Fonksiyonel İşlemlerde Süreklilik

Süreklilik neden limit özelliklerinden çıkıyor

Bir önceki konuda süreklilik tek bir eşitliğe indirgenmişti:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Bu eşitlik bir limit ifadesidir. Limitin toplam, çarpım ve bölüm özellikleri limitin-ozellikleri konusunda zaten kurulmuştu. Dolayısıyla o özellikler, hiçbir yeni araç gerekmeden süreklilik özelliklerine dönüşür.

Kurulan köprü şudur: $f$ ve $g$ fonksiyonları $a$ noktasında sürekliyse, her ikisinin de $a$ noktasında limiti vardır. Limit özelliklerinin tek koşulu buydu; koşul sağlandığına göre özellikler uygulanabilir.

Bu bölümün geri kalanı, bu tek fikrin her işlem için ayrı ayrı yazılmasından ibarettir.

Toplam, fark ve sabitle çarpım

$f$ ve $g$ fonksiyonları $a$ noktasında sürekli olsun. Bu durumda $f + g$, $f - g$ ve $c \cdot f$ fonksiyonları da $a$ noktasında süreklidir:

$$\lim_{x \to a} \left[ f(x) + g(x) \right] = f(a) + g(a) = (f+g)(a)$$ $$\lim_{x \to a} \left[ f(x) - g(x) \right] = f(a) - g(a) = (f-g)(a)$$ $$\lim_{x \to a} \left[ c \cdot f(x) \right] = c \cdot f(a) = (c \cdot f)(a)$$

Üç satırda da izlenen yol aynıdır: önce limit özelliği uygulanır, sonra süreklilik tanımıyla $\lim f = f(a)$ yazılır.

Hangi kümede geçerli. $f$, $A$ kümesinde ve $g$, $B$ kümesinde sürekliyse, $f + g$ fonksiyonu $A \cap B$ kesişiminde süreklidir. Toplam ancak her iki fonksiyonun birlikte tanımlı olduğu yerde tanımlıdır.

Çarpım ve bölüm

Çarpım. $f$ ve $g$, $a$ noktasında sürekliyse $f \cdot g$ de süreklidir.

Bölüm. $\dfrac{f}{g}$ fonksiyonu $a$ noktasında ancak $g(a) \neq 0$ ise süreklidir:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(a)}{g(a)} = \left( \frac{f}{g} \right)(a) \qquad (g(a) \neq 0)$$

Koşulun anlamı. $g(a) = 0$ olduğunda ortada bir süreklilik sorunu bile yoktur: $\dfrac{f}{g}$ fonksiyonu $a$ noktasında tanımlı değildir, çünkü sıfıra bölme yapılamaz. Süreklilik yalnızca tanımlı noktalarda incelendiğinden $a$ noktası doğrudan süreklilik kümesinin dışında kalır.

Bu, işlemler arasında bölümü ayrıcalıklı kılan tek farktır. Toplam, fark ve çarpım, iki fonksiyonun birlikte tanımlı olduğu her noktada sürekliliği korur; bölüm ise buna ek olarak paydanın sıfır olmaması koşulunu getirir.

Örnek olarak $f(x) = x + 3$ ve $g(x) = x^2 - 4$ alınsın. İkisi de polinomdur ve her yerde süreklidir. Buna karşın

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x + 3}{x^2 - 4}$$

fonksiyonu $x = 2$ ve $x = -2$ noktalarında tanımsızdır; süreklilik kümesi $\mathbb{R} \setminus \{-2;\,2\}$'dir.

İspat: Çarpımın sürekliliği

İddia. $f$ ve $g$ fonksiyonları $a$ noktasında sürekliyse, $f \cdot g$ fonksiyonu da $a$ noktasında süreklidir.

İspat. Süreklilik tanımı gereği, $f$ ve $g$ fonksiyonlarının $a$ noktasındaki limitleri vardır ve fonksiyon değerlerine eşittir:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \qquad\qquad \lim_{x \to a} g(x) = g(a)$$

Her iki limit de var olduğundan limitin çarpım özelliği uygulanabilir:

$$\lim_{x \to a} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right)$$

Sağ taraftaki iki limit yerine konur:

$$= f(a) \cdot g(a)$$

Öte yandan çarpım fonksiyonunun $a$ noktasındaki değeri tanım gereği

$$(f \cdot g)(a) = f(a) \cdot g(a)$$

olduğundan

$$\lim_{x \to a} (f \cdot g)(x) = (f \cdot g)(a)$$

elde edilir. Bu, $f \cdot g$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olması demektir. $\blacksquare$

Üç koşulun kontrolü. İspatın süreklilik tanımının üç koşulunu da karşıladığı görülmelidir. Birinci koşul: $f(a)$ ve $g(a)$ tanımlı olduğundan çarpımları da tanımlıdır. İkinci koşul: limit, çarpım özelliğinden elde edilmiştir, yani vardır. Üçüncü koşul: son satırda gösterilen eşitliktir.

İspatın dayandığı tek şey. Kullanılan araç yalnızca limitin çarpım özelliğidir. Aynı yol toplam, fark ve sabitle çarpım için de birebir yürütülür; tek değişen, hangi limit özelliğinin çağrıldığıdır. Bölüm için de aynı yol izlenir, ancak orada limitin bölüm özelliği $\lim g \neq 0$ koşulunu taşıdığından ispat da bu koşulla birlikte yazılır.

Bileşke: $f \circ g$ ve $g \circ f$

limitin-ozellikleri konusunda bileşke kuralı, dış fonksiyonun polinom, rasyonel ya da köklü olduğu durumla sınırlı yazılmış ve genel koşulun bu konuda tamamlanacağı belirtilmişti. O koşul artık adlandırılabilir: süreklilik.

Kural. $g$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli ve $f$ fonksiyonu $g(a)$ noktasında sürekliyse, $f \circ g$ bileşkesi $a$ noktasında süreklidir:

$$\lim_{x \to a} f\big( g(x) \big) = f\big( g(a) \big)$$

En sık kaçırılan yer şemanın altında yazılıdır: $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olması istenmez — $f$ fonksiyonu $a$ noktasında tanımlı bile olmayabilir. İstenen, $f$'nin $g(a)$ noktasında sürekli olmasıdır, çünkü $g$ çıktısını oraya taşımaktadır.

Sıra sonucu değiştirir. $g(x) = x - 3$ ve $f(u) = \sqrt{u}$ alınsın.

$f \circ g$ bileşkesi $\sqrt{x - 3}$ olur ve süreklilik kümesi $[3;\,\infty)$'dur.

$g \circ f$ bileşkesi ise $\sqrt{x} - 3$ olur ve süreklilik kümesi $[0;\,\infty)$'dur.

İki küme farklıdır. Bileşkede sıra değiştiğinde yalnızca kural değil, fonksiyonun sürekli olduğu yer de değişir.

Referans fonksiyonların sürekliliği

Yukarıdaki kuralların işe yaraması için, üzerine kurulacak birkaç referans fonksiyonun sürekliliği bilinmelidir. Her fonksiyon ailesinin en yalın üyesine referans fonksiyon denir; ailenin öteki üyeleri ondan türetilir ve özellikleri de onunkilerden çıkarılır. Terimin tanımı ustel-fonksiyon konusundadır.

Fonksiyon türü	Süreklilik kümesi	Dayanağı
Sabit fonksiyon	$\mathbb{R}$	$\lim\limits_{x \to a} c = c$
$f(x) = x$	$\mathbb{R}$	$\lim\limits_{x \to a} x = a$
Polinom	$\mathbb{R}$	Toplam ve çarpım kurallarının üst üste uygulanması
Rasyonel $\dfrac{P}{Q}$	$Q(x) \neq 0$ olan noktalar	Bölüm kuralı
$\sqrt[n]{f(x)}$, $n$ tek	$f$'nin süreklilik kümesi	Kök kuralı
$\sqrt[n]{f(x)}$, $n$ çift	Ek olarak $f(x) \ge 0$	Kök kuralı ve tanımlılık

İlk iki satır limitin-ozellikleri konusundaki iki temel limitten gelir; polinom satırı da orada gösterilmişti. Geri kalan satırlar, bu konudaki işlem kurallarının o iki temel limite uygulanmasından ibarettir.

Kapsam. Bu ünitede kullanılan fonksiyon aileleri polinom, rasyonel ve köklü fonksiyonlarla sınırlıdır; anlatım da alıştırmalar da bu üç ailenin referans fonksiyonlarından ve onlardan türetilenlerden gelir. Yukarıdaki işlem kuralları bu üç aile için eksiksiz bir araç takımı oluşturur: bileşik bir ifadenin süreklilik kümesi, parçalara ayrılıp bu kurallarla belirlenir.

Bileşik bir ifadenin süreklilik kümesini belirleme

Karmaşık görünen bir ifadenin süreklilik kümesi, ifade parçalarına ayrılarak bulunur. Yöntem üç adımlıdır:

1. İfade hangi işlemlerden kurulmuş, ayrıştırılır.
2. Her parçanın süreklilik kümesi ayrı ayrı yazılır.
3. Kümeler kesiştirilir; bölüm varsa paydayı sıfır yapan noktalar ayrıca çıkarılır.

Örnek olarak

$$h(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$$

ifadesi ele alınsın.

Birinci parça — pay. $\sqrt{x-1}$ çift dereceli köktür; kök içi negatif olamaz:

$$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$$

İkinci parça — payda. $x - 3$ bir polinomdur, her yerde süreklidir. Ancak bölüm kuralı paydanın sıfır olmamasını ister:

$$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$$

Kesişim. İki koşul birlikte sağlanmalıdır:

$$x \ge 1 \quad \text{ve} \quad x \neq 3$$

Sayı doğrusunda $1$ noktası içi dolu daireyle işaretlenmiştir, çünkü $x = 1$ için $h(1) = \dfrac{0}{-2} = 0$ tanımlıdır ve fonksiyon orada sağdan süreklidir. $3$ noktası ise içi boş daireyle gösterilmiştir; orada fonksiyon tanımsızdır.

$$\text{Süreklilik kümesi: } [1;\,3) \cup (3;\,\infty)$$