Limit Kavramı

Bir noktaya yaklaşmak

$f(x) = x^2 + x$ fonksiyonu ele alınsın ve $x$ değişkeni $2$ sayısına yaklaştırılsın. Buradaki soru "$f(2)$ kaçtır" değil, "$x$, $2$'ye yaklaşırken $f(x)$ hangi sayıya yaklaşıyor" sorusudur.

$2$'ye soldan ve sağdan yaklaşan değerler için bir tablo kurulur:

$x$ (soldan)	1,9	1,99	1,999
$f(x)$	5,51	5,9501	5,995001

$x$ (sağdan)	2,001	2,01	2,1
$f(x)$	6,005001	6,0501	6,51

Her iki yönden de $f(x)$ değerleri $6$ sayısına yaklaşmaktadır. Bu durum

$$\lim_{x \to 2} \left( x^2 + x \right) = 6$$

biçiminde yazılır ve "$x$, $2$'ye yaklaşırken $x^2 + x$ ifadesinin limiti $6$'dır" diye okunur.

Aynı bilgi grafikte de görülebilir. Tablodaki sayısal yaklaşma, grafikte eğri üzerinde $(2;\,6)$ noktasına yaklaşmaya karşılık gelir:

Bu konunun tamamı bu iki temsil arasında gidip gelmekle ilgilidir: tabloda sayılar yaklaşır, grafikte nokta yaklaşır, cebirde ise bir limit değeri yazılır.

Soldan limit ve sağdan limit

$x$ değişkeni bir $a$ sayısına iki yönden yaklaşabilir.

$x$, $a$'dan küçük değerler alarak $a$'ya yaklaşıyorsa buna soldan yaklaşma denir ve $x \to a^-$ yazılır. Bu yaklaşma sırasında $f(x)$ değerlerinin yaklaştığı sayıya soldan limit denir:

$$\lim_{x \to a^-} f(x)$$

$x$, $a$'dan büyük değerler alarak $a$'ya yaklaşıyorsa $x \to a^+$ yazılır ve elde edilen sayıya sağdan limit denir:

$$\lim_{x \to a^+} f(x)$$

Bu iki limit birbirinden farklı çıkabilir. Aşağıdaki fonksiyon buna bir örnektir:

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \ge 1 \end{cases}$$

Grafikte soldan gelen kol $(1;\,2)$ noktasına, sağdan giden kol ise $(1;\,3)$ noktasına dayanmaktadır. Buna göre

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$$

elde edilir. İçi boş daire o noktanın fonksiyona ait olmadığını, içi dolu daire ise ait olduğunu gösterir. Burada $f(1) = 4 - 1 = 3$'tür.

Limitin varlık koşulu

Bir noktadaki limitten söz edebilmek için iki yönün de aynı sayıya götürmesi gerekir.

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

Soldan ve sağdan limitler var ama birbirine eşit değilse, $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında limiti yoktur. Bir önceki fonksiyonda

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \neq 3 = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$

olduğundan $\lim_{x \to 1} f(x)$ yoktur. "Limit yoktur" ifadesi bir sayı değildir; yerine $0$ yazılamaz.

Grafikten limit okuma

Grafikten limit okurken üç ayrı soru sorulur ve bunların yanıtları birbirinden bağımsızdır:

1. $x$, $a$'ya soldan yaklaşırken eğri hangi yüksekliğe dayanıyor?
2. $x$, $a$'ya sağdan yaklaşırken eğri hangi yüksekliğe dayanıyor?
3. $x = a$ apsisinde içi dolu bir nokta var mı, varsa yüksekliği kaç?

İlk iki yanıt eşitse limit vardır. Üçüncü yanıt limitin değerini değiştirmez.

Bu grafikte eğri, $x = 1$ apsisine iki yönden de $3$ yüksekliğinde dayanmakta, ancak o apsiste eğrinin üzerinde bir delik bulunmaktadır. Fonksiyonun $1$ noktasındaki değeri ise $1$'dir. Buna göre

$$\lim_{x \to 1} f(x) = 3 \quad \text{ama} \quad f(1) = 1$$

olur. Sözel karşılığı şudur: $x$, $1$'e yaklaştıkça $f(x)$ değerleri $3$'e yaklaşır; ancak $x$ tam olarak $1$ olduğunda fonksiyon $1$ değerini alır.

Limit ile fonksiyon değeri aynı şey değildir

Limit hesabında $f(a)$ hiç kullanılmaz. Bunun üç ayrı görünümü vardır.

Birinci durum: $f(a)$ tanımsız olabilir.

$$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

fonksiyonu $x = 2$ için tanımsızdır, çünkü payda sıfır olur. Ancak $x \neq 2$ olduğu sürece pay çarpanlarına ayrılıp sadeleştirilebilir:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$$

Limit alınırken $x$ hiçbir zaman $2$'ye eşit olmadığından bu sadeleştirme geçerlidir ve

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

bulunur. Bu tür ifadelerin sistemli incelenmesi belirsizlik-durumlari konusunun işidir; burada yalnızca "tanımsız nokta limitin varlığını engellemez" sonucu gerekmektedir.

İkinci durum: $f(a)$ tanımlı ama limitten farklı olabilir. Bir önceki grafikte durum tam olarak budur: limit $3$, fonksiyon değeri $1$'dir.

Üçüncü durum: $f(a)$ tanımlı ve limite eşit olabilir. Bu, sureklilik konusunun konusudur.

Üç durumda da limitin hesabı değişmez; değişen yalnızca $f(a)$'dır.

Neden böyle: limit fonksiyon değerine bakmaz

Bu sonuç ezberlenmez, örüntüden üretilir.

Örüntü. Aşağıdaki üç fonksiyon $x = 2$ dışında birbirinin aynısıdır:

$$f_1(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, \qquad f_2(x) = x + 2, \qquad f_3(x) = \begin{cases} x + 2, & x \neq 2 \\ 1, & x = 2 \end{cases}$$

$x = 2$ civarında değerleri karşılaştırılırsa:

$x$	1,9	1,99	2,01	2,1
$f_1(x)$	3,9	3,99	4,01	4,1
$f_2(x)$	3,9	3,99	4,01	4,1
$f_3(x)$	3,9	3,99	4,01	4,1

Üç satır da birebir aynıdır. Farklılık yalnızca $x = 2$ sütununda ortaya çıkar: $f_1(2)$ tanımsız, $f_2(2) = 4$, $f_3(2) = 1$.

Genelleme. Tablo ve grafikler yalnızca $x = 2$ sütununda ayrışıyor, limit ise bu sütunu hiç kullanmıyor. Buradan şu genelleme yapılır: bir fonksiyonun $a$ noktasındaki limiti, yalnızca fonksiyonun $a$ civarındaki değerlerine bağlıdır; $f(a)$'nın tanımlı olup olmaması ya da hangi değeri aldığı limiti değiştirmez.

Doğrulama. Genelleme iki yönde de sınanır.

Birinci sınama: $f_4(x) = x + 2$ ($x \neq 2$), $f_4(2) = 100$ alınsın. Sadece $x = 2$ değeri değiştiği için tablo satırı aynı kalır ve $\lim_{x \to 2} f_4(x) = 4$ bulunur. Genelleme doğrulanmıştır.

İkinci sınama: Bu kez $x = 2$ değeri korunup civar değiştirilsin: $f_5(x) = 3x$ ($x \neq 2$), $f_5(2) = 4$ alınsın. Şimdi tablo satırı değişir ($5{,}7$; $5{,}97$; $6{,}03$; $6{,}3$) ve $\lim_{x \to 2} f_5(x) = 6$ olur. Limit değişmiştir. Demek ki limiti belirleyen gerçekten civardır.

Bu iki sınama birlikte, genellemenin hem doğru hem de anlamlı olduğunu gösterir.

Parçalı fonksiyonlarda limit

Kuralı bir noktada değişen fonksiyonlarda soldan ve sağdan limitler ayrı parçalardan hesaplanır. En sık yapılan hata, yaklaşma yönüne uymayan parçayı kullanmaktır.

$$f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 2 \\ x^2 + 1, & x \ge 2 \end{cases}$$

Soldan yaklaşırken $x < 2$ olduğundan birinci parça geçerlidir:

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$$

Sağdan yaklaşırken $x > 2$ olduğundan ikinci parça geçerlidir:

$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 + 1 = 5$$

İki değer eşit olduğundan $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$'tir.

Aynı yöntem parametre içeren fonksiyonlarda ters yönde kullanılır: limitin var olması istendiğinde soldan ve sağdan limitler birbirine eşitlenir ve elde edilen denklem çözülür.

Limitin sözel ifadesi

Bir limit ifadesi her zaman bir cümleyle okunabilir ve bir modelde bu cümle fiziksel bir anlam taşır.

Düz bir yolda $20$ m/s hızla giden bir araç fren yapmaya başlasın. Fren süresince hızı

$$v(t) = 20 - 4t \qquad (0 \le t \le 5)$$

bağıntısıyla veriliyor olsun; burada $t$ saniye, $v$ ise m/s biriminde ölçülüyor.

Model yalnızca fren süresi için kurulduğundan $t > 5$ değerleri tanımlı değildir. Bu yüzden $5$ noktasında yalnızca soldan limitten söz edilebilir:

$$\lim_{t \to 5^-} v(t) = 20 - 4 \cdot 5 = 0$$

Sözel karşılığı: fren süresinin sonuna yaklaşıldıkça aracın hızı sıfıra yaklaşır. Tek yönlü limit burada yapay bir kısıtlama değil, modelin doğal sonucudur.

Aynı grafikten bir başka limit de okunabilir:

$$\lim_{t \to 2} v(t) = 12$$

Bunun sözel karşılığı: fren başladıktan sonra ikinci saniyeye yaklaşıldıkça aracın hızı $12$ m/s değerine yaklaşır.