Üstel Fonksiyonun Dönüşümleri

Referans fonksiyondan türetilen fonksiyon

Bir önceki konuda üstel fonksiyonlar ailesinin referans fonksiyonu belirlenmişti:

$$f(x) = a^x \qquad (a > 0,\ a \neq 1)$$

ve bu fonksiyonun nitel özellikleri sırayla çıkarılmıştı: tanım kümesi, görüntü kümesi, işaret, artanlık–azalanlık, bire birlik, örtenlik.

Şimdi aynı referans fonksiyondan türetilen fonksiyonlar ele alınır. Türetme tek bir yapıyla yapılır:

$$g(x) = k \cdot f(mx \pm r) \pm s \qquad (k \neq 0,\ m \neq 0)$$

Üstel fonksiyon için açık yazımı şudur:

$$g(x) = k \cdot a^{mx + r} + s$$

Buradaki $r$ ve $s$ negatif de olabilir; $a^{mx-r}$ ve $-s$ ayrı durumlar değil, aynı yapının işaret değişmiş hâlleridir.

Bu konunun yöntemi baştan söylenmelidir. Türetilen fonksiyonun nitel özellikleri sıfırdan hesaplanmaz. Referans fonksiyonun bilinen özelliklerinden başlanır ve her katsayının o özelliği nasıl değiştirdiği sorulur. Bir önceki konunun son alıştırmasında $g(x) = \left( \tfrac{1}{a} \right)^x$ için tam olarak bu yapılmıştı: altı özellikten beşi doğrudan devralınmış, yalnızca artanlık–azalanlık yön değiştirmişti. Aşağıdaki bütün akıl yürütme aynı kalıptadır.

Katsayılar, programın istediği gibi aşamalı ele alınır: önce $r$ ve $s$ sıfırken, sonra ikisinden biri devredeyken, sonra dördü birlikte.

Aşama 1: $r = 0$ ve $s = 0$

Bu aşamada türetilen fonksiyon

$$g(x) = k \cdot a^{mx}$$

biçimindedir. İki katsayı vardır ve etkileri birbirinden bağımsızdır.

$m$ katsayısı — tabanı değiştirir. Üssün üssü kuralı doğrudan uygulanır:

$$a^{mx} = \left( a^m \right)^x$$

Yani $m$ yeni bir fonksiyon türü üretmez; tabanı $a$ olan referans fonksiyonu, tabanı $a^m$ olan bir başka referans fonksiyona çevirir. Cebirsel temsilde görülen bu eşitliğin grafik temsildeki karşılığı şudur: $g(x) = f(mx)$ fonksiyonu, $x$ apsisinde $f$'nin $mx$ apsisindeki değerini alır; dolayısıyla $f$'nin grafiği yatay doğrultuda $|m|$ kat sıkışır ve $m < 0$ ise $y$ ekseninin öbür yanına geçer.

$a = 2$ için üç durum:

$m$	Yeni taban $a^m$	Grafikte
$m = 3$	$2^3 = 8$	Aynı yüksekliğe daha küçük $x$'te ulaşılır
$m = \tfrac{1}{2}$	$2^{1/2} = \sqrt2$	Aynı yüksekliğe daha büyük $x$'te ulaşılır
$m = -1$	$2^{-1} = \tfrac{1}{2}$	Artan iken azalan olur

Üç durumda da $(0;\,1)$ noktası yerinde kalır, çünkü $m \cdot 0 = 0$'dır ve $a^0 = 1$ her tabanda geçerlidir.

$k$ katsayısı — bütün değerleri $k$ ile çarpar. Cebirsel temsilde $g(x)$, $f(x)$'in $k$ katıdır; grafik temsilde her noktanın ordinatı $k$ ile çarpılır. İki sonuç doğar:

• Grafiğin $y$ eksenini kestiği nokta $(0;\,1)$ yerine $(0;\,k)$ olur.
• $k < 0$ ise bütün değerlerin işareti döner: grafik $x$ ekseninin öbür yanına geçer ve artanlık ile azalanlık yer değiştirir.

Şekilde $y = 2^x$ referans fonksiyondur. $y = 3 \cdot 2^x$ onun $3$ katıdır ve $(0;\,3)$ noktasından geçer; $y = -2^x$ ise $k = -1$ durumudur, $(0;\,-1)$ noktasından geçer ve tamamen $x$ ekseninin altındadır. Üçünün de $x$ eksenine yaklaşıp değmemesi ortaktır, çünkü $a^x$ hiçbir zaman sıfır olmaz ve sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması bunu değiştirmez.

Aşama 2: $r$ ile $s$ devreye giriyor

Yalnızca $s$ varken. $g(x) = a^x + s$ fonksiyonunda her değere $s$ eklenir; grafik dikey doğrultuda $s$ birim taşınır. Görüntü kümesi de aynı miktarda taşınır:

$$(0,\ \infty) \quad \longrightarrow \quad (s,\ \infty)$$

Şekilde alttaki eğri $y = 2^x - 3$'tür. $y$ eksenini $(0;\,-2)$ noktasında keser, çünkü $2^0 - 3 = -2$'dir. Sol kuyruğu artık $x$ eksenine değil, $-3$ yüksekliğine yaklaşmaktadır — ama ona da değmez.

Yalnızca $r$ varken. $g(x) = a^{x + r}$ fonksiyonunda $x$ apsisinde $f$'nin $x + r$ apsisindeki değeri alınır; grafik yatay doğrultuda $r$ birim sola taşınır. ($a^{x-r}$ ise $r$ birim sağa taşır.)

Burada üstel fonksiyona özgü bir şey olur. Çarpım kuralı yazılırsa:

$$a^{x + r} = a^{r} \cdot a^{x}$$

Sağ tarafta $a^r$ bir sabittir. Yani yatay taşıma, bu ailede bir sabitle çarpmaya denk gelir — Aşama 1'deki $k$ katsayısının yaptığı işe. Bu, ailenin neden dört ayrı kurala değil tek bir yapıya indiğinin ilk işaretidir.

Neden böyle: yatay taşıma neden bir çarpana dönüşüyor

Örüntü. $f(x) = 2^x$ alınsın ve $g(x) = 2^{x-2}$ ile karşılaştırılsın:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$2^{x-2}$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$

İki satır iki farklı biçimde okunabilir. Yatay okuma: alt satır, üst satırın iki sütun sağa kaymış hâlidir — $g$'nin $2$'deki değeri $f$'nin $0$'daki değeridir. Dikey okuma: her sütunda alt satır, üst satırın $\tfrac{1}{4}$ katıdır.

Genelleme. İki okuma da doğrudur ve tek bir eşitlikten çıkar:

$$a^{x - r} = a^{-r} \cdot a^{x}$$

Sol taraf yatay taşımayı, sağ taraf sabitle çarpmayı anlatır. Üstel fonksiyonda ikisi aynı şeydir, çünkü üsteki toplama tabanda çarpmaya dönüşür.

Kontrol. Tablodaki değerlerle sınanır: $r = 2$ için $a^{-r} = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}$. Gerçekten $\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{2}$ ve $2 = \tfrac{1}{4} \cdot 8$'dir.

Grafikte de iki okuma birlikte görünür: $y = 2^{x-2}$ eğrisi, $y = 2^x$ eğrisinin iki birim sağa taşınmış hâlidir; aynı zamanda her apsiste onun $\tfrac{1}{4}$ katıdır. Referans fonksiyonun $(0;\,1)$ noktası, türetilen fonksiyonda $(2;\,1)$ noktasına karşılık gelir.

Bu, ailenin sadeleşmesi demektir. Genel yazımda çarpım kuralı uygulanırsa:

$$k \cdot a^{mx + r} + s = k \cdot a^{r} \cdot \left( a^{m} \right)^{x} + s$$

Sağ tarafta $k \cdot a^r$ tek bir sabit, $a^m$ tek bir tabandır. Kısaca $K = k \cdot a^r$ ve $A = a^m$ yazılırsa dört katsayılı aile üçe iner:

$$g(x) = K \cdot A^{x} + s \qquad (K \neq 0,\ A > 0,\ A \neq 1)$$

Bundan sonraki bütün akıl yürütme bu sadeleşmiş yazım üzerinden yapılır.

Aşama 3: dört katsayı birlikte

Şimdi dördü de devrede olan bir örnek adım adım sadeleştirilir:

$$g(x) = -2 \cdot 2^{x} + 8$$

Burada $k = -2$, $m = 1$, $r = 0$, $s = 8$'dir; yani $K = -2$ ve $A = 2$. Katsayıların birlikte ne yaptığı sırayla okunur:

• $A = 2 > 1$ olduğundan $A^x$ artandır ve değerleri $(0,\ \infty)$ aralığındadır.
• $K = -2$ ile çarpılınca değerler $(-\infty,\ 0)$ aralığına düşer ve artanlık azalanlığa döner.
• $s = 8$ eklenince aralık $(-\infty,\ 8)$ olur; azalanlık değişmez.

Grafik bunu doğrular. Eğri soldan sağa alçalmaktadır; $y$ eksenini $g(0) = -2 + 8 = 6$ yüksekliğinde keser; sol kuyruğu $8$ yüksekliğine yaklaşır ama değmez; $x$ eksenini $-2 \cdot 2^x + 8 = 0$, yani $2^x = 4$ olduğu $x = 2$ apsisinde keser.

Katsayılar farklı yazımlarla verilebilir. Örneğin

$$h(x) = 3 \cdot 2^{2x - 4} - 1$$

fonksiyonunda $k = 3$, $m = 2$, $r = -4$, $s = -1$'dir. Sadeleştirme aynı biçimde yapılır:

$$K = 3 \cdot 2^{-4} = \frac{3}{16}, \qquad A = 2^2 = 4$$ $$h(x) = \frac{3}{16} \cdot 4^{x} - 1$$

Nitel özellikler referans fonksiyondan çıkarılır

Aşağıdaki çıkarımların hiçbirinde yeni bir hesap yapılmaz; her satırda referans fonksiyonun bilinen özelliği alınır ve hangi katsayının onu nasıl değiştirdiği sorulur. Yazım $g(x) = K \cdot A^x + s$'dir.

Tanım kümesi. Referansta $\mathbb{R}$ idi. $A^x$ her gerçek $x$ için tanımlıdır; bir sabitle çarpmak ve bir sabit eklemek tanımsızlık üretmez. Türetilen fonksiyonun tanım kümesi de $\mathbb{R}$'dir — hiçbir katsayı bunu değiştiremez.

Görüntü kümesi. Referansta $(0,\ \infty)$ idi. $K$ ile çarpmak bu aralığı $K > 0$ ise olduğu gibi, $K < 0$ ise ters yönde ölçekler; $s$ eklemek ise kaydırır:

$$K > 0 \ \Longrightarrow\ (s,\ \infty), \qquad\qquad K < 0 \ \Longrightarrow\ (-\infty,\ s)$$

İşaret. Referansta her noktada pozitifti; şimdi $K$ ile $s$ birlikte karar verir. $K \cdot A^x$ çarpımının işareti hiç değişmez ve $K$'nin işaretidir; $s$ eklenince işaret ancak $-s/K > 0$ olduğunda değişebilir:

• $s = 0$ ya da $K$ ile $s$ aynı işaretli ise: işaret her noktada $K$'nin işaretiyle aynıdır, grafik $x$ eksenini kesmez.
• $K$ ile $s$ zıt işaretli ise: grafik $x$ eksenini tam bir noktada keser ve işaret yalnızca orada değişir.

Artanlık–azalanlık. Referansta $a > 1$ için artan, $0 < a < 1$ için azalandı. Şimdi iki katsayı sırayla okunur: önce $A$ yönü belirler, sonra $K$'nin işareti gerekirse onu tersine çevirir. $s$ bu özelliğe hiç dokunmaz.

	$K > 0$	$K < 0$
$A > 1$	Artan	Azalan
$0 < A < 1$	Azalan	Artan

Bire birlik. Referansta bire birdi. $K \neq 0$ ve $A \neq 1$ olduğundan türetilen fonksiyon da artan ya da azalandır; aynı değeri iki kez alamaz. Bire birlik her zaman korunur.

Örtenlik. Referansta değer kümesi görüntü kümesine eşitlendiğinde örtendi. Aynı şey burada da geçerlidir: $g$, kendi görüntü kümesine — yani $K > 0$ ise $(s,\ \infty)$'a, $K < 0$ ise $(-\infty,\ s)$'ye — örtendir. Değer kümesi $\mathbb{R}$ alınırsa örtenlik yine bozulur.

Grafiğin yaklaştığı yatay doğru

Referans fonksiyonda grafik bir uçta $x$ eksenine, yani $y = 0$ doğrusuna yaklaşıp değmiyordu. Türetilen fonksiyonda bu doğru yer değiştirir.

$A^x$ değerleri bir uçta sıfıra istenildiği kadar yaklaşır ama sıfır olmaz; $K$ ile çarpılınca da bu değişmez. Geriye eklenen $s$ kalır. Dolayısıyla:

$$\textbf{Grafik } y = s \textbf{ doğrusuna yaklaşır ama ona değmez.}$$

Değmemesinin nedeni tek bir eşitliğin çözümsüz olmasıdır: $K \cdot A^x + s = s$ denklemi $A^x = 0$ demektir ve bunu sağlayan bir $x$ yoktur.

Hangi uçta yaklaşıldığı $A$ ile belirlenir:

	Yaklaşma	Uzaklaşma
$A > 1$	Sol uçta ($x$ küçülürken)	Sağ uçta
$0 < A < 1$	Sağ uçta ($x$ büyürken)	Sol uçta

Bu davranışın kesin incelenişi sonsuzda-limit-ve-asimptotlar konusuna aittir.

Grafikten katsayıları okumak

Şimdiye kadar katsayılardan grafiğe gidildi. Ters yön de sorulur ve sıra bellidir.

1. Grafiğin yaklaştığı yatay doğru $s$'yi verir.
2. Grafiğin $y$ eksenini kestiği nokta $K$'yi verir: $g(0) = K \cdot A^0 + s = K + s$ olduğundan $K = g(0) - s$'dir.
3. Bir üçüncü nokta $A$'yı verir. Bilinen $K$ ve $s$ ile o noktanın koordinatları yerine konur.

Örnek olarak, grafiği $4$ yüksekliğine yaklaşan, $y$ eksenini $(0;\,2)$ noktasında kesen ve $(1;\,3)$ noktasından geçen bir fonksiyon ele alınsın.

$$s = 4, \qquad K = 2 - 4 = -2$$ $$g(1) = -2 \cdot A + 4 = 3 \quad \Longrightarrow \quad A = \frac{1}{2}$$ $$g(x) = -2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{x} + 4$$