Süreklilik

Süreklilik nedir: üç koşul

Şimdiye kadar limit ile fonksiyon değeri özenle birbirinden ayrı tutuldu. Bu konuda ikisinin çakıştığı durum incelenir.

$f$ fonksiyonunun $x = a$ noktasında sürekli olması için üç koşul birden sağlanmalıdır:

1. $f(a)$ tanımlı olmalıdır — yani $a$, fonksiyonun tanım kümesinde bulunmalıdır.
2. $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ var olmalıdır — yani soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmalıdır.
3. Bu ikisi birbirine eşit olmalıdır.

Üçü birlikte tek bir eşitlikte toplanır:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Bu eşitliğin yazılabilmesi, sol tarafın var olmasını (2. koşul) ve sağ tarafın tanımlı olmasını (1. koşul) zaten gerektirir. Üç koşul bu yüzden ayrı ayrı sayılır ama tek satırda özetlenir.

Sürekli fonksiyonlarda yerine koyma geçerlidir. Bir fonksiyon $a$ noktasında sürekliyse, oradaki limiti bulmak için $x$ yerine $a$ yazmak yeterlidir. İlk konuda "yerine koyma her zaman doğru sonuç vermez" denmişti; ne zaman doğru sonuç verdiğinin yanıtı budur.

Örnek olarak $f(x) = x^2 - 3x + 1$ fonksiyonu $x = 2$ noktasında incelenir:

$$f(2) = 4 - 6 + 1 = -1 \qquad\qquad \lim_{x \to 2} f(x) = -1$$

Üç koşul da sağlandığından $f$, $x = 2$ noktasında süreklidir.

Grafikten süreklilik okuma

Sezgisel karşılığı şudur: bir fonksiyon bir aralıkta sürekliyse, grafiği o aralıkta kalem kaldırılmadan çizilebilir.

Bu sezgi işe yarar ama ölçüt değildir. Ölçüt yine üç koşuldur ve her birinin grafikte ayrı bir karşılığı vardır:

Koşul	Grafikteki karşılığı
$f(a)$ tanımlı	$x = a$ apsisinde içi dolu bir nokta var
Limit var	Eğrinin iki kolu $a$'ya aynı yüksekliğe dayanıyor
İkisi eşit	İçi dolu nokta tam o yükseklikte

Grafikte bir noktaya bakarken bu üç soru sırayla sorulur. Üçünün de yanıtı "evet" ise fonksiyon o noktada süreklidir.

Koşullardan biri sağlanmazsa

Üç koşuldan herhangi biri sağlanmıyorsa fonksiyon o noktada sürekli değildir. Aşağıda her koşulun tek başına düştüğü üç durum yan yana verilmiştir; üçünde de incelenen apsis $x = 2$'dir.

<circle cx="100" cy="81.64" r="4.5" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.6"/>
<circle cx="100" cy="120.7" r="4" fill="currentColor"/>
<g fill="currentColor" stroke="none">
  <text x="100" y="155" text-anchor="middle">2</text>
  <text x="100" y="178" text-anchor="middle">limit ≠ f(2)</text>
  <text x="100" y="193" text-anchor="middle">3. koşul düştü</text>
</g>

Birinci panel. $f(x) = x + 1$ kuralı $x \neq 2$ için geçerlidir; $x = 2$ noktası tanım kümesinde yoktur. Limit vardır ve $3$'tür, ama $f(2)$ tanımsızdır.

İkinci panel. $f(x) = x$ kuralı $x \le 2$ için, $f(x) = 5 - x$ kuralı $x > 2$ için geçerlidir. $f(2) = 2$ tanımlıdır, ancak soldan limit $2$, sağdan limit $3$'tür; limit yoktur.

Üçüncü panel. $f(x) = x + 1$ kuralı $x \neq 2$ için geçerli, $f(2) = 1$ olarak ayrıca tanımlanmıştır. Hem $f(2)$ tanımlıdır hem limit vardır, ama $3 \neq 1$'dir.

Yapılacak ve yapılmayacak şey. Bir noktada süreklilik bozulduğunda, hangi koşulun düştüğü söylenir. Bu üç duruma ayrı adlar verilmez ve bir tür listesi kurulmaz; sınavda istenen de bu değildir. Yanıt "fonksiyon $x = 2$ noktasında sürekli değildir, çünkü ... koşulu sağlanmamaktadır" biçiminde yazılır.

Neden böyle: üç koşulun hiçbiri gereksiz değil

Üç koşul uzun görünür. Biri diğerlerinden çıkarılamaz mı?

Örüntü. Yukarıdaki üç panelde her fonksiyon tam olarak bir koşulu ihlal etmekte, diğer ikisini sağlamaktadır:

	1. koşul: $f(2)$ tanımlı	2. koşul: limit var	3. koşul: eşit
Birinci panel	hayır	evet	—
İkinci panel	evet	hayır	—
Üçüncü panel	evet	evet	hayır

Üç satırın her birinde tek bir "hayır" vardır ve üçünde de fonksiyon $x = 2$ noktasında sürekli değildir.

Genelleme. Bir koşul gereksiz olsaydı, o koşul düştüğü hâlde fonksiyonun sürekli kaldığı bir örnek bulunabilirdi. Tablodaki her satır bunun tersini gösteriyor: her koşulun tek başına düşmesi sürekliliği bozmaya yetiyor. Dolayısıyla hiçbiri atılamaz.

Doğrulama — koşullar arasında gizli bir bağ var mı? Üçüncü koşulun ilk ikisini kapsadığı düşünülebilir, çünkü $\lim f(x) = f(a)$ eşitliği zaten her şeyi söylüyor gibidir. Ama bu eşitliğin yazılabilmesi için sol tarafın var, sağ tarafın tanımlı olması gerekir. Birinci panelde sağ taraf yoktur, ikinci panelde sol taraf yoktur; iki durumda da eşitlik kurulamaz bile. Yani üçüncü koşul diğer ikisini kapsamaz, onları varsayar.

Sıra da bu yüzden önemlidir: önce $f(a)$ hesaplanır, sonra limit aranır, en son ikisi karşılaştırılır.

Parçalı fonksiyonlarda süreklilik

Kuralı bir noktada değişen fonksiyonlarda süreklilik, tam da o kural değişim noktasında sınanır. Başka noktalarda fonksiyon zaten tek bir kuralla verilmiştir.

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ x^2 + 2, & x \ge 1 \end{cases}$$

Birinci koşul. $x = 1$ için ikinci kural geçerlidir:

$$f(1) = 1^2 + 2 = 3$$

İkinci koşul. İki tek yönlü limit ayrı parçalardan hesaplanır:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 + 2 = 3$$

İkisi eşit olduğundan limit vardır ve $3$'tür.

Üçüncü koşul. $3 = 3$'tür.

Üç koşul da sağlandığından $f$ fonksiyonu $x = 1$ noktasında süreklidir.

Süreklilik için parametre belirleme

Aynı sınama ters yönde kullanılır: fonksiyonun sürekli olması istendiğinde, üç koşulu sağlayan parametre değeri aranır.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & x < 2 \\ 3x - 1, & x \ge 2 \end{cases}$$

Bu fonksiyonun $x = 2$ noktasında sürekli olması isteniyor.

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 + a, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5, \qquad f(2) = 5$$

Üç değerin birbirine eşit olması gerekir. Sağdan limit ile $f(2)$ zaten eşittir, çünkü ikinci kural $x = 2$ noktasını da içine almaktadır. Geriye tek bir denklem kalır:

$$4 + a = 5 \implies a = 1$$

Neden tek denklem. Sürekliliğin üç koşulu vardır ama parçalı fonksiyonlarda bunlardan ikisi kendiliğinden sağlanır: $f(a)$ değeri, eşitliği içeren kuraldan gelir ve o kural aynı zamanda bir tek yönlü limiti verir. Kurulacak denklem "soldan limit = sağdan limit" denkleminden ibarettir.

Kontrol. $a = 1$ için soldan limit $4 + 1 = 5$ olur; üç değer de $5$'te çakışır.

Bir aralıkta süreklilik

Tek bir noktadan aralığa geçilir.

Açık aralıkta. $f$ fonksiyonu $(a;\,b)$ aralığının her noktasında sürekliyse, bu aralıkta süreklidir denir.

Kapalı aralıkta. $[a;\,b]$ aralığında süreklilik için iç noktalarda olağan koşul aranır; uç noktalarda ise fonksiyon yalnızca bir yandan tanımlı olduğu için tek yönlü limit kullanılır:

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \qquad\qquad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$$

Örnek olarak $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ fonksiyonu ele alınsın. Kök içi negatif olamayacağından tanım kümesi $[-2;\,2]$'dir. $x = 2$ noktasının sağında fonksiyon tanımlı değildir; bu yüzden orada iki taraflı limit aranmaz:

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \sqrt{4 - 4} = 0 = f(2)$$

Aynısı $x = -2$ için sağdan yapılır. Fonksiyon $[-2;\,2]$ kapalı aralığında süreklidir.

Süreklilik kümesi. Bir fonksiyonun sürekli olduğu noktaların tümüne o fonksiyonun süreklilik kümesi denir. Rasyonel bir fonksiyonda bu küme, paydayı sıfır yapan noktalar çıkarılarak bulunur:

$$f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4} \quad\Longrightarrow\quad \text{süreklilik kümesi } \mathbb{R} \setminus \{-2;\,2\}$$

Bu iki nokta tanım kümesinde bulunmadığından birinci koşul düşer; fonksiyon orada sürekli değildir.