Limitin Özellikleri

Limitin toplam, fark, çarpım, bölüm, kuvvet, kök ve bileşke özellikleri. Bölümde paydanın limiti sıfırdan farklı olmalı; polinomlarda yerine koyma geçerli.

40 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

Limitin toplam, fark, çarpım ve bölüm özelliklerini örüntüden genelleyebilir
Bir limit hesabının her adımında hangi özelliğin kullanıldığını gösterebilir
Kuvvet, kök ve bileşke içeren ifadelerin limitini özellikleri kullanarak hesaplayabilir
Bölüm özelliğinin geçerlilik koşulunu belirtebilir
Polinom ve rasyonel fonksiyonlarda doğrudan yerine koymanın neden geçerli olduğunu açıklayabilir

Önce şunları çalış

Limit Kavramı

Örüntüden kurala: bir toplamın limiti

Bir önceki konuda her limit tek tek, tabloyla ya da grafikten hesaplandı. Şimdi sorulan soru şudur: iki fonksiyonun limitleri biliniyorsa, bu fonksiyonlardan kurulan yeni ifadelerin limiti yeniden baştan hesaplanmak zorunda mı?

$f(x) = 2x$ ve $g(x) = 4 - x^2$ fonksiyonları $x = 1$ civarında incelensin. Üçüncü sütuna $f(x) + g(x)$ değerleri yazılır:

$x$	$f(x)$	$g(x)$	$f(x) + g(x)$
0,9	1,8	3,19	4,99
0,99	1,98	3,0199	4,9999
1,01	2,02	2,9799	4,9999
1,1	2,2	2,79	4,99

İkinci sütun $2$ 'ye, üçüncü sütun $3$ 'e, dördüncü sütun $5$ 'e yaklaşmaktadır. Dördüncü sütunun yaklaştığı sayı, ilk ikisinin yaklaştığı sayıların toplamıdır.

Aynı durum grafikte de görülür. $x = 1$ apsisinde $f$ eğrisi $2$ , $g$ eğrisi $3$ yüksekliğindedir; $f + g$ eğrisi ise tam olarak $5$ yüksekliğindedir:

Tablo ve grafik aynı şeyi söylüyor: toplamın limiti, limitlerin toplamıdır. Bu gözlem bir kural olarak yazılabilir mi? Yazılabilir — ve aşağıdaki bölümler bu kuralı diğer işlemlere de genişletir.

Toplam, fark ve sabitle çarpım

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ ve $\lim\limits_{x \to a} g(x) = M$ olsun. Bu durumda:

\lim_{x \to a} \left[ f(x) + g(x) \right] = L + M

\lim_{x \to a} \left[ f(x) - g(x) \right] = L - M

\lim_{x \to a} \left[ c \cdot f(x) \right] = c \cdot L \qquad (c \text{ bir sabit})

Kuralların hepsi aynı koşula bağlıdır: $f$ ve $g$ fonksiyonlarının o noktada limitleri olmalıdır. Limiti olmayan fonksiyonlarda bu eşitlikler yazılamaz.

Bir örnekle doğrulanır. $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 7$ ve $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = -3$ verilsin:

\lim_{x \to 2} \left[ 2f(x) - 5g(x) \right] = 2 \cdot 7 - 5 \cdot (-3) = 14 + 15 = 29

İki temel limit de bu listeye eklenir, çünkü sonraki her hesap bunların üzerine kurulur:

\lim_{x \to a} c = c \qquad\qquad \lim_{x \to a} x = a

Birincisi sabit fonksiyonun her yerde aynı değeri aldığını, ikincisi $x$ değişkeninin $a$ 'ya yaklaşırken $a$ 'ya yaklaştığını söyler.

Çarpım ve bölüm

\lim_{x \to a} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = L \cdot M

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \qquad \textbf{ancak } M \neq 0 \textbf{ ise}

Bölümdeki koşul bir ayrıntı değil, kuralın kendisinin parçasıdır. $M = 0$ ise $\dfrac{L}{M}$ ifadesi bir sayı belirtmez; dolayısıyla kural bu durumda bir sonuç üretmez. Kuralın yanlış olduğu değil, sustuğu söylenir.

Sustuğunda ne olduğu tek bir yanıta bağlanamaz. Aşağıdaki iki ifadede de payın ve paydanın limiti $0$ 'dır:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 \qquad\qquad \lim_{x \to 2} \frac{3x - 6}{x - 2} = 3

Sonuçlar farklıdır. Demek ki yalnızca "payın limiti $0$ , paydanın limiti $0$ " bilgisiyle sonuç belirlenemez; başka bir yöntem gerekir. O yöntem bir sonraki konunun, belirsizlik-durumlari'nın konusudur. Burada yalnızca bölüm özelliğinin sınırı çizilmektedir.

Kuvvet ve kök

Çarpım kuralı aynı fonksiyona tekrar tekrar uygulanırsa kuvvet kuralı elde edilir:

\lim_{x \to a} \left[ f(x) \right]^n = L^n \qquad (n \text{ pozitif tam sayı})

Örneğin $\lim\limits_{x \to 2} (3x - 4)^4$ hesabında önce $3x - 4$ ifadesinin limiti bulunur:

\lim_{x \to 2} (3x - 4) = 3 \cdot 2 - 4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to 2} (3x-4)^4 = 2^4 = 16

Kök için de benzer bir kural yazılır:

\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}

Çift dereceli köklerde bir kısıt vardır: $n$ çift ise $\sqrt[n]{L}$ ifadesinin tanımlı olması için $L \ge 0$ olmalıdır. $L < 0$ ise kural uygulanamaz, çünkü sağ taraf gerçel sayı belirtmez.

\lim_{x \to 5} \sqrt{3x + 1} = \sqrt{3 \cdot 5 + 1} = \sqrt{16} = 4

Bileşke fonksiyonun limiti

$f \circ g$ bileşkesinde önce içteki fonksiyon çalışır. Limit de aynı sırayı izler: $x$ , $a$ 'ya yaklaşırken $g(x)$ bir $b$ sayısına yaklaşır; sonra $f$ bu $b$ sayısındaki değerini alır.

Şemadaki sayılar şu fonksiyonlara aittir: $g(x) = 2x + 1$ ve $f(u) = u^2 - u$ .

\lim_{x \to 1} g(x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3, \qquad f(3) = 3^2 - 3 = 6

\lim_{x \to 1} f\big( g(x) \big) = 6

Sıra sonucu değiştirir. Aynı fonksiyonlarla ters sırada:

\lim_{x \to 1} f(x) = 1^2 - 1 = 0, \qquad g(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1

\lim_{x \to 1} g\big( f(x) \big) = 1

$6 \neq 1$ olduğundan $f \circ g$ ile $g \circ f$ bileşkelerinin limitleri genel olarak farklıdır.

Kuralın kapsamı. Yukarıdaki adım — "önce içteki fonksiyonun limitini al, sonra dıştaki fonksiyonu o değerde hesapla" — dıştaki fonksiyonun o noktada uyumlu davranmasını gerektirir. Bu ders boyunca dıştaki fonksiyon polinom, rasyonel ya da köklü olacaktır ve bu ailelerde adım geçerlidir. Kuralın hangi genel koşul altında yazılabileceği fonksiyonel-islemlerde-sureklilik konusunda tamamlanacaktır.

Neden böyle: polinomlarda yerine koyma neden geçerli

Polinomlarda $x$ yerine $a$ yazmanın neden doğru sonuç verdiği ayrı bir kural değildir; yukarıdaki özelliklerin üst üste binmesinden çıkar.

Örüntü. Elde yalnızca iki temel limit vardır:

\lim_{x \to a} c = c \qquad\qquad \lim_{x \to a} x = a

Genelleme. Çarpım kuralı $f(x) = g(x) = x$ alınarak uygulanırsa:

\lim_{x \to a} x^2 = \lim_{x \to a} (x \cdot x) = a \cdot a = a^2

Aynı adım bir kez daha tekrarlanır:

\lim_{x \to a} x^3 = \lim_{x \to a} \left( x^2 \cdot x \right) = a^2 \cdot a = a^3

Bu tekrar $n$ kez sürdürülürse her pozitif tam sayı $n$ için

\lim_{x \to a} x^n = a^n

elde edilir. Sabitle çarpım kuralı eklenirse her terim için

\lim_{x \to a} c_n x^n = c_n a^n

yazılır. Son olarak toplam kuralı terim sayısı kadar uygulanır ve

P(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0

polinomu için

\lim_{x \to a} P(x) = c_n a^n + c_{n-1} a^{n-1} + \dots + c_1 a + c_0 = P(a)

sonucuna varılır. Yani yerine koyma, üç özelliğin arka arkaya kullanılmasının kısaltmasıdır.

Doğrulama. $P(x) = x^2 + 3x - 1$ polinomu $a = 2$ noktasında iki ayrı yoldan sınanır.

Kuralla: $P(2) = 4 + 6 - 1 = 9$ .

Tabloyla:

$x$	1,99	1,999	2,001	2,01
$P(x)$	8,9301	8,993001	9,007001	9,0701

Değerler $9$ 'a yaklaşmaktadır. İki yol aynı sonucu verdiğinden genelleme doğrulanmıştır.

Doğrudan yerine koyma ne zaman işe yarar

Önceki bölümün sonucu bir yönteme dönüşür.

Polinomlarda her zaman. $P$ bir polinom ise $\lim\limits_{x \to a} P(x) = P(a)$ 'dır.

Rasyonel fonksiyonlarda paydanın sıfır olmadığı noktalarda. $P$ ve $Q$ polinom olmak üzere, $Q(a) \neq 0$ ise bölüm kuralı uygulanabilir:

\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}

Örnek olarak

\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 3x}{x + 2} = \frac{16 - 12}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Koşul bozulursa. $Q(a) = 0$ olduğunda bölüm kuralı susar ve yerine koyma bir sonuç vermez. Bu durumda ifadenin biçimi değiştirilerek ilerlenir; bunun yöntemleri belirsizlik-durumlari konusundadır.

Bir hesaba başlarken sıralama şudur: önce paydanın $a$ noktasındaki değerine bakılır. Sıfırdan farklıysa doğrudan yerine koyma yapılır. Sıfırsa bu konunun araçları yetmez.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$f(x) = 2x$ ve $g(x) = 4 - x^2$ fonksiyonları için $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ , $\lim\limits_{x \to 1} g(x)$ ve $\lim\limits_{x \to 1} \left[ f(x) + g(x) \right]$ değerlerini tablo yardımıyla bulun; üç sonuç arasındaki bağıntıyı yazın.
Üç sütun aynı $x$ değerleri için hesaplanır:

$x$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x) + g(x)$
0,9 1,8 3,19 4,99
0,99 1,98 3,0199 4,9999
1,01 2,02 2,9799 4,9999
1,1 2,2 2,79 4,99

İkinci sütun $2$ 'ye, üçüncü sütun $3$ 'e, dördüncü sütun $5$ 'e yaklaşmaktadır:
$\lim_{x \to 1} f(x) = 2, \qquad \lim_{x \to 1} g(x) = 3, \qquad \lim_{x \to 1} \left[ f(x) + g(x) \right] = 5$
Bağıntı. $5 = 2 + 3$ olduğundan toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir:
$\lim_{x \to 1} \left[ f(x) + g(x) \right] = \lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 1} g(x)$
Dördüncü sütunun ayrıca hesaplanmasına gerek yoktur; ilk iki sütundan çıkarılabilir.
2Zorluk 2/5
$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 4$ ve $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = -3$ olduğuna göre aşağıdaki limitleri hesaplayın ve her adımda hangi özelliğin kullanıldığını belirtin.

a) $\lim\limits_{x \to 2} \left[ f(x) - 2g(x) \right]$

b) $\lim\limits_{x \to 2} \left[ f(x) \cdot g(x) \right]$

c) $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{g(x)}$
a) Önce fark özelliği ifadeyi iki parçaya ayırır:
$\lim_{x \to 2} \left[ f(x) - 2g(x) \right] = \lim_{x \to 2} f(x) - \lim_{x \to 2} 2g(x)$
Sabitle çarpım özelliği ikinci terime uygulanır:
$= \lim_{x \to 2} f(x) - 2 \cdot \lim_{x \to 2} g(x) = 4 - 2 \cdot (-3) = 4 + 6 = 10$
b) Çarpım özelliği doğrudan uygulanır:
$\lim_{x \to 2} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = 4 \cdot (-3) = -12$
c) Bölüm özelliği için önce paydanın limiti kontrol edilir:
$\lim_{x \to 2} g(x) = -3 \neq 0$
Koşul sağlandığından kural uygulanabilir:
$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$
Üç şıkta da $f$ ve $g$ fonksiyonlarının ne olduğu bilinmemektedir; yalnızca limitleri bilinmektedir. Özelliklerin sağladığı kolaylık tam olarak budur.
3Zorluk 2/5
$\lim\limits_{x \to 3} \left( x^3 - 2x^2 + 5 \right)$ ve $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ limitlerini hesaplayın.
Birinci limit. İfade bir polinomdur; polinomlarda doğrudan yerine koyma geçerlidir:
$\lim_{x \to 3} \left( x^3 - 2x^2 + 5 \right) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 5 = 27 - 18 + 5 = 14$
İkinci limit. İfade rasyoneldir, bu yüzden önce paydanın $x = 3$ noktasındaki değerine bakılır:
$3 - 1 = 2 \neq 0$
Payda sıfırdan farklı olduğundan bölüm özelliği uygulanabilir:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{3^2 + 1}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5$
Rasyonel bir ifadede ilk yapılacak iş her zaman paydayı kontrol etmektir; bu kontrol yapılmadan yazılan bir eşitlik gerekçesiz kalır.
4Zorluk 3/5
$g(x) = x^2 + 5$ ve $f(u) = \sqrt{u}$ olduğuna göre aşağıdakileri hesaplayın.

a) $\lim\limits_{x \to 2} \sqrt{x^2 + 5}$

b) $\lim\limits_{x \to 2} (3x - 5)^5$
a) İfade $f\big(g(x)\big)$ biçimindedir. Önce içteki fonksiyonun limiti bulunur:
$\lim_{x \to 2} \left( x^2 + 5 \right) = 2^2 + 5 = 9$
Kök çift derecelidir, bu yüzden bulunan değerin işareti kontrol edilir: $9 \ge 0$ olduğundan kural uygulanabilir:
$\lim_{x \to 2} \sqrt{x^2 + 5} = \sqrt{9} = 3$
b) Önce taban ifadenin limiti bulunur:
$\lim_{x \to 2} (3x - 5) = 3 \cdot 2 - 5 = 1$
Kuvvet özelliği uygulanır:
$\lim_{x \to 2} (3x - 5)^5 = 1^5 = 1$
Her iki şıkta da işlem sırası aynıdır: önce içerideki ifadenin limiti, sonra dışarıdaki işlem. Dışarıdaki işlemin önce yapılması sonucu bozar.
5Zorluk 3/5
Bir atölyede $x$ adet ürün için malzeme maliyeti $M(x)$ TL, işçilik maliyeti $I(x)$ TL olsun. Toplam maliyet $T(x) = M(x) + I(x)$ , ürün başına maliyet ise $\dfrac{T(x)}{x}$ TL'dir.

$\lim\limits_{x \to 50} M(x) = 1800$ ve $\lim\limits_{x \to 50} I(x) = 1200$ olduğuna göre $\lim\limits_{x \to 50} T(x)$ ve $\lim\limits_{x \to 50} \dfrac{T(x)}{x}$ değerlerini bulun; ikincisinde bölüm özelliğinin neden uygulanabildiğini açıklayın.
Toplam maliyet. Toplam özelliği uygulanır:
$\lim_{x \to 50} T(x) = \lim_{x \to 50} M(x) + \lim_{x \to 50} I(x) = 1800 + 1200 = 3000$
Üretim $50$ adede yaklaşırken toplam maliyet $3000$ TL'ye yaklaşmaktadır.

Ürün başına maliyet. Bölüm özelliği için önce paydanın limiti hesaplanır. Payda $x$ fonksiyonudur ve özdeşlik limitinden
$\lim_{x \to 50} x = 50$
bulunur. Bu değer sıfırdan farklı olduğundan koşul sağlanır ve kural uygulanabilir:
$\lim_{x \to 50} \frac{T(x)}{x} = \frac{3000}{50} = 60$
Üretim $50$ adede yaklaşırken ürün başına maliyet $60$ TL'ye yaklaşmaktadır.

Koşulun gerekçesi. Bölüm özelliğinin uygulanabilmesi için paydanın limitinin sıfırdan farklı olması gerekir. Burada payda, üretim adedidir ve $50$ 'ye yaklaşmaktadır; sıfıra yaklaşan bir büyüklük değildir. Bağlam olarak da anlamlıdır: üretim sıfıra yaklaşsaydı ürün başına maliyet bir sayıya yaklaşmazdı.

Sık yapılan hatalar

Bölüm özelliğini koşulu kontrol etmeden uygulamak

Hata. $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ istendiğinde doğrudan $\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$ yazılır.

Neden yanlış. Bu eşitlik yalnızca paydanın limiti sıfırdan farklıysa geçerlidir. Payda limiti $0$ iken sağ taraf bir sayı belirtmez ve kural bir sonuç üretmez.

Doğrusu. Önce $\lim g(x)$ hesaplanır. Sıfırdan farklıysa bölüm kuralı uygulanır; sıfırsa bu araçla ilerlenmez.

Özellikleri, limiti olmayan fonksiyonlara uygulamak

Hata. $\lim \left[ f(x) + g(x) \right]$ hesabı için $f$ ve $g$ 'nin limitlerinin var olup olmadığına bakılmadan doğrudan toplam kuralı yazılır.

Neden yanlış. Kuralın ifadesi " $\lim f = L$ ve $\lim g = M$ ise" diye başlar. Bu varsayım sağlanmıyorsa eşitliğin sağ tarafı tanımsızdır. Üstelik tersi de doğru değildir: bir toplamın ya da çarpımın limiti var diye parçalarının limiti olmak zorunda değildir.

Doğrusu. Önce parçaların limitleri gösterilir, sonra kural uygulanır. Parçaların limiti yoksa ifade bir bütün olarak incelenir.

Bileşkede sırayı karıştırmak

Hata. $\lim f\big(g(x)\big)$ hesaplanırken önce $f$ 'nin limiti alınıp sonuç $g$ 'de kullanılır.

Neden yanlış. $f \circ g$ bileşkesinde içteki fonksiyon $g$ 'dir; $x$ önce $g$ 'ye girer. Sıra değiştirilirse bambaşka bir fonksiyonun limiti hesaplanmış olur.

Doğrusu. Önce $\lim g(x) = b$ bulunur, sonra $f(b)$ hesaplanır. $g \circ f$ isteniyorsa sıra tersine döner ve sonuç genellikle farklı çıkar.

Çift dereceli kökte tanımlılığı atlamak

Hata. $\lim \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$ eşitliği, $L$ 'nin işaretine bakılmadan yazılır.

Neden yanlış. $L < 0$ ise $\sqrt{L}$ gerçel sayı değildir; eşitliğin sağ tarafı yoktur. Tek dereceli köklerde böyle bir kısıt bulunmaz.

Doğrusu. Çift dereceli kökte önce $L$ hesaplanır ve $L \ge 0$ olduğu görülür, sonra kök alınır.

Formül kartı

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ ve $\lim\limits_{x \to a} g(x) = M$ olmak üzere:

Özellik	Eşitlik	Koşul
Sabit	$\lim\limits_{x \to a} c = c$	—
Özdeşlik	$\lim\limits_{x \to a} x = a$	—
Toplam	$\lim\limits_{x \to a} [f + g] = L + M$	—
Fark	$\lim\limits_{x \to a} [f - g] = L - M$	—
Sabitle çarpım	$\lim\limits_{x \to a} [c \cdot f] = c \cdot L$	—
Çarpım	$\lim\limits_{x \to a} [f \cdot g] = L \cdot M$	—
Bölüm	$\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f}{g} = \dfrac{L}{M}$	$M \neq 0$
Kuvvet	$\lim\limits_{x \to a} [f]^n = L^n$	$n$ pozitif tam sayı
Kök	$\lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{L}$	$n$ çift ise $L \ge 0$
Bileşke	$\lim\limits_{x \to a} f\big(g(x)\big) = f(M)$	$f$ polinom, rasyonel ya da köklü

Tüm satırların ortak koşulu: $f$ ve $g$ fonksiyonlarının $a$ noktasında limiti olmalıdır.

Fonksiyon türü	Yerine koyma
Polinom	Her zaman geçerli
Rasyonel, $Q(a) \neq 0$	Geçerli
Rasyonel, $Q(a) = 0$	Geçersiz — `belirsizlik-durumlari`

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 40 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →