0$	$= 0$	Önce sadeleştirilir — çarpan tümüyle gidiyorsa delik

Bu ayrım bir önceki konunun devamıdır. $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ifadesinde payda $x = 2$ için sıfırdır ama pay da sıfırdır; sadeleşince $x + 2$ kalır ve orada delik oluşur, asimptot oluşmaz. Buna karşılık $\dfrac{1}{x - 2}$ ifadesinde pay $x = 2$ için $1$'dir; sadeleşme yoktur ve $x = 2$ dikey asimptottur.

Eğik asimptot

Pay derecesi payda derecesinden tam bir fazlaysa yatay asimptot yoktur, ama grafik uzakta bir doğruya yaklaşır. Bu doğruya eğik asimptot denir.

Bulmak için pay paydaya bölünür.

$$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$$

Sağdaki $\dfrac{2}{x-1}$ terimi $x$ büyürken $0$'a gider. Geriye $x + 1$ kalır; yani grafik uzakta $y = x + 1$ doğrusuna yaklaşır:

$$\lim_{x \to \infty} \left[ f(x) - (x + 1) \right] = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x - 1} = 0$$

Bu konuda eğik asimptot yalnızca tanınacak ve bölmeyle bulunacaktır; grafik çizimindeki kullanımı fonksiyon-grafiginin-cizimi konusundadır.

Derece ilişkisi	Uzaktaki davranış
$p < q$	Yatay asimptot $y = 0$
$p = q$	Yatay asimptot $y = \dfrac{a_p}{b_q}$
$p = q + 1$	Eğik asimptot (bölmeyle bulunur)
$p > q + 1$	Doğrusal asimptot yok

Asimptotları grafikle birlikte okuma

Cebirle bulunan asimptotlar grafiğe konur; tersine, grafikten asimptotlar okunur. Aşağıda $f(x) = \dfrac{3x}{x - 1}$ fonksiyonu her iki asimptotuyla birlikte verilmiştir.

Cebirden grafiğe. Payda $x = 1$ için sıfır, pay $3 \neq 0$'dır; demek ki $x = 1$ dikey asimptottur. Pay ve payda dereceleri eşit olduğundan yatay asimptot, baş katsayıların oranıdır: $y = \dfrac{3}{1} = 3$.

Grafikten cebire. Ters yönde okunduğunda: eğri $x = 1$ yakınında solda aşağı, sağda yukarı gitmektedir — bu bir dikey asimptot işaretidir. Uzakta iki kol da aynı yatay doğruya yaklaşmaktadır; o doğrunun yüksekliği yatay asimptotun değerini verir.

Bir grafikte kaç asimptot olabilir. Dikey asimptot sayısı, paydanın sadeleşmeyen sıfır sayısı kadardır ve birden çok olabilir. Yatay asimptot ise en fazla ikidir: biri $+\infty$, diğeri $-\infty$ yönü için.