Belirsizlik Durumları

Payın ve paydanın limiti birlikte sıfır olduğunda kural sonuç vermez; ifade çarpanlara ayrılarak ya da eşlenikle genişletilerek sadeleştirilir.

45 dakikalık çalışmaBu konu her iki müfredatta da geçerli.

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir ifadenin verilen noktada belirsizlik verip vermediğini sınayabilir
Polinom ve rasyonel ifadelerde ortak çarpanı sadeleştirerek limiti hesaplayabilir
Karekök içeren ifadelerde eşlenikle genişletme yaparak limiti bulabilir
Sadeleştirmenin limiti neden değiştirmediğini gerekçelendirebilir
Sadeleştirmenin grafikteki karşılığını delik kavramıyla ilişkilendirebilir

Önce şunları çalış

Hazır bulunuşluk: çarpanlara ayırma ve eşlenik

Bu konunun tamamı, bir ifadenin biçimini değiştirmeye dayanır. Kullanılacak dört araç aşağıdadır.

Ortak çarpan parantezi.

x^2 - 5x = x(x - 5)

İki kare farkı.

x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)

İkinci dereceden üç terimli. Çarpımları sabit terimi, toplamları ise $x$ 'in katsayısını veren iki sayı aranır:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Küp farkı.

x^3 - a^3 = (x - a)\left( x^2 + ax + a^2 \right)

Eşlenik. $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ ifadesinin eşleniği $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ 'dir ve bu ikisinin çarpımı kökleri düşürür:

\left( \sqrt{A} - \sqrt{B} \right)\left( \sqrt{A} + \sqrt{B} \right) = A - B

Bir sayı ile kökün farkında da aynı çarpım kullanılır:

\left( \sqrt{x + 3} - 2 \right)\left( \sqrt{x + 3} + 2 \right) = (x + 3) - 4 = x - 1

Bu beş araç dışında bir teknik gerekmeyecektir.

$0/0$ ne demek, neden bir sonuç vermiyor

Bir önceki konuda bölüm özelliğinin paydanın limiti sıfır olduğunda sustuğu görülmüştü. Şimdi bu durumun içine bakılır.

$x \to 3$ için aşağıdaki iki ifade ele alınsın. İkisinde de payın limiti $0$ , paydanın limiti $0$ 'dır:

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \qquad\qquad \lim_{x \to 3} \frac{5x - 15}{x - 3}

Birincide pay çarpanlarına ayrılır:

\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6

İkincide pay ortak çarpan parantezine alınır:

\frac{5x - 15}{x - 3} = \frac{5(x - 3)}{x - 3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to 3} \frac{5x - 15}{x - 3} = 5

İki ifadenin de payı $0$ 'a, paydası $0$ 'a gitmektedir; buna karşın sonuçlar $6$ ve $5$ 'tir. Demek ki "payın limiti $0$ , paydanın limiti $0$ " bilgisi sonucu belirlemeye yetmez. Bu duruma $0/0$ belirsizliği denir.

Belirsizlik, sonucun olmadığı anlamına gelmez; verilen bilgiyle belirlenemediği anlamına gelir. Sonuç, limitlerden değil ifadenin kendi biçiminden çıkarılır — yukarıdaki iki hesapta olduğu gibi.

Paydası sıfır olan her ifade belirsizlik değildir. Paydanın limiti $0$ ama payın limiti $0$ 'dan farklıysa ortada $0/0$ yoktur; bu durum sonsuzda-limit-ve-asimptotlar konusunda ele alınacaktır. Bu konudaki tüm ifadelerde pay ve payda birlikte sıfıra gitmektedir.

Polinomlarda $0/0$ : ortak çarpanı sadeleştirme

$0/0$ belirsizliği veren bir kesirde şu gözlem işi çözer: $x = a$ için pay sıfır oluyorsa, $a$ sayısı payın bir köküdür; kökü olan bir polinom $(x - a)$ çarpanı taşır. Aynısı payda için de geçerlidir. Dolayısıyla pay ve payda ortak bir $(x - a)$ çarpanı taşır ve bu çarpan sadeleştirilebilir.

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}

Pay $x = 2$ için $4 - 10 + 6 = 0$ olduğundan $(x - 2)$ çarpanı taşır:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 2 - 3 = -1

Küp farkı da aynı biçimde kullanılır:

\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)\left( x^2 + 2x + 4 \right)}{x - 2} = 4 + 4 + 4 = 12

Rasyonel ifadelerde $0/0$

Payda da sabit bir ifade değil de bir polinomsa, iki taraf birden çarpanlarına ayrılır.

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}

Pay iki kare farkıdır. Payda için çarpımları $-3$ , toplamları $-2$ olan iki sayı aranır: $-3$ ve $1$ .

\frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{x + 3}{x + 1}

Sadeleştirmeden sonra kalan ifadede payda $x = 3$ için $4 \neq 0$ olduğundan bölüm özelliği artık uygulanabilir:

\lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Sadeleştirmenin ardından paydanın yeniden kontrol edilmesi gereken bir adımdır; belirsizliğin kalkıp kalkmadığı buradan anlaşılır.

Karekök içeren ifadelerde $0/0$ : eşlenikle genişletme

Kök içeren ifadelerde çarpanlara ayırma doğrudan işe yaramaz. Bu durumda kesir, kök içeren kısmın eşleniğiyle genişletilir.

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}

$x = 1$ için pay $\sqrt{4} - 2 = 0$ , payda $0$ 'dır; belirsizlik vardır. Pay ve payda, payın eşleniği olan $\sqrt{x + 3} + 2$ ile çarpılır:

\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)\left( \sqrt{x + 3} + 2 \right)}

Payda kalan ifade sadeleşir:

= \frac{x - 1}{(x - 1)\left( \sqrt{x + 3} + 2 \right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}

Belirsizlik kalkmıştır; artık yerine koyma yapılabilir:

\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}

Kök paydada olduğunda da aynı yol izlenir; bu kez paydanın eşleniğiyle genişletilir.

\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x \left( \sqrt{x + 1} + 1 \right)}{(x + 1) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x \left( \sqrt{x + 1} + 1 \right)}{x}

= \lim_{x \to 0} \left( \sqrt{x + 1} + 1 \right) = 1 + 1 = 2

Neden böyle: sadeleştirme limiti neden değiştirmiyor

Sadeleştirme adımı ilk bakışta kuşku uyandırır: $x = 2$ noktasında $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ tanımsızken, sadeleştirmeden sonra elde edilen $x + 2$ ifadesi tanımlıdır. İki farklı fonksiyondan söz ediliyorsa, birinin limiti diğerinin limiti sayılabilir mi?

Örüntü. İki ifadenin değerleri yan yana yazılır:

$x$	1,9	1,99	2	2,01	2,1
$\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$	3,9	3,99	tanımsız	4,01	4,1
$x + 2$	3,9	3,99	4	4,01	4,1

İki satır, yalnızca $x = 2$ sütununda ayrışmaktadır. Diğer bütün sütunlarda birebir aynıdır — çünkü $x \neq 2$ iken $x - 2 \neq 0$ 'dır ve sadeleştirme o değerler için geçerli bir cebirsel eşitliktir.

Genelleme. Limit, bir önceki konularda görüldüğü gibi yalnızca $a$ noktasının civarındaki değerlere bakar, $a$ noktasının kendisine bakmaz. İki fonksiyon $a$ dışında her yerde aynı değerleri alıyorsa, ikisinin de $a$ 'daki limiti aynıdır:

f(x) = g(x) \ \ (x \neq a) \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x)

Sadeleştirme tam olarak bu tür bir eşitlik üretir. Bu yüzden meşrudur.

Doğrulama. Genelleme ikinci bir örnekte sınanır:

\frac{x^2 - 5x}{x - 5} = x \quad (x \neq 5)

Bu eşitlik $x = 5$ dışında her yerde geçerlidir. Buna göre $\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 5x}{x - 5} = \lim\limits_{x \to 5} x = 5$ olmalıdır. Tabloyla sınanır:

$x$	4,99	4,999	5,001	5,01
$\dfrac{x^2 - 5x}{x - 5}$	4,99	4,999	5,001	5,01

Değerler $5$ 'e yaklaşmaktadır. Genelleme doğrulanmıştır.

Dikkat edilecek nokta. Sadeleştirme, iki ifadenin aynı fonksiyon olduğunu söylemez; tanım kümeleri farklıdır. Söylediği şey, ikisinin $a$ dışında aynı değerleri aldığı ve limitin bu farkı görmediğidir.

Sadeleştirmenin grafik karşılığı

Yukarıdaki tablo grafiğe taşındığında fark tek bir noktada görünür hâle gelir.

İki grafik, $x = 2$ apsisi dışında birebir üst üste oturmaktadır. Soldaki grafikte o apsiste bir delik vardır; sağdakinde delik kapalıdır.

Bu görüntü, önceki bölümdeki gerekçenin resmidir. Limit, eğrinin $x = 2$ 'ye soldan ve sağdan hangi yüksekliğe dayandığını sorar. Her iki grafikte de kollar $4$ yüksekliğine dayanmaktadır; deliğin açık ya da kapalı olması bu soruyu etkilemez. Bu yüzden

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4

olur. Sadeleştirme, grafikte deliği kapatmak demektir; kolların gittiği yeri değiştirmez.

Delik nerede oluşur. Sadeleşen çarpan $(x - a)$ ise delik $x = a$ apsisindedir ve yüksekliği, sadeleştirilmiş ifadenin $a$ noktasındaki değeridir — yani limitin kendisidir. Yukarıdaki örnekte delik $(2;\,4)$ noktasındadır.

Çözümlü örnekler

1Zorluk 2/5
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ limitini hesaplayın ve sonucu bir tabloyla doğrulayın.
Belirsizlik sınaması. $x = 3$ için pay ve payda ayrı ayrı hesaplanır:
$3^2 - 9 = 0, \qquad 3 - 3 = 0$
İkisi birden sıfır olduğundan $0/0$ belirsizliği vardır; doğrudan yerine koyma yapılamaz.

Sadeleştirme. Pay iki kare farkıdır:
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
Limit alınırken $x \neq 3$ olduğundan $x - 3 \neq 0$ 'dır ve sadeleştirme yapılabilir:
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$
Tabloyla doğrulama.

$x$ 2,99 2,999 3,001 3,01
$\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ 5,99 5,999 6,001 6,01

Değerler $6$ 'ya yaklaşmaktadır.
2Zorluk 2/5
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ ve $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{5x - 15}{x - 3}$ limitlerini karşılaştırın. İki ifadede de payın ve paydanın limiti $0$ olduğu hâlde sonuçlar neden farklıdır?
Birinci ifade. Pay iki kare farkı olarak çarpanlarına ayrılır:
$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$
İkinci ifade. Pay ortak çarpan parantezine alınır:
$\frac{5x - 15}{x - 3} = \frac{5(x - 3)}{x - 3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to 3} \frac{5x - 15}{x - 3} = 5$
Karşılaştırma.

Payın limiti Paydanın limiti Sonuç
Birinci $0$ $0$ $6$
İkinci $0$ $0$ $5$

Neden farklı. İki satırın ilk iki sütunu birebir aynı, son sütunu farklıdır. Bu, "payın limiti $0$ , paydanın limiti $0$ " bilgisinden sonuca giden bir kuralın olamayacağını gösterir; böyle bir kural olsaydı aynı girdiden hem $6$ hem $5$ çıkması gerekirdi.

Sonucu belirleyen şey limitler değil, ifadenin biçimidir: birinci ifadede sadeleşmeden sonra $x + 3$ , ikincisinde sabit $5$ kalmaktadır. Bu duruma $0/0$ belirsizliği denir ve her ifade kendi biçimi üzerinden çözülür.
3Zorluk 2/5
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$ limitini hesaplayın.
Belirsizlik sınaması. $x = 2$ için:
$4 - 10 + 6 = 0, \qquad 4 - 4 = 0$
$0/0$ belirsizliği vardır.

Payın çarpanları. Çarpımları $6$ , toplamları $-5$ olan iki sayı aranır: $-2$ ve $-3$ .
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
Paydanın çarpanları. İki kare farkıdır:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
Sadeleştirme. $x \neq 2$ olduğundan ortak $(x - 2)$ çarpanı sadeleştirilir:
$\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$
Kontrol. Kalan ifadede payda $x = 2$ için $4 \neq 0$ 'dır; belirsizlik kalkmıştır ve bölüm özelliği uygulanabilir:
$\lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x + 2} = \frac{2 - 3}{2 + 2} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$
4Zorluk 3/5
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$ limitini hesaplayın.
Belirsizlik sınaması. $x = 1$ için:
$\sqrt{1 + 3} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 0, \qquad 1 - 1 = 0$
$0/0$ belirsizliği vardır. Payda kök bulunduğundan çarpanlara ayırma doğrudan işe yaramaz; eşlenikle genişletilir.

Genişletme. Payın eşleniği $\sqrt{x + 3} + 2$ 'dir. Kesrin değeri değişmemesi için pay ve payda aynı ifadeyle çarpılır:
$\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2}$
Payda eşlenik çarpımı uygulanır:
$\left( \sqrt{x + 3} - 2 \right)\left( \sqrt{x + 3} + 2 \right) = (x + 3) - 4 = x - 1$
Buradan
$= \frac{x - 1}{(x - 1)\left( \sqrt{x + 3} + 2 \right)}$
Sadeleştirme. $x \neq 1$ olduğundan $(x - 1)$ çarpanı sadeleştirilir:
$= \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$
Sonuç. Belirsizlik kalkmıştır; payda $x = 1$ için $4 \neq 0$ 'dır:
$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$
Eşleniğin işi, payı $\sqrt{\ } - 2$ biçiminden $x - 1$ biçimine çevirip sadeleşecek çarpanı açığa çıkarmaktır.
5Zorluk 3/5
Düz bir yolda giden bir aracın $t$ saniyedeki konumu $s(t) = t^2 + 3t$ metredir. Aracın $2$ . saniye ile $t$ . saniye arasındaki ortalama hızı
$\frac{s(t) - s(2)}{t - 2}$
ifadesiyle verilir. Bu ifadenin $t \to 2$ için limitini hesaplayın ve sonucu yorumlayın.
İfadenin açık hâli. Önce $s(2)$ hesaplanır:
$s(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$ $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$
Belirsizlik sınaması. $t = 2$ için pay $4 + 6 - 10 = 0$ , payda $0$ 'dır. Belirsizlik burada yapay değildir: ortalama hız iki an arasındaki yol farkının zaman farkına bölümüdür ve iki an birbirine yaklaştıkça her iki fark da sıfıra gider.

Sadeleştirme. Payda çarpımları $-10$ , toplamları $3$ olan iki sayı aranır: $5$ ve $-2$ .
$t^2 + 3t - 10 = (t - 2)(t + 5)$ $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$ $\lim_{t \to 2} \frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = 2 + 5 = 7$
Yorum. Ölçüm aralığı küçüldükçe ortalama hız $7$ m/s değerine yaklaşmaktadır. Bu sayı, aracın $2$ . saniyedeki anlık hızıdır: fizikte anlık hız, ortalama hızın zaman aralığı sıfıra giderken aldığı limit olarak tanımlanır.

Aynı limitin matematikteki adı ve genel hesabı turevin-tanimi konusunda ele alınacaktır; burada yalnızca $0/0$ belirsizliğinin gerçek bir modelden nasıl doğduğu gösterilmektedir.

$x$	2,99	2,999	3,001	3,01
$\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$	5,99	5,999	6,001	6,01

	Payın limiti	Paydanın limiti	Sonuç
Birinci	$0$	$0$	$6$
İkinci	$0$	$0$	$5$

Sık yapılan hatalar

$0/0$ ifadesini bir sayı sanmak

Hata. Pay ve paydanın limiti sıfır çıkınca sonuç $0$ , $1$ ya da tanımsız diye yazılır.

Neden yanlış. $0/0$ bir sayı değil, bir durumun adıdır. Aynı durumdan $6$ da çıkabilir, $5$ de, $-1$ de; hatta limit hiç olmayabilir. Bu yüzden "belirsizlik" denir.

Doğrusu. $0/0$ görüldüğünde hesap bitmez, başlar: ifade çarpanlara ayrılır ya da eşlenikle genişletilir ve belirsizlik giderilir.

Belirsizlik olmadığı hâlde sadeleştirme aramak

Hata. Her kesirde otomatik olarak çarpanlara ayırmaya girişilir.

Neden yanlış. Payda $a$ noktasında sıfırdan farklıysa ortada belirsizlik yoktur; bölüm özelliği doğrudan uygulanır ve fazladan işlem yapılmış olur. Paydanın limiti $0$ , payınki $0$ 'dan farklıysa da $0/0$ yoktur ve sadeleştirme bir sonuç vermez.

Doğrusu. Önce pay ve paydanın $a$ noktasındaki değerleri hesaplanır. Yalnızca ikisi birden sıfırsa bu konunun yöntemleri devreye girer.

Sadeleştirmeyi terim terim yapmak

Hata. $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ifadesinde $x$ 'ler ya da $2$ 'ler tek tek "götürülür".

Neden yanlış. Sadeleştirme yalnızca çarpanlar arasında yapılır, terimler arasında yapılmaz. Pay bir toplam biçimindeyken içindeki tek bir terim paydayla sadeleşemez.

Doğrusu. Önce pay ve payda çarpanlarına ayrılır, ortak çarpan bulunur ve yalnızca o sadeleştirilir.

Eşlenikle genişletirken paydayı da çarpmayı unutmak

Hata. Yalnızca pay eşlenikle çarpılır, payda olduğu gibi bırakılır.

Neden yanlış. Bu işlem kesrin değerini değiştirir; artık başka bir ifadenin limiti hesaplanmaktadır. Eşlenikle çarpma, kesri $\dfrac{A}{A}$ biçiminde bir ifadeyle genişletmektir.

Doğrusu. Pay ve payda aynı eşlenikle çarpılır. Kök payda ise paydanın eşleniği, kök payda değil pay ise payın eşleniği kullanılır.

Formül kartı

Belirsizlik sınaması. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ için:

$P(a)$	$Q(a)$	Durum
$\neq 0$	$\neq 0$	Doğrudan yerine koyma
$= 0$	$\neq 0$	Limit $0$ 'dır
$= 0$	$= 0$	$0/0$ belirsizliği — bu konunun yöntemleri
$\neq 0$	$= 0$	Belirsizlik değil — `sonsuzda-limit-ve-asimptotlar`

Çarpanlara ayırma araçları.

Biçim	Çarpanları
$x^2 - a^2$	$(x - a)(x + a)$
$x^2 + bx + c$	$(x - r_1)(x - r_2)$ , $r_1 r_2 = c$ ve $r_1 + r_2 = -b$
$x^3 - a^3$	$(x - a)\left( x^2 + ax + a^2 \right)$
$x^3 + a^3$	$(x + a)\left( x^2 - ax + a^2 \right)$

Eşlenik.

\left( \sqrt{A} - \sqrt{B} \right)\left( \sqrt{A} + \sqrt{B} \right) = A - B

Sadeleştirmenin gerekçesi.

f(x) = g(x) \ \ (x \neq a) \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x)

Grafikte: sadeleşen $(x - a)$ çarpanı, $x = a$ apsisinde bir delik bırakır; deliğin yüksekliği limitin değeridir.

Alıştırma soruları

Bu konunun soru bankasında 40 alıştırma var. Öğretmenin ödev olarak atadığında panelinde tek tek açılır, çözümleriyle birlikte.

Bu konuyu birebir çalış

Takıldığın yeri bir öğretmenle aynı tahtada çözmek, tek başına tekrar etmekten hızlıdır.

Özel ders al

YKS Matematik programını inceleyin →